利用構造函數(shù)思想提高高中生解題能力的教學研究

晏美林

【內容摘要】在現(xiàn)階段的高中數(shù)學教學中，為了全面加強對學生的思維引導，以提高學生的應試技巧和解題能力，要求教師能夠加強對學生的方法指導。借助構造函數(shù)思想以幫助學生將方程數(shù)列、不等式、導數(shù)等相應的知識充分聯(lián)系起來，通過有效的歸納總結，以全面提高學生的解題能力?；诖?，本文將著重探究構造函數(shù)思想對于提高學生解題能力所帶來的積極影響，并提出相應的教學建議以供參考。

【關鍵詞】構造函數(shù)思想 ?高中生 ?解題能力 ?策略

引言

在高中數(shù)學的學習過程當中，借助構造函數(shù)這一思想能夠幫助學生全面加強基礎知識的學習，提高學生的數(shù)學知識應用能力和解題能力。因而在現(xiàn)階段的高中數(shù)學教學過程當中，則需要教師能夠科學合理的應用構造函數(shù)，為學生營造一個良好的學習環(huán)境，調動學生學習的積極性和主動性，幫助學生加強知識的歸納和總結，而通過系統(tǒng)性的教學，將高中數(shù)學相應的知識點串聯(lián)起來，降低學生的學習難度，幫助學生構建相應的思維導圖，從而讓學生的解題思路能夠更加清晰，降低學生的學習難度，以全面提高高中數(shù)學的教學效果。

一、在不等式中的應用

構造函數(shù)思想可以分成兩個部分，一方面是結合具體的問題來構造一個數(shù)學模型，從而解決相應的數(shù)學問題，另一個部分則是結合數(shù)學哲學和算法理論來構造相應的解題方法，利用構造函數(shù)的思想能夠激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，同時讓學生在解題的過程中結合具體的數(shù)學模型以全面提高其分析問題，解決問題的綜合能力。在不等式的教學過程中，為了幫助學生掌握基本不等式，且能夠認識基本不等式的運算結構，從而掌握不等式的幾何意義和代數(shù)意義，學會利用基本不等式來計算相應的題目，培養(yǎng)學生嚴謹規(guī)范的學習能力①。教師可以借助構造函數(shù)的思想，引導學生來分析問題。通過構造函數(shù)以借助適當?shù)暮瘮?shù)，充分利用函數(shù)性質來解決相應的數(shù)學問題，提高學生的解題能力。例如在柯西不等式的證明中，教師可以引導學生借助二次函數(shù)的性質和重要不等式a2+b2≥2|ab|來證明柯西不等式。借助構造函數(shù)的思想充分利用等式左邊右邊恒等變形思想，二次函數(shù)的性質，來證明不等式是否成立的問題。與傳統(tǒng)的教學方式相比，借助構造函數(shù)思想能夠幫助學生更進一步加強其前期所學知識的回顧和總結，同時有效降低學生的學習難度，讓學生在驗證證明的過程中養(yǎng)成自主探索，實踐驗證的良好習慣，全面提高學生的學習能力和解題能力。在不等式的教學中，除了要幫助學生構建函數(shù)思想，還需要教師能夠帶領學生，以充分發(fā)揮學生的潛力，激發(fā)學生的探究意識，不斷強化基礎知識的教學，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維，讓學生能夠學會應用構造函數(shù)思想來解決不等式問題。

