素?cái)?shù)遞進(jìn)篩及初步應(yīng)用

李炳賢 李娜 陳龍泉

【摘要】應(yīng)用自然數(shù)組的周期性，導(dǎo)出素?cái)?shù)遞進(jìn)篩，利用遞進(jìn)篩的性質(zhì)，證明了哥德巴赫猜想的成立，同時(shí)取得了偶數(shù)用兩素?cái)?shù)和表示的組數(shù)計(jì)算式.

【關(guān)鍵詞】素?cái)?shù)分布;素?cái)?shù)遞進(jìn)篩;哥德巴赫猜想

【主題索引號(hào)】MR（2000） 11N05

素?cái)?shù)一直是數(shù)論中最有趣、最吸引人的研究課題，素?cái)?shù)除了它的定義之外，我們還知道的性質(zhì)就是算術(shù)基本定理，而且它的性質(zhì)都是從基本定理中推導(dǎo)出來(lái)的.為研究素?cái)?shù)，建立了非常有效的Eratosthenes篩法，并且開(kāi)展了多方面的探索.這些成果為了解素?cái)?shù)分布奠定了基礎(chǔ).而關(guān)于素?cái)?shù)許多有趣的問(wèn)題，看起來(lái)很簡(jiǎn)單，很容易解決，但大多數(shù)是至今仍未解決的數(shù)學(xué)難題.

本文在建立有客觀內(nèi)在規(guī)律的素?cái)?shù)篩—素?cái)?shù)遞進(jìn)篩的基礎(chǔ)上，利用這種篩與素?cái)?shù)性質(zhì)的關(guān)聯(lián)性，對(duì)素?cái)?shù)分布的有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行了探討，應(yīng)用初等數(shù)論研究的方法和結(jié)果，解決了素?cái)?shù)孿生數(shù)、素?cái)?shù)間距的無(wú)限性問(wèn)題，并完成了對(duì)哥德巴赫猜想的證明.

一、素?cái)?shù)遞進(jìn)篩的建立

1.自然數(shù)陣的周期性

數(shù)論中對(duì)于除1以外的自然數(shù)，都會(huì)討論其是素?cái)?shù)還是合數(shù).因此，在建立素?cái)?shù)遞進(jìn)篩時(shí)，就對(duì)自2起的自然數(shù)進(jìn)行研究.

自2開(kāi)始對(duì)自然數(shù)進(jìn)行豎排，并依次記下，組成如A這樣的數(shù)陣，在這樣的排列中很容易發(fā)現(xiàn)某些行中的數(shù)存在相同的因數(shù).如第1，3和5行中都有因數(shù)2，而第2和5行中都有因數(shù)3.在做素?cái)?shù)篩法的時(shí)候，可以用數(shù)的有序排列篩去合數(shù)，而不用去對(duì)每個(gè)數(shù)進(jìn)行計(jì)算，從而提高篩合數(shù)的效率.

同時(shí)，從A數(shù)陣的排列中也可觀察到，如果對(duì)A以后的自然數(shù)進(jìn)行記錄，可以用A中的數(shù)加上30得到另一個(gè)方陣，如B數(shù)陣.如此不斷拓展可以得到之后的所有的自然數(shù)的記錄.可見(jiàn)這樣的數(shù)陣具有周期性.為便于討論，將A這樣的數(shù)陣推廣到一般形式：

An數(shù)陣中pi是第i個(gè)素?cái)?shù).這個(gè)數(shù)陣的周期是 ∏n1 pi .數(shù)陣中的全體數(shù)的總稱為數(shù)組.

2.素?cái)?shù)遞進(jìn)篩的導(dǎo)出

在An中，分別取n=1，2，3，…，則相應(yīng)地Pn=2，3，5，…，可得到如下對(duì)應(yīng)的An數(shù)陣：

去除P1=2的因數(shù)

去除P2=3的因數(shù)

從C2中可以發(fā)現(xiàn)：在這樣的數(shù)組中，就是將A2數(shù)組中含（P1=）2的因數(shù)去除后的結(jié)果，這樣就篩去了含2的所有因數(shù).從C3中可以發(fā)現(xiàn)：這個(gè)數(shù)組是將A3中（P1=）2，（P2=）3的因數(shù)篩去后的結(jié)果，相當(dāng)于在C2中又篩去（P2=）3后的結(jié)果.以此類推，可以得到Cn的一般式：

由此將Cn 定義為素?cái)?shù)遞進(jìn)篩.

