2020年高考“空間幾何體”經(jīng)典問題聚集

王張慶

本文以2020年高考真題為載體，探究空間幾何體中經(jīng)典問題的類型及求解的思維方法，希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)有所幫助。

聚焦1——旋轉(zhuǎn)體的體積或表面積的計(jì)算

例1（2020年高考浙江卷14）已知圓錐展開圖的側(cè)面積為2π，且為半圓，則底面半徑為____.

回味：本題考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等學(xué)科素養(yǎng)。解題關(guān)鍵是正確應(yīng)用圓錐側(cè)面展開圖中的不變量和軸截面中的直角三角形解題。

聚焦2——由三視圖還原幾何體

例2 （2020年高考全國Ⅱ卷理7）圖1是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體的某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為M，在俯視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為N，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為（ ）。

A. E B. F C. G D. H

解析：根據(jù)三視圖，畫出多面體的立體圖形，如圖2，圖中標(biāo)出了M點(diǎn)所在位置，可知在側(cè)視圖中所對應(yīng)的點(diǎn)為E。

回味：在還原幾何體時(shí)要利用三視圖的特征：正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬，正側(cè)一樣高。三視圖實(shí)質(zhì)是從前向后，從上到下，從左到右的最大的直接面，根據(jù)三視圖判斷點(diǎn)的位置，考查直觀想象的學(xué)科素養(yǎng)。

聚焦3——三視圖還原幾何體中的“特殊模型”

例3 （2020年高考全國Ⅲ卷文9、理8）圖3為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（ ）。

回味：通過三視圖還原幾何體時(shí)，若三視圖中至少有兩個(gè)視圖為三角形，則該幾何體為錐體;若三視圖中出現(xiàn)兩個(gè)或三個(gè)矩形或直角三角形，可考慮以正方體或長方體為載體進(jìn)行視圖還原。本題考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等學(xué)科素養(yǎng)。

聚焦4——多面體的表面積或體積計(jì)算

回味：由三視圖計(jì)算幾何體的體積，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等學(xué)科素養(yǎng)。解題關(guān)鍵是能通過三視圖還原出立體圖形。

聚焦5——組合體的體積計(jì)算

例2 （2020年高考江蘇卷9）如圖6，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的。已知螺帽的底面正六邊形的邊長為2 cm，高為2 cm，內(nèi)孔半徑為0.5 cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____ cm3。

回味：空間組合體的體積計(jì)算常常用割補(bǔ)法化歸為熟悉的多面體或旋轉(zhuǎn)體，借助正棱柱或圓柱或正棱錐的體積公式求解，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)直觀等學(xué)科素養(yǎng)。

聚焦6——多面體的外接球中的“直接法”或“補(bǔ)形法”

回味：求多面體的外接球的面積和體積問題，常用方法有：（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑;（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑。

聚焦7——與球有關(guān)的最值問題

例7（2020年高考全國Ⅲ卷文16、理15）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為 ____ 。

解析：將圓錐內(nèi)半徑最大的球轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的值。

回味：本題考查了圓錐的內(nèi)切球，考查球的體積公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科素養(yǎng)。解題關(guān)鍵是認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，正確作出截面，構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理解題。

（責(zé)任編輯王福華）