G-錐度量空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理

黃琪,薛西鋒

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安710127)

1.引言

文[1]提出了G-錐度量空間的概念,并得出了一些不動(dòng)點(diǎn)定理.文[2-4]研究了不同壓縮條件下的不動(dòng)點(diǎn)和公共不動(dòng)點(diǎn)定理.隨后,2016年,文[5]在改變文[1]的壓縮條件下研究了G-錐度量空間中壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理,使得出的定理更具一般性.本文在文[5]的基礎(chǔ)上,通過(guò)引入新的壓縮條件,得出了新的不動(dòng)點(diǎn)定理,并且得出了在弱相容自映射下的公共不動(dòng)點(diǎn)定理.

2.預(yù)備知識(shí)

定義2.1[1]設(shè)E是一個(gè)實(shí)Banach空間,P是E的一個(gè)非空閉子集,R是實(shí)數(shù)集,若滿足:

1)P≠ {θ},θ為E的零元;

2)?a,b ∈R,a,b ≥0和?x,y ∈R,都有ax+by ∈P;

3)P ∩(?P)=θ,

則稱P為E中的一個(gè)錐.設(shè)x,y ∈E,若x ≤y當(dāng)且僅當(dāng)y?x ∈P和x ?y當(dāng)且僅當(dāng)y?x ∈∫P,則稱“≤”和“?”都為E中的偏序,這里∫P表示P的內(nèi)部.若∫P≠?,則稱P為體錐,如果對(duì)?x,y ∈E,都存在常數(shù)M >0,使得當(dāng)θ ≤x ≤y,都有||x||≤M||y||,則稱P為賦范向量空間(E,||·||)中的正規(guī)錐,而滿足上式的最小的M稱為P的正規(guī)常數(shù).

定義2.2[1]設(shè)X是非空集,假設(shè)映射G:X×X ×X→E,滿足:

1)?x,y,z ∈X,G(x,y,z)=0?x=y=z;

2)?x,y ∈X,當(dāng)x≠y時(shí),G(x,x,y)>0;

3)?x,y,z ∈X,當(dāng)y≠z時(shí),G(x,x,y)≤G(x,y,z);

4)?x,y,z ∈X,G(x,y,z)=G(x,z,y)=G(y,x,z)=···(關(guān)于這三個(gè)元素滿足對(duì)稱關(guān)系);

5)?x,y,z,a ∈X,G(x,y,z)≤G(x,a,a)+G(a,y,z).

則稱G為X上的一個(gè)廣義錐度量,稱(X,G)為G-錐度量空間.

定義2.3[4]設(shè)X是一個(gè)G-錐度量空間,{xn}?X,

1)?c ∈E且c ?θ,存在正數(shù)N,當(dāng)?m,n,l >N時(shí),有G(xm,xn,xl)?c,則稱 {xn}為X中的Cauchy列;

2)?c ∈E且c ?θ,存在正數(shù)N,當(dāng)?m,n >N時(shí),有G(xm,xn,x)?c,則稱 {xn}為X中的收斂列; 其中x為X中的一個(gè)固定點(diǎn),稱序列 {xn}?X收斂于x.

若X的每個(gè)Cauchy列在X中都是收斂的,則稱G-錐度量空間完備.

定義2.4[3]設(shè)X是一非空集合,映射f,g:X→X,若存在x ∈X,使得ω=fx=gx,則稱ω ∈X是f和g的疊合點(diǎn).

定義2.5[3]設(shè)X是一非空集合,映射f,g:X→X,對(duì)任意u ∈X,如果fu=gu,都滿足fgu=gfu,則稱(f,g)弱相容.

命題2.1[2]設(shè)(X,d)是錐度量空間,=?,{xn}是X中的序列,如果 {xn}收斂,則 {xn}的極限唯一.

命題2.2[2]設(shè)x ∈E,{xn}是E中的序列,θ ?c(c ∈E),對(duì)θ ?xn且||xn||→0(n→∞),則存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí),有xn ?c.

命題2.3[2]設(shè)x ∈E,?θ ?c(c ∈E),有θ ≤x ?c,則x=θ.

