直觀想象 等介轉(zhuǎn)化
——由導(dǎo)數(shù)的定義應(yīng)用引發(fā)的思考

■楊正福

同學(xué)們?cè)诶斫鈱?dǎo)數(shù)的定義時(shí),應(yīng)先由直觀結(jié)構(gòu)形式形成高中數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)“直觀想象”；再利用函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),可以將已給定的極限式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化變形為導(dǎo)數(shù)定義的直觀結(jié)構(gòu)形式,通過觀察比較發(fā)現(xiàn)與定義的差別；最后達(dá)到解決導(dǎo)數(shù)定義應(yīng)用的相關(guān)問題,加深對(duì)導(dǎo)數(shù)定義的極限形式“增量Δx的形式是多種多樣的,但Δy也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式”的理解。

1.問題背景

同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念之后,不知道如何著手解答問題。如設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),試用f′(x0)表示的值。

分析：。

很多同學(xué)不知道為什么要進(jìn)行這樣的變形,理由依據(jù)是什么。

2.對(duì)問題進(jìn)行分析、反思并解答

我們重新看導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率f′(x0)=,稱為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)。記作f′(x0)或。同學(xué)們通過反復(fù)閱讀,觀察直觀結(jié)構(gòu)形式的分子與分母的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)在極限符號(hào)下,分母是分子中的自變量之差,這是導(dǎo)數(shù)定義的直觀結(jié)構(gòu)形式。不過由于增量Δx的形式是多種多樣的,利用函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),可以將已給定的極限式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化變形為導(dǎo)數(shù)定義的直觀結(jié)構(gòu)形式,即Δy也必須選擇與增量Δx相對(duì)應(yīng)的形式。

有了這種閱讀和觀察,同學(xué)們對(duì)導(dǎo)數(shù)定義的理解就會(huì)更加深刻,對(duì)于上述問題的解答也就有了思路：由導(dǎo)數(shù)的定義“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)”,得直觀結(jié)構(gòu)形式,即,分母是分子中的自變量之差。

根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義的直觀結(jié)構(gòu)形式,通過數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的“直觀想象”,可以考慮把原題中的“分母”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“分子中的自變量之差”,則。再觀察比較原題形式的不同點(diǎn)。通過觀察同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn),形式的不同點(diǎn)。發(fā)現(xiàn)差別在于分母中-Δx與Δx,那么要想從Δx等價(jià)轉(zhuǎn)化為-Δx,則應(yīng)在分母添加負(fù)號(hào),但等價(jià)轉(zhuǎn)化變形過程中要保證式子的成立(則應(yīng)添加兩個(gè)負(fù)號(hào)),再提一個(gè)負(fù)號(hào)到極限符號(hào)前,這樣就等價(jià)轉(zhuǎn)化為直觀結(jié)構(gòu)形式了。同學(xué)們要注意極限符號(hào)下應(yīng)變?yōu)?Δx→0。

3.啟示

可見解決這類問題的關(guān)鍵就是先用導(dǎo)數(shù)定義的直觀結(jié)構(gòu)形式,通過直觀想象,對(duì)題中分母進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化變形,使問題轉(zhuǎn)化靠近定義的直觀結(jié)構(gòu)形式；再找到題中直觀結(jié)構(gòu)形式與定義的直觀結(jié)構(gòu)形式的差別,添加符號(hào)和數(shù)值；最后檢查極限符號(hào)下形式與分母形式的對(duì)應(yīng),這樣就等價(jià)轉(zhuǎn)化為直觀結(jié)構(gòu)形式了。