對(duì)稱(chēng)箭頭矩陣加三對(duì)角矩陣的廣義逆特征值問(wèn)題

雷英杰，鄭志勇

(中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原 030051)

論文研究具有形式(1)的矩陣An,其中：主對(duì)角元素ai(i=1,2,…,n)為實(shí)數(shù),bi>0(i=1,2,…,n-1)，其余元素為0.am的下標(biāo)m:1≤m≤n，當(dāng)m=1時(shí)An為對(duì)稱(chēng)三對(duì)角矩陣,即Jacobi矩陣.Jacobi矩陣出現(xiàn)在很多科學(xué)領(lǐng)域,如力學(xué)、理論物理學(xué)等[1-3],關(guān)于這類(lèi)矩陣的逆特征值問(wèn)題的研究已有很好的理論成果[4-7].當(dāng)m=n時(shí),An為對(duì)稱(chēng)箭頭矩陣.箭頭矩陣的逆特征值問(wèn)題可以用來(lái)描述星形彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題[8].

(1)

論文討論矩陣An的廣義逆特征值問(wèn)題的形式是AnX=λDnX,其中Dn=diag(d1,d2,…,dn).當(dāng)Dn=E(單位矩陣)時(shí),AnX=λX即為逆特征值問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式.文獻(xiàn)[9-10]系統(tǒng)闡述了各類(lèi)矩陣的逆特征值問(wèn)題.關(guān)于矩陣廣義逆特征值問(wèn)題的研究,文獻(xiàn)[11-12]在給定要求矩陣的j(1

1 主要問(wèn)題及預(yù)備知識(shí)

給定正定對(duì)角矩陣Dn=diag(d1,d2,…dn)和兩個(gè)不同實(shí)數(shù)λ,μ,以及兩個(gè)非零實(shí)向量X=(x1,x2,…,xn),Y=(y1,y2,…,yn)∈Rn,構(gòu)造具有形式(1)的矩陣An,使得(λ,X)和(μ,Y)是矩陣對(duì)(An,Dn)的特征對(duì),即AnX=λDnX且AnY=μDnY.

設(shè)σ(An,Dn)表示矩陣對(duì)(An,Dn)的特征值集合,即若實(shí)數(shù)λ∈σ(An,Dn),則存在唯一的屬于λ的特征向量X，使得方程AnX=λDnX成立.設(shè)Aj表示An的j×j階主子陣,pj(λ)=det(λIj-Aj)表示Aj的特征多項(xiàng)式.設(shè)Aj,n表示矩陣An的(n-j)×(n-j)向下截?cái)囗樞蛑髯泳仃?pj,n(λ)=det(λIj,n-Aj,n)表示Aj,n的特征多項(xiàng)式.

1.1 矩陣An的相關(guān)性質(zhì)

性質(zhì)1矩陣An的各級(jí)順序主子矩陣Aj的特征多項(xiàng)式滿足如下遞推關(guān)系

(2)

性質(zhì)2矩陣An的各級(jí)向下截?cái)囗樞蛑髯泳仃嘇j,n的特征多項(xiàng)式滿足如下遞推關(guān)系

(3)

上述性質(zhì)可通過(guò)計(jì)算特征矩陣的行列式得出.

1.2 論文定義的記號(hào)

2 問(wèn)題的解

設(shè)λ,μ∈σ(An,Dn),則對(duì)于矩陣對(duì)(An,Dn)的特征對(duì)(λ,X)和(μ,Y)，有下列矩陣方程組成立

(4)

運(yùn)用矩陣分塊知識(shí)進(jìn)行討論,有

其中：em=(0,0,…,0,1)T∈Rm,δ1=(1,0,…,0)T∈Rn-m.

將上述矩陣方程組(4)等價(jià)表示為下面的線性方程組

(5)

(6)

(7)

(8)

若要完成具有形式(1)的矩陣An的構(gòu)造,需求解方程組(5)～(8)的未知元素ai,bi.

定理1廣義逆特征值問(wèn)題AnX=λDnX有唯一解的充要條件為:對(duì)所有i,j=1,2,…,n,xiyj≠0,有

(1)θi,m≠0且(μ-λ)·Ei·θi,m>0,i=1,2,…,m-1;

證明首先證明充分性.對(duì)所有i,j=1,2,…,n,xiyj≠0,因條件(1)成立,應(yīng)用非齊次線性方程組理論可解得方程組(5)有唯一解(9),對(duì)所有的i=1,2,…,m-1,ai,bi,bi>0，有下列結(jié)果成立

(9)

由條件(2)成立,可通過(guò)求解方程組(6)得到am,bm,bm>0，有下列結(jié)果成立

(10)

對(duì)于所有的i=m+1,…,n-1,先求解出bi再求解ai.首先由方程組(7)消去ai，得到

bi-1(xi-1yi-yi-xi)-bi(xiyi+1-yixi+1)=(λ-μ)dixiyi,i=m+1,…,n-1.

bi-1φi-1-biφi=(λ-μ)dixiyi,i=m+1,…,n-1.

(*)

應(yīng)用累加法對(duì)所有的i=m+1,…,n-1的(*)式求和,可得

因條件(3)成立，所以可求得bi為

(11)

再將bi代入方程組(7)，可求解ai為

(12)

由方程組(8),因?yàn)閤nyn≠0，可解得An為

(13)

3 算法和數(shù)值實(shí)例

3.1 算 法

步驟1 輸入實(shí)數(shù)λ,μ,兩個(gè)n元數(shù)組X,Y∈Rn,以及正定對(duì)角矩陣Dn;

步驟2 當(dāng)i=1,2,…,m-1時(shí),首先計(jì)算Ei,θi,m和θi,m(λ,μ),再進(jìn)行判斷,如果θi,m≠0且(μ-λ)·Ei·θi,m>0成立,執(zhí)行步驟3,否則停止;

步驟10 構(gòu)造具有形式(1)的矩陣An.

3.2 數(shù)值實(shí)例

例給定實(shí)數(shù)λ=-1.073 1,μ=0.044 2和兩個(gè)不同的實(shí)向量X,Y∈Rn,以及正定對(duì)角矩陣D8如下

X=(0.016 9,0.100 0,0.815 3,-0.850 1,-0.099 6,0.357 0,0.089 7,-0.338 5),

Y=(-0.011 2,-0.064 7,0.547 5,0.315 0,0.057 7,-0.833 1,-0.177 1,0.755 6),

根據(jù)算法且應(yīng)用Matlab計(jì)算ai,bi,可以構(gòu)造具有形式(1)的矩陣A8為

σ(A8,D8)=( -26.349 3 , -18.111 0 ,-1.073 1,0.044 2,7.556 8,8.155 5,43.387 9,75.500 1)，

其中：V的列向量為屬于σ(A8,D8)相應(yīng)位置特征值的特征向量.