由素?cái)?shù)遞進(jìn)篩的形成可知，Cn的行數(shù)為∏n-11 （pi-1 ），列數(shù)為Pn.篩中總數(shù)為Mn=Pn·∏n-11 （pi-1 ）.應(yīng)該注意的是Cn中除了第一及最后一個(gè)橫列的數(shù)可以確定外，其他橫列的數(shù)要通過(guò)逐級(jí)遞進(jìn)篩后才能得到，不可以跳級(jí)獲得.

根據(jù)帶余數(shù)除法的定理2及推論3可知，在Cn的每一個(gè)橫列中有一個(gè)且只有一個(gè)含Pn（包括自身）的因數(shù).

如第一橫列或首數(shù)是Pn倍數(shù)的橫列中，其首數(shù)就是能被Pn整除的數(shù).而其他數(shù)不能被Pn整除，即一個(gè)橫列中只有一個(gè)含Pn的因數(shù).

在其他橫列中，其首數(shù)不能被Pn整除，它必然有余數(shù)±1，±2，…，±（Pn-1）/2中的一個(gè)，而K∏n-11pi （K=1，2，…，n-1）被Pn除也有對(duì)應(yīng)[±1，±2，…，±（Pn-1）/2中]的一個(gè)余數(shù)值.這兩個(gè)余數(shù)和為零的數(shù)即能被Pn整除的數(shù)，且在一個(gè)橫列中只有一個(gè)這樣的數(shù).

總之，在遞進(jìn)篩中對(duì)Pn進(jìn)行篩操作，因?yàn)槊恳粰M列的數(shù)有Pn個(gè)，篩出了一個(gè)，留下Pn-1個(gè).對(duì)總體篩來(lái)說(shuō)，一共有∏n-11 （pi- 1）行，所以在Cn中對(duì)Pn進(jìn)行篩操作后，余下的數(shù)為M（n）=（Pn-1）∏n-11（pi- 1）=∏n1（pi- 1），這也是更高級(jí)篩的首列數(shù).

3.素?cái)?shù)遞進(jìn)篩的基本性質(zhì)

性質(zhì)1：每個(gè)級(jí)別的遞進(jìn)篩篩出其中最小素?cái)?shù)及其合數(shù)后，每一個(gè)橫列僅能篩出（去）一個(gè)數(shù)，留下Pn-1個(gè)數(shù).

遞進(jìn)篩形成的過(guò)程中，之前的每次篩操作已經(jīng)將小于Pn的素?cái)?shù)及因數(shù)全部篩去，因此，篩中的數(shù)都是不小于Pn的素?cái)?shù)或是含不小于Pn的因數(shù)的合數(shù).而做篩操作時(shí)，必將篩出Pn;篩去含Pn的全部合數(shù)，這些合數(shù)是Pn與不小于Pn數(shù)的乘積值，在篩內(nèi)滿足不小于Pn的另一個(gè)因數(shù)m是Pn≤m<1+∏n-11 pi ，共∏n-11 （pi- 1）-1個(gè)數(shù)，這是篩掉的個(gè)數(shù)，再加上一個(gè)篩出的Pn，全部篩出（去）的數(shù)為∏n-11 （pi-1）個(gè)數(shù).由此得到：

性質(zhì)2：篩中含Pn因數(shù)的合數(shù)是與第一列各數(shù)（除最末位的數(shù)）的乘積值.這也是用乘法篩合數(shù)的算法.

二、素?cái)?shù)遞進(jìn)篩在哥德巴赫猜想證明中的應(yīng)用

關(guān)于哥德巴赫猜想的證明已經(jīng)進(jìn)行了多種方法多種途徑的探索，但還是沒(méi)有最終給出很好的證明.作為遞進(jìn)篩的應(yīng)用對(duì)猜想給出如下證明.