二、在數(shù)列中的應用

將構造函數(shù)思想應用到數(shù)列的教學中，讓學生能夠聯(lián)系其前期所學的知識來學習新的知識。通過有效的知識遷移以全面提高學生的學習效果，構建高效的數(shù)學課堂，促進學生的思維發(fā)展。數(shù)列是高中數(shù)學教學的重點和難點，而借助構造函數(shù)的思想，幫助學生尋找解決數(shù)列問題的突破口，開拓學生的思維，從而提高學生的解題能力。在高中數(shù)學數(shù)列的學習中常見的有兩類題型。第一類則是給定數(shù)列的序列來求數(shù)列的通項公式，在這一類題目的教學中，教師可以借助構造函數(shù)的思想幫助學生確定數(shù)列的定義域②。數(shù)列作為函數(shù)中的一種，在解這類問題時要著重關注數(shù)列項數(shù)n成立的條件。例如，已知數(shù)列{bn}滿足bn=b1+b2+b3+…+（n-1）bn-1，其中（n ≥2），求數(shù)列的通項公式。結合題目所給定的n個條件，構造相應的函數(shù)從而求得通項公式bn的值。另一類的題目則是借助構造函數(shù)思想，利用待定系數(shù)法和換元法來求數(shù)列的通項公式和前n項和公式。在解決這類題目過程中，直接求解起來非常困難，對學生的數(shù)學分析能力，邏輯思維能力有著較高的要求。而大部分的學生無法達到要求，而借助構造函數(shù)的思想將問題前n項和轉換成一元二次函數(shù)，從而綜合利用換元法來求出最終需要的值。這樣的解題方法能夠大大降低學生的學習難度，以充分調動學生的思維，讓學生在自主探究的過程當中養(yǎng)成良好的思維習慣，從而在面臨同類型的題目時，以結合往期所學的知識搭建相應的數(shù)學模型，從而幫助學生解決相應的題目，全面提高學生分析問題解決問題的綜合能力。例如，已知數(shù)列{an}，若S3n-1=3n2+4n+5，求Sn。在本題的解題過程中，教師可以借助構造函數(shù)的思想將其轉化為f（3n-1）=3n2+4n+5，以此來求f（n）。通過構造函數(shù)和換元法來解決相應的數(shù)列問題，幫助學生找到問題的切入點，從而帶動學生的思維發(fā)展，幫助學生構建相應的數(shù)學模型，全面提高學生的解題能力。

三、在導數(shù)中的應用

在高中數(shù)學教學中如何解決導數(shù)問題是一個教學的難點。在導數(shù)這一部分知識的教學過程中，除了幫助學生加強導數(shù)概念的了解之外，還需要加強對實際背景的學習，結合瞬時速度加速度，光滑曲線，切線的斜率等多方面的知識點，使得學生能夠生成正確的認識，明確導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義，并掌握導數(shù)的概念。而在實際的考察過程中，除了要求學生能夠熟記導數(shù)的基本公式之外，還要求學生能夠學會導數(shù)的應用，即學會應用導數(shù)來判斷函數(shù)的單調性，函數(shù)的極值以及函數(shù)的最值。由于知識點較多且相對較復雜，因而在實際的教學過程當中，則要求教師能夠幫助學生構建相應的數(shù)學模型全面加強對學生的思維指導，使得學生在面臨同類型的題目過程中能夠及時的作出反應，且能夠結合往期所學的知識，通過有效的知識遷移，以獲得正確的解題方法。例如，在導數(shù)的應用中，為了判斷函數(shù)的單調性，首先要求學生能夠恰當?shù)臉嬙旌瘮?shù)，構造合適的函數(shù)能夠有效降低解題的難度，同時有效避免二次求導的現(xiàn)象出現(xiàn)，使得學生的解題思路更加的清晰明了。

構造函數(shù)是一個非常的復雜的過程，要求學生能夠在看到題目時第一時間作出反應，且能夠構造出合適的函數(shù)，這就需要學生在學習的過程中能夠通過長期的積累和總結，以掌握相應的解題技巧。在實際的教學活動中，教師還需要通過有針對性的訓練，不斷強化學生的學習過程，全面加強對學生的思維引導，使得學生在學習的過程中能夠形成條件反射，在解題的過程中，選擇合適的解題方法，科學合理的使用構造函數(shù)思想，從而提高其解題的效率和準確性。例如，在函數(shù)與圖像的解題中，數(shù)形結合的方法比構造函數(shù)更適用，計算過程也更加直觀，而通過特殊轉換，加強函數(shù)、方程、不等式之間的轉換，通過分類討論，加強整體和局部的分析，使得復雜的問題簡單化，提高解題的準確率。

結束語

總之，在高中數(shù)學教學中應用構造函數(shù)的思想能夠簡化學生的解題步驟，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維，提高學生的思維品質和綜合能力。同時，讓學生能夠學會利用構造函數(shù)的思想，將其所學的知識充分聯(lián)系起來，從而構建適應的思維導圖，當在再次面臨同類型的題目時，能夠形成條件反射，以全面提高學生的解題技巧和解題能力。

【注釋】

① 姜雷. 巧結合大作用：函數(shù)思想的構造應用[J]. 中學數(shù)學教學，2019（1）：58-60.

② 孫寬程. 運用函數(shù)與方程思想解決實際問題的研究[J]. 現(xiàn)代鹽化工，2019，46（3）：175-176.

（作者單位：江西省上高二中）