案例分析融入常微分方程教學(xué)的探討

摘?要：常微分方程是數(shù)學(xué)專業(yè)核心基礎(chǔ)課程之一，針對傳統(tǒng)常微分方程教學(xué)中存在的問題，嘗試將有實(shí)際社會、生活背景的幾個(gè)案例，包括傳染病傳播問題、星星之火可以燎原的論斷、糖尿病檢測問題，融入到一階微分方程及線性微分方程組的教學(xué)中，從而可以提高學(xué)生學(xué)以致用的能力和學(xué)習(xí)興趣，以達(dá)到更好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：常微分方程;案例分析;教學(xué)

常微分方程是伴隨著17世紀(jì)微積分的發(fā)展而興起的一門歷史悠久的學(xué)科，是高等學(xué)校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)必修課程之一[1-2]。常微分方程既是數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何的后續(xù)課程，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)泛函分析、數(shù)理方程、微分幾何的先修課程，因此，在本科教學(xué)中起著承上啟下的作用。常微分方程在自然科學(xué)與社會科學(xué)領(lǐng)域如物理、力學(xué)、工程、化工、乃至生物、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)等各領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。

一、傳統(tǒng)常微分方程教學(xué)中存在的問題

在傳統(tǒng)的常微分方程教學(xué)內(nèi)容上，往往只講理論部分，不講微分方程的來源和對當(dāng)今社會問題的應(yīng)用。

有的教學(xué)內(nèi)容讓學(xué)生誤認(rèn)為微分方程只來源于自然現(xiàn)象，沒有強(qiáng)調(diào)這門學(xué)科不僅可以描述自然現(xiàn)象，還可以描述社會現(xiàn)象以及日常生活中的實(shí)際問題，導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為常微分方程這一學(xué)科只是求解的技巧和提示的匯集，并說它之所以重要，是因?yàn)樗芙鉀Q物理學(xué)、工程學(xué)方面的問題。比如多數(shù)高校所使用的常微分方程教材里首先提到的就是物理和力學(xué)中的例子RLC電路和數(shù)學(xué)擺問題，這些具有較強(qiáng)抽象性的知識一般很少會出現(xiàn)在人們生活實(shí)際當(dāng)中，對相關(guān)專業(yè)外學(xué)生來說有很大的難度，很多學(xué)生對這些問題望而生畏，也大大降低了后續(xù)學(xué)習(xí)熱情和興趣。

另外有的教學(xué)內(nèi)容選題過于陳舊，除了講解18世紀(jì)的案例外，沒有講述任何與當(dāng)今社會和科技熱點(diǎn)有關(guān)的例子，使得同學(xué)們懷疑它對現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用型，從而失去了繼續(xù)學(xué)習(xí)的興趣。

有的教學(xué)內(nèi)容過分偏理論，開課就是微分方程的概念和一階微分方程的解法定解問題，結(jié)果學(xué)生感覺到從數(shù)學(xué)分析課程到常微分方程的銜接不夠好，跳躍太大，導(dǎo)致學(xué)生們沒有信心和興趣深入學(xué)習(xí)，即使有極少數(shù)同學(xué)對細(xì)節(jié)能推導(dǎo)、能運(yùn)算，但仍然不能理解這些理論與實(shí)際問題的聯(lián)系。

二、常微分方程教學(xué)中案例教學(xué)探索

常微分方程中許多模型都是為了解決實(shí)際問題而產(chǎn)生發(fā)展起來的，所以在講解具體方程（組）求解時(shí)先介紹實(shí)際背景，就能更好地引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)去學(xué)習(xí)相關(guān)理論，并用相關(guān)理論解釋、解決實(shí)際問題，可以學(xué)以致用，同時(shí)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增加學(xué)習(xí)的積極性和熱情，達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果。我們通過以下幾個(gè)例子做初步探討。

（一）傳染病傳播問題

下面基于微分方程的基本理論就一般的傳染規(guī)律討論傳染病的數(shù)學(xué)模型。

從式（5）可知方程的解是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，不管開始時(shí)火星數(shù)量有多少，經(jīng)過一段時(shí)間后，就會產(chǎn)生巨大的火星數(shù)量，以至于可以燎原。

（三）糖尿病檢測問題

糖尿病是新陳代謝疾病，因病人體內(nèi)不能提供足夠的胰島素，從而不能消耗完體內(nèi)所有的糖，使病人血液和尿液中含有過多的糖。檢測糖尿病的常用方法是葡萄糖耐量檢查（GTT），通過禁食后輸入大劑量葡萄糖然后在不同時(shí)間檢測葡萄糖濃度（G）和激素凈濃度（H），視他們變化情況做出判斷。20世紀(jì)60年美國生物學(xué)家Ackerman提出簡易檢測模型，如下圖：

三、結(jié)語

上述案例有實(shí)際應(yīng)用背景，貼近生活，容易為學(xué)生所接納，通過模型假設(shè)和分析將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為常微分方程問題，將常微分方程與實(shí)際生活緊密聯(lián)系起來，使學(xué)生了解微分方程源于生活實(shí)踐又應(yīng)用于生產(chǎn)生活實(shí)踐，可以激發(fā)學(xué)生的求知欲與探究欲，提高了學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的素養(yǎng)，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.

[2]王高雄，周之銘，朱思銘.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

基金項(xiàng)目：2019年9月江蘇理工學(xué)院教改項(xiàng)目“大學(xué)數(shù)學(xué)課程案例式導(dǎo)入教學(xué)模式探索”（11611211946）

作者簡介：孟鳳娟（1982—?），女，漢族，山東單縣人，博士研究生，副教授，研究方向：非線性泛函分析。