1.偶數(shù)用大于1的兩個(gè)自然數(shù)的和表示的組數(shù)計(jì)算式

大于1的自然數(shù)為2，3，4，…，n+1，…這樣的數(shù)列.設(shè)偶數(shù)為D，則：

D=（n+1）+（n+1）=n+（n+2）=（n-1）+（n+3）=…=（1+1）+（2n）

兩個(gè)數(shù)和的組數(shù)共為n組，而D=2+2n，所以，n=D/2-1，這是一個(gè)偶數(shù)用兩個(gè)大于1的自然數(shù)的和表示的組數(shù)，我們將它定義為N0.則N0=D/2-1，且D≥4=P12.

2.偶數(shù)用兩個(gè)奇數(shù)和表示的組數(shù)計(jì)算式

將C1延伸，它的全體數(shù)就是大于1的自然數(shù)，則可以得到這樣的數(shù)組：

X：2，4，6，8，10，…，2n，…

Y：3，5，7，9，11，…，2n+1，…

當(dāng)這個(gè)數(shù)組中，去除了含因數(shù)2的數(shù)列X行后，這個(gè)數(shù)組就只剩下奇數(shù)系列Y這一半的數(shù)，相應(yīng)地，對(duì)構(gòu)成D的數(shù)N0也只剩了一半，則用兩個(gè)奇數(shù)和表示偶數(shù)的組數(shù)為：

N1=N0/2=（D/2-1）/2=D/4-1/2（N取整，下同），顯然，這時(shí)D≥6=P12+ P1.

3.篩去P2=3后的奇數(shù)和的組數(shù)計(jì)算式

將C2延伸，則可以得到這樣的數(shù)組：

O：3，9，15，21，27，…，6n-3，…

A：5，11，17，23，29，…，6m-1，…

B：7，13，19，25，31，…，6r+1，…

在數(shù)組OAB中，第一行O數(shù)列的通式為an=6n-3，第二行A數(shù)列的通式為am=6m-1，第三行B數(shù)列的通式為ar=6r+1.

（1）當(dāng)D=6K時(shí)（3的倍數(shù)）

∵an+ am=6（n+m）-4≠D，an+ ar=6（n+r）-2≠D，

∴組成偶數(shù)兩數(shù)和的數(shù)組A，B不會(huì)因?yàn)槿コ齇行而跟著去除，即在數(shù)組OAB中只去除了第一行O，保留了第二行A，B，即去除了數(shù)組的1/P2=1/3個(gè)數(shù)，相應(yīng)地N1就減少了1/3.

N2=[（3-1）/3]N1=（2/3）N1

（2）當(dāng)D=6K-2時(shí)（非3的倍數(shù)）

∵an+ am=6（n+m）-4=6（n+m-1）+2≠D，

∴組成偶數(shù)兩數(shù)和的數(shù)組A因?yàn)槿コ齇行而跟著去除，即在數(shù)組OAB中去除了第一、第二行，保留了一行B，即去除了數(shù)組的2/P2=2/3個(gè)數(shù)，相應(yīng)地N1就減少了2/3.

N2=[（3-2）/3]N1=（1/3）N1

（3）當(dāng)D=6K+2時(shí)（非3的倍數(shù)）

∵an+ ar=6（n+r）-2≠D，

∴組成偶數(shù)兩數(shù)和的數(shù)組B因?yàn)槿コ齇行而跟著去除，即在數(shù)組OAB中去除了第一、第三行，保留了一行A，即去除了數(shù)組的2/P2=2/3個(gè)數(shù)，相應(yīng)地N1就減少了2/3.

N2=[（3-2）/3]N1=（1/3）N1

綜上所述，篩去P2的奇數(shù)和的組數(shù)計(jì)算式

N2=（2/3）N1=[（P2-1）/P2]N1（D為3的倍數(shù)）

N2=（1/3）N1 =[（P2-2）/P2] N1（D不為3的倍數(shù)， D≥12=P22+ P2）

4.偶數(shù)用兩個(gè)奇數(shù)和來(lái)表示的組數(shù)的一般計(jì)算式

用與篩去P2=3后的奇數(shù)和的組數(shù)計(jì)算式相同的方法，可以逐個(gè)對(duì)Pn 進(jìn)行分析，并得到計(jì)算式，在Cn+1中：