引理2.1[1]設(shè)(X,G)為G-錐度量空間,則以下結(jié)果等價(jià):

1){xn}收斂于x;

2)G(xn,xn,x)→0(n→∞);

3)G(xn,x,x)→0(n→∞);

4)G(xm,xn,x)→0(n,m→∞).

引理2.2[1]設(shè)(X,G)為G-錐度量空間,?x,y,z,a ∈X,有以下結(jié)論成立:

1)G(x,y,z)≤G(x,x,y)+G(x,x,z);

2)G(x,y,y)≤2G(y,x,x);

3)G(x,y,z)≤G(x,a,z)+G(a,y,z);

4)G(x,y,z)≤(G(x,y,a)+G(x,a,z)+G(a,y,z));

5)G(x,y,z)≤G(x,a,a)+G(y,a,a)+G(z,a,a).

引理2.3[3]設(shè)X是一非空集合,f,g是X中的自映射,(f,g)弱相容,假設(shè)f,g有唯一的疊合點(diǎn),即ω=fx=gx,則ω是f,g的唯一公共不動(dòng)點(diǎn).

3.主要定理及結(jié)論

定理3.1設(shè)(X,G)是完備的G-錐度量空間,設(shè)映射T:X→X,?x,y,z ∈X滿足條件:

其中a1+2a2+a3+a4<1且a1>2a2,ai >0(i=1,2,3,4),則T在X中存在唯一不動(dòng)點(diǎn).

證給定x0∈X,令xn+1=Txn,則

可得

即

易知||δn?1G(x2,x1,x0)||→0,由命題2.2知,G(xn+1,xn,xn?1)?c,從而 {xn}是X中的Cauchy列.

由X的完備性知,存在x?∈X,使得xn→x?(n→∞),從而

其中

整理可得

即

由引理2.1得

因?yàn)??4a2?a3?a4>0,所以G(x?,x?,Tx?)≤0,易知G(x?,x?,Tx?)≥0,故G(x?,x?,Tx?)=0.由定義2.2知x?=Tx?,若存在另一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)y?,使得y?=Ty?,則

顯然不成立,故x?是T的唯一不動(dòng)點(diǎn).

推論3.1設(shè)(X,G)是完備的G-錐度量空間,映射T:X→X,對(duì)?x,y,z ∈X滿足條件:

則T在X中存在唯一不動(dòng)點(diǎn).

證令定理3.1中的結(jié)論易證.

定理3.2設(shè)(X,G)是完備的G-錐度量空間,S,T是X上的自映射,若對(duì)任意x,y,z ∈X,有

成立,其中2b1+b2+b3<1且b1,b2,b3∈(0,1),假設(shè)T(X)?S(X),S(X)是X的完備子空間,S,T均連續(xù),(S,T)弱相容,則S,T存在唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).

證給定x0∈X,設(shè)Tx0∈T(X),因?yàn)門(X)?S(X),所以有x1∈X,使得Tx0=Sx1,令ω1=Tx0=Sx1,又Tx1∈T(X)?S(X),所以有x2∈X,使得Tx1=Sx2,令ω2=Tx1=Sx2,依次下去,有Txn?1=Sxn,令ωn=Txn?1=Sxn(n=1,2,3,···),下證 {ωn}是X中的Cauchy列.

即

易知||λn?1G(ω2,ω1,ω0)||→0,由命題2.2知,G(ωn+1,ωn,ωn?1)?c,任取n,m,l,且n

即

由命題2.2知,G(ωn,ωm,ωl)?c,故 {ωn}是X中的Cauchy列.又因?yàn)镾(X)是X的完備子空間,所以存在y ∈S(X),使得

因?yàn)镾,T均連續(xù),所以

下證Sy=Ty.

當(dāng)n→∞時(shí),得

有

因?yàn)??(b1+b2+b3)>0,因此G(Ty,Sy,Sy)=0,即Sy=Ty,所以y是S,T的疊合點(diǎn),唯一性易證.又因?yàn)镾,T是弱相容的,由引理2.3知,y是S,T的唯一公共不動(dòng)點(diǎn).