2019年高考課標(biāo)卷Ⅲ理科第21題的推廣

貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (550001) 姜 文

2019年高考課標(biāo)卷Ⅲ以全國教育大會精神為指導(dǎo)，認(rèn)真貫徹“五育并舉”方針，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，突出數(shù)學(xué)學(xué)科特色，著重考查學(xué)生的理性思維能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法分析問題、解決問題的能力.試題突出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)導(dǎo)向，注重能力的考查，綜合性和實(shí)用性較強(qiáng).整套試題注重融入數(shù)學(xué)文化，以反映我國社會主義建設(shè)的成果和優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的真實(shí)情境為載體，貼近學(xué)生生活，聯(lián)系實(shí)際，在評價中引導(dǎo)數(shù)學(xué)教育落實(shí)“立德樹人”的根本任務(wù).其中，理科21題是一道質(zhì)量較高的試題，它主要考查學(xué)生直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，難度適中.本文研究該題第(1)小題.

1.試題呈現(xiàn)

(1)證明：直線AB過定點(diǎn)；

2.試題解答

(2)略.

3.研究與推廣

該題第(1)小題告訴我們一個事實(shí)，即過拋物線的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)所在的直線恒過該拋物線的焦點(diǎn).這是偶然還是必然？如果是必然，那么橢圓和雙曲線是否也有類似的結(jié)論呢？筆者對此作了研究，得到如下性質(zhì).

性質(zhì)1 過拋物線C:x2=2py(p≠0)的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB恒過C的焦點(diǎn).

圖1

圓錐曲線往往有對偶的性質(zhì)，對于橢圓和雙曲線，也有如下的性質(zhì).

圖2

同理可知，若P為左準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，則直線AB恒過左焦點(diǎn)F1(-c,0).命題得證.

同理可知，若P為左準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，則直線AB恒過C的左焦點(diǎn)F1(-c,0).命題得證.

類似地，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線、焦點(diǎn)在y軸上的橢圓和雙曲線也有相同的結(jié)論，有興趣的讀者可以自證.