Nn=[（Pn-1）/Pn]Nn-1（D=KPn）

Nn=[（Pn-2）/Pn]Nn-1（D≠KPn）

用上述計(jì)算式遞推可以得到一般計(jì)算式：

Nn=（D/4-1/2）∏（1-1/ pi）∏（1-2/ pj）（2≤i，j≤n）（D≥P2n+ Pn）（D=K pi）（D≠K pj）（1）

特別地，

Nn=（D/4-1/2）∏n2（1-1/ pi）（D=∏n1 pi）（2）

Nn=（D/4-1/2）∏n2（1-2/ pi）（D≠K pi）（如D=2k ）（3）

計(jì)算公式（1）中，對(duì)于每個(gè)偶數(shù)的奇數(shù)組做出了比較精確的計(jì)算，但對(duì)總趨勢(shì)的分析不直觀.為了進(jìn)一步方便分析總趨勢(shì)，又不失嚴(yán)肅性，用取值最小的計(jì)算公式（3）來(lái)分析偶數(shù)的奇數(shù)和的組數(shù)的變化規(guī)律.

（1）在Cn+1中，當(dāng)D≥P2n+ Pn 時(shí)，用Nn=（D/4-1/2）∏n2（1-2/ pi）來(lái)表示D的取值，而不考慮D是否有pi因數(shù)，其取值為最小可能的值.式中∏n2（1-2/ pi）是一個(gè)確定的值，而（N1=）D/4-1/2是D的單調(diào)增函數(shù)，所以Nn也是D的單調(diào)增函數(shù).

（2）在Cn+1中，當(dāng)D=P2n+ Pn 時(shí)，Nn=[（P2n+ Pn）/4-1/2]*∏n2（1-2/ pi）.在Cn中，當(dāng)D=Pn-12+ Pn-1 時(shí)，Nn-1=[（Pn-12+ Pn-1）/4-1/2]* ∏n-12（1-2/ pi）.我們來(lái)比較一下這兩個(gè)值的大小：

Nn / Nn-1=[（P2n+ Pn-2）/（Pn-12+ Pn-1-2）]（1-2/ Pn）

>[（P2n+ Pn）/（Pn-12+ Pn-1）]（1-2/ Pn）

≥（P2n+ Pn）/[（Pn-2）2+（Pn-2）]*[（Pn -2）/ Pn]

=（Pn+1 ）/[（Pn-2）+1]>1

因此，Nn >Nn-1.

（3）在Cn中，當(dāng)D=P2n+ Pn-2時(shí)，Nn-1=[（P2n+ Pn-2）/2-1]/2* ∏n2-1（1-2/ pi），

在Cn+1中，當(dāng)D=P2n+ Pn 時(shí)，Nn=[（P2n+ Pn）/2-1]/2* ∏n2（1-2/ pi）.比較一下這兩個(gè)值的大小：

Nn-1 / Nn=[（P2n+ Pn-2-2）/（P2n+ Pn-2）][ Pn / （Pn -2）]

>[（P2n+ Pn-2）/（P2n+ Pn）][ Pn / （Pn -2）]>[（P2n+ Pn）/（P2n+ Pn）]（Pn / Pn ）=1

因此，Nn-1>Nn.

綜上所述，如考慮N值不重復(fù)取值，它是一個(gè)分段定義的函數(shù).每段的尾值大于始值;后段始值大于前段始值，而小于前段尾值.形成鋸齒狀不斷向上的折線.而N的起始值為1.

5.證明

由N計(jì)算公式知，它的起始值為1，隨偶數(shù)的增加而分段逐步遞加.現(xiàn)在只要證明：在D各分段定義的范圍內(nèi)，構(gòu)成它們的兩個(gè)奇數(shù)都是在對(duì)應(yīng)的遞進(jìn)篩中的素?cái)?shù)，即證明哥德巴赫猜想成立.下面用數(shù)學(xué)歸法來(lái)證明.以下由素?cái)?shù)構(gòu)成的奇數(shù)組的個(gè)數(shù)（簡(jiǎn)稱素?cái)?shù)組）用G來(lái)表示.

