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    “相交線與平行線”學習指導

    2020-02-04 06:37:30王宗信
    關鍵詞:同旁內角對頂角截線

    王宗信

    數(shù)學里圖形的學習是非常有趣的,同時也是有規(guī)律的.通過數(shù)量關系可以判斷圖形的位置關系,反之,通過圖形的位置關系也可以確定相應的數(shù)量關系,要做到這些,需要通過必要的推理.

    一、認識相交線 (一)兩條直線相交產生的四個角之間的關系

    1.鄰補角.

    如圖1,畫一個平角,則∠AOB=180°.接著畫射線OC,如圖2,則∠AOB被分割為∠AOC與∠BOC,∠AOC+ ∠BOC= ∠AOB=1800.像∠AOC與∠BOC這樣的兩個角互為鄰補角.兩個角互為鄰補角要滿足兩個條件:(1)有一條邊互相重合(OC為兩個角的公共邊);(2)另外一條邊互為反向延長線,

    還可以通過另外的作圖來理解鄰補角.如圖3,已知∠AOC,反向延長射線OA,得到射線OB與∠BOC(如圖4),∠AOC與∠BOC互為鄰補角:或者在圖3中,反向延長射線OC,得到射線OD與∠AOD(如圖5),∠AOC與∠AOD互為鄰補角.

    2.對頂角.

    通過作圖我們得到:∠AOC小于180°,可以畫出它的兩個鄰補角(∠BOC與∠AOD),如圖6.而且我們知道,∠AOC+ ∠BOC= ∠AOB=180°,∠AOC+ ∠AOD=∠COD=180°,根據“同角的補角相等”,可以得到∠BOC= ∠AOD.從圖6中,我們可以發(fā)現(xiàn)∠BOC與∠A OD不僅在數(shù)量上相等,而且這兩個角還有特殊的位置關系:這兩個角有公共的頂點,∠BOC的兩邊分別是∠AOD兩邊的反向延長線.像∠BOC與∠AOD這樣的兩個角,有公共頂點,其中一個角的兩邊是另外一個角的兩邊的反向延長線,我們稱之為對頂角,圖6中還有一對對頂角:∠AOC與∠BOD.在上述探究的過程中,我們得到對頂角的性質:對頂角相等,

    在圖6中,我們還可以發(fā)現(xiàn),直線AB與CD相交于點O.一個周角被分割成四個小于180°的角:∠AOD,∠AOC.∠BOC.∠BOD.這四個角有公共頂點O,它們有兩種位置關系.(1)有一條公共邊,它們互為鄰補角,共有四對角:①∠AOD與∠AOC;②∠AOC與∠BOC;③∠BOD與∠BOC;④∠BOD與∠A OD. (2)無公共邊,它們互為對頂角,共有兩對角:①∠AOC與∠BOD;②∠BOC與∠AOD.把∠AOD,∠AOC,∠BOC,∠BOD分別標記為∠1,∠2,∠3,∠4(如圖7),四個角兩兩之間有:兩對對頂角(∠1與∠3,∠2與∠4);四對鄰補角(∠1與∠2,∠3與∠4,它們的和是∠COD,∠2與∠3,∠1與∠4,它們的和是∠AOB).

    在圖8的∠1,∠2,∠3,∠4四個角中,只要有一個為900,則其兩個鄰補角都是90°.根據對頂角相等,它的對頂角也是90°,也就是說這四個角中,只要有一個角是直角,其他的三個角也都是90°.當兩條直線相交時,只要有一個夾角為90°,我們就說這兩條直線互相垂直.

    (二)認識一條直線分別與兩條直線相交產生的八個角之間的關系

    一條直線與兩條直線分別相交,或者說兩條直線被第三條直線所截,會產生如圖9所示的八個角,為了便于表述,我們把直線EF稱為截線,把直線AB.CD稱為被截線.其中直線EF與直線AB相交產生四個角∠1.∠2,∠3,∠4,這四個角之間只有兩種位置關系:鄰補角或對頂角.它們有公共頂點,同樣直線EF與直線CD相交產生四個角∠5.∠6,∠7,∠8,這四個角之間也只有兩種位置關系:鄰補角或對頂角.這四個角也有公共頂點.我們研究直線AB,CD被第三條直線EF所截得到的八個角中沒有公共頂點的兩個角之間的關系,即∠1,∠2,∠3,∠4這四個角中的一個角與∠5,∠6,∠7,∠8這四個角中的一個角之間的關系.