在22+2=6≤D<12=32+3區(qū)間，由C2中的對(duì)應(yīng)數(shù)來(lái)組成奇數(shù)組，它們的個(gè)數(shù)由N1=N0/2=（D/2-1）/2確定，實(shí)際的組成為6=3+3，8=3+5，10=5+5=3+7，全是C2中的素?cái)?shù)，篩中的因數(shù)9小于最大的D=10，但篩內(nèi)的最小數(shù)是3，所以，用不到9來(lái)構(gòu)成區(qū)間內(nèi)的偶數(shù).這時(shí)，G6=（6/2-1）/2=1，G8=（8/2-1）/2=1，G10=（10/2-1）/2=2（計(jì)算結(jié)果取整數(shù)），與實(shí)際相符.

對(duì)于C2，在D的定義范圍內(nèi)，構(gòu)成它們的兩個(gè)奇數(shù)都是在對(duì)應(yīng)的遞進(jìn)篩中的素?cái)?shù).

現(xiàn)在，設(shè)在Cn中，當(dāng)Pn-12+ Pn-1≤D< P2n+ Pn時(shí)，

G=Nn-1=（D/4-1/2）·∏（1-1/ pi）∏（1-2/ pj）（2≤i，j≤n-1）

（D=K pi）（D≠K pj）

所對(duì)應(yīng)的奇數(shù)組中的奇數(shù)全部是奇素?cái)?shù)成立.

這時(shí)Cn中，在（Pn-12+ Pn-1，Pn+12+ Pn+1）存在P2n，PnPn+1等含Pn因數(shù)的合數(shù)，而這些因數(shù)不對(duì)Pn-12+ Pn-1≤D< P2n+ Pn組成的素?cái)?shù)組產(chǎn)生影響，但對(duì)P2n+ Pn≤D< Pn+12+ Pn+1的奇數(shù)組中的純素?cái)?shù)性產(chǎn)生影響.因此，就要對(duì)Cn進(jìn)行篩Pn的操作，得到Cn+1，在Cn+1中，就篩去了P2n，PnPn+1等含Pn因數(shù)的合數(shù)，這個(gè)D區(qū)間內(nèi)的奇數(shù)組的計(jì)算結(jié)果為：

Nn=Nn-1·（1-1/ Pn）?? （D=K pi）

或者Nn=Nn-1·（1-2/ Pn）?? （D≠K pj）

而邊界的Pn+12+ Pn+1不在D的區(qū)間內(nèi)，Pn+12的因數(shù)不對(duì)D區(qū)間內(nèi)的奇數(shù)組中的純素?cái)?shù)性產(chǎn)生影響.

所以，在Cn+1中，當(dāng)P2n+ Pn≤D< Pn+12+ Pn+1時(shí)，

G=Nn=（D/4-1/2）·∏（1-1/ pi）∏（1-2/ pj）（2≤i，j≤n） （D=K pi）（D≠K pj）（4）

所對(duì)應(yīng)的奇數(shù)組中的奇數(shù)也全部是奇素?cái)?shù).至此，哥德巴赫猜想得到證明.

應(yīng)注意到，上式給出了在遞進(jìn)篩內(nèi)精確計(jì)算偶數(shù)用兩個(gè)素?cái)?shù)和表示的組數(shù)計(jì)算式.

三、結(jié) 論

1.素?cái)?shù)遞進(jìn)篩在篩合數(shù)時(shí)不會(huì)出現(xiàn)重復(fù)計(jì)算，效率高，為找大素?cái)?shù)提供了便利.素?cái)?shù)遞進(jìn)篩與有關(guān)素?cái)?shù)問(wèn)題可以建立一定的關(guān)聯(lián)，為解決相關(guān)素?cái)?shù)分布問(wèn)題提供了可選的工具.素?cái)?shù)遞進(jìn)篩的大小是由客觀決定的，也可以稱它為自然篩.

2.素?cái)?shù)遞進(jìn)篩做篩操作時(shí)，篩去（出）篩中最小素?cái)?shù)合數(shù)（包括自身）的個(gè)數(shù)等于篩中全體數(shù)被該素?cái)?shù)除的商.

3.哥德巴赫猜想成立，并且偶數(shù)用兩個(gè)素?cái)?shù)和來(lái)表示的組數(shù)在一定的精度內(nèi)可用公式計(jì)算.

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