    1.同位角.

    同位角,顧名思義是同樣位置的角,同樣位置是指兩個角位于截線的同一側,同時也要在兩條被截線的同一側,觀察圖9中的∠1與∠5,∠2與∠6,∠3與∠7.∠4與∠8.

    從圖10、圖11、圖12、圖13四個圖中我們可以發(fā)現(xiàn)互為同位角的兩個角組成的圖形形狀特別像字母“F”或者字母“F”旋轉、翻折之后的樣子,并且可以得到這樣一個結論:兩條直線被第三條直線所截,產生的八個角中有四對同位角.

    2.內錯角.

    兩條直線被第三條直線所截,產生的八個角中,夾在兩條被截線之間(稱之為“內”)并且在截線的兩側(稱之為“錯”)成交錯狀的兩個角為內錯角.觀察圖9中∠3與∠5,∠4與∠6.

    內錯角,形象地說就是夾在兩條被截線之間,并且被截線錯開來的兩個角,那么八個角中符合條件的角只有兩對.我們可以發(fā)現(xiàn)互為內錯角的兩個角組成的圖形形狀像字母“Z”或者字母“Z”旋轉、翻折之后的樣子.

    3.同旁內角.

    兩條直線被第三條直線所截,產生的八個角中,夾在兩條被截線之間(稱之為“內”)并且在截線的同側的兩個角為同旁內角,觀察圖9中∠3與∠6,∠4與∠5.

    同旁內角,形象地說就是夾在兩條被截線之間,并且在截線同旁的兩個角,那么八個角中符合條件的角只有兩對.我們可以發(fā)現(xiàn)互為同旁內角的兩個角組成的圖形形狀像字母“U”或者字母“U”旋轉、翻折之后的樣子.

    三、認識平行線

    在同一平面內,兩條不重合的直線只能有兩種位置關系:相交或者不相交,平面內兩條直線不相交,我們說這兩條直線平行,直線a與直線b平行,記作a//b.

    如何判定兩條直線互相平行呢?

    同學們在小學學過利用直尺和三角尺畫平行線.這種作圖實際上就是把三角尺的600的角進行平移,通過保證同位角相等,畫出了兩條平行線.我們認可這個做法,作為一個基本事實:兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行.簡單說成:同位角相等,兩直線平行.

    這可以引發(fā)我們思考:內錯角、同旁內角是否可以幫助我們判定兩條直線平行?

    圖18中,直線AB,CD被直線EF所截,同位角有四對:∠1與∠5,∠2與∠6,∠3與∠7,∠4與∠8.這四對同位角只要有一對相等,就可以判定直線AB//CD.

    圖中內錯角有兩對:∠3與∠5,∠4與∠6.我們鎖定∠3與∠5,猜想:若∠3=∠5,則直線AB與CD平行.我們應想辦法把內錯角轉移到同位角上,∠3有沒有同位角?有,∠3的同位角是∠7,∠7與∠5有沒有關系?∠7與∠5是對頂角,對頂角有何關系?對頂角相等!所以∠7=∠5,又因為∠3=∠5,所以∠7=∠3,我們推出了同位角∠7與∠3相等,那么AB//CD.

    剛才的推理過程用數(shù)學的符號語言這樣寫:

    已知:如上頁圖18,直線AB,CD被直線EF所截,∠3=∠5.

    求證:AB//CD.

    證明:根據對頂角相等,所以∠7=∠5.

    又因為∠3=∠5(已知),所以∠7=∠3(等量代換).

    又因為∠7與∠3是同位角,根據“同位角相等,兩直線平行”,所以AB//CD.

    根據上面的探究,我們得到:

    兩條直線被第三條直線所截,如果內錯角相等,那么這兩條直線平行.簡單說成:內錯角相等,兩直線平行.

    同學們可以用同樣的思路與方法來探究:同旁內角互補,兩直線平行.

    這就是通過數(shù)量關系判定圖形的位置關系的應用.反過來,通過兩條直線平行也可以確定同位角的關系、內錯角的關系、同旁內角的關系,

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