熵?fù)p失下產(chǎn)品可靠度的E-Bayes估計(jì)

許道軍，費(fèi)時(shí)龍，潘保國

(1.陸軍炮兵防空兵學(xué)院 基礎(chǔ)部，安徽 合肥 230031；2.宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 宿州 234000)

對于產(chǎn)品可靠度參數(shù)的估計(jì)，Bayes估計(jì)法一直備受人們關(guān)注，特別是自從文獻(xiàn)[1]提出可靠性參數(shù)的多層先驗(yàn)分布之后，多層Bayes估計(jì)法在可靠性參數(shù)估計(jì)中受到很多學(xué)者的青睞。但是，正如文獻(xiàn)[2]中提到的，用多層Bayes估計(jì)法來估計(jì)產(chǎn)品的可靠度，一般都要涉及非常復(fù)雜的積分計(jì)算，很大程度上影響了其在實(shí)踐中的應(yīng)用。因此如果各種估計(jì)方法的計(jì)算結(jié)果非常接近時(shí)，估計(jì)方法的易算性就顯得更為重要了。以韓明教授為代表的一批學(xué)者開始尋找參數(shù)更加簡潔的Bayes估計(jì)方法。但大多都是在平方損失函數(shù)下研究參數(shù)的Bayes估計(jì)法，而熵?fù)p失函數(shù)下參數(shù)Bayes估計(jì)法的研究甚少。

實(shí)踐中，大多情況下產(chǎn)品壽命的具體分布類型是無法預(yù)知的，即使壽命的分布類型是已知的，但獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)往往僅是失效產(chǎn)品的個(gè)數(shù)，產(chǎn)品的具體失效時(shí)間未知。設(shè)某產(chǎn)品的壽命分布類型是未知的，從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，假設(shè)在實(shí)驗(yàn)時(shí)間內(nèi)有X個(gè)樣品失效，且各產(chǎn)品是否失效是獨(dú)立的，則可以認(rèn)為，一段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)品失效個(gè)數(shù)X是服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量

(1)

其中，0

定義1假設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x,θ)，其中θ為未知參數(shù)。若δ是θ的判決空間的一個(gè)估計(jì)，則熵?fù)p失函數(shù)為似然比對數(shù)的數(shù)學(xué)期望，即

設(shè)X1,X2,…,Xn是來自二項(xiàng)分布總體的簡單隨機(jī)樣本，則根據(jù)定義1，其熵?fù)p失函數(shù)為

容易證明，此損失函數(shù)是關(guān)于δ的嚴(yán)格凸函數(shù)。

引理[5]在熵?fù)p失函數(shù)下，假設(shè)δ是參數(shù)θ的判決空間的一個(gè)估計(jì)，π(θ)是θ的一個(gè)先驗(yàn)分布，則參數(shù)θ的Bayes估計(jì)可唯一地表示為

在(1)式中，取可靠度R的先驗(yàn)分布為其共軛先驗(yàn)分布——Beta分布，其概率密度為

π(R|a,b)=Ra-1(1-R)b-1/B(a,b)。

根據(jù)文獻(xiàn)[2]，選取超參數(shù)a與b的時(shí)候，應(yīng)滿足π(R|a,b)是關(guān)于R的單調(diào)遞增函數(shù)，為此將先驗(yàn)概率密度π(R|a,b)對R求導(dǎo)數(shù)得

π(R|a)=aRa-1。

(2)

其中，01為超參數(shù)。

根據(jù)文[2]，尾部較細(xì)的先驗(yàn)分布會(huì)造成Bayes估計(jì)的穩(wěn)健性極差，因此應(yīng)當(dāng)給超參數(shù)a確定一個(gè)上限，假設(shè)c>1為a的一個(gè)上限，這樣可以確定超參數(shù)a的取值范圍為D={a|11}。

1 可靠度R的E-Bayes估計(jì)

為參數(shù)R的E-Bayes估計(jì)。

假設(shè)對某產(chǎn)品進(jìn)行m次定時(shí)截尾試驗(yàn)，第i次試驗(yàn)樣品數(shù)為ni,i=1,2,…,m，若第i次試驗(yàn)的結(jié)果是容量為ni的樣本中有ri(0≤ri≤ni)個(gè)樣品失效，則將這m次試驗(yàn)的結(jié)果記為(ni,ri),i=1,2,…,m。

為了說明超參數(shù)a先驗(yàn)分布π(a)的變化對可靠度R的E-Bayes估計(jì)的影響，下面將在超參數(shù)a的3種不同的先驗(yàn)分布下，分別計(jì)算可靠度R的E-Bayes估計(jì)，并進(jìn)行比較。

1) 在熵?fù)p失函數(shù)下，可靠度R的Bayes估計(jì)為

2)若超參數(shù)a在D上的先驗(yàn)概率密度π(a)分別由(3)～(5)式表示：

(3)

(4)

(5)

則對應(yīng)的可靠度R的E-Bayes估計(jì)分別為

1)]；

(6)

(7)

(8)

證明1)根據(jù)文獻(xiàn)[3]，參數(shù)R的似然函數(shù)為

若參數(shù)R的先驗(yàn)概率密度π(R|a)由(2)式表示，則R的后驗(yàn)概率密度為

h(R|N)∝π(R|a)L(R|r)=aRN+a-r-1(1-R)r。

即R|N～Be(N+a-r,r+1)，故在熵?fù)p失函數(shù)下可靠度R的Bayes估計(jì)為

若(2)式的超參數(shù)a在D上的先驗(yàn)概率密度π(a)由(3)式表示，則根據(jù)定義2，可靠度R的E-Bayes估計(jì)為

定理2若超參數(shù)a在D上的先驗(yàn)概率密度π(a)分別由(3)～(5)式表示，則當(dāng)c>1時(shí)，有

f′(x)>f′(0)=0，所以f(x)>f(0)=0，故當(dāng)

2 可靠度R的多層Bayes估計(jì)

為了便于將可靠度R的E-Bayes估計(jì)與其對應(yīng)的多層Bayes估計(jì)進(jìn)行比較，以下分別在(3)～(5)式下計(jì)算出可靠度R的多層Bayes估計(jì)。

若可靠度R的先驗(yàn)概率密度π(R|a)由(2)式表示，超參數(shù)a的先驗(yàn)概率密度π(a)分別由(3)～(5)式表示，則根據(jù)文獻(xiàn)[1]的方法，可得參數(shù)R的多層先驗(yàn)概率密度可分別表示為(9)～(11)式：

0

(9)

(10)

(11)

定理3對失效個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布的產(chǎn)品進(jìn)行m次試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果為(ni,ri),i=1,2,…,m，若參數(shù)R的多層先驗(yàn)概率密度π(R)分別由(9)～(11)式表示，則在熵?fù)p失函數(shù)下可靠度R的多層Bayes估計(jì)可分別表示為(12)～(14)式：

(12)

(13)

(14)

證明若參數(shù)R的多層先驗(yàn)概率密度π(R)由(9)式表示，根據(jù)Bayes定理知，R的多層后驗(yàn)概率密度為

在熵?fù)p失函數(shù)下，可靠度R的多層Bayes估計(jì)為

同理，若參數(shù)R的多層先驗(yàn)概率密度π(R)分別由(10)式和(11)式表示，則可靠度R的多層Bayes估計(jì)可分別表示為(13)式和(14)式。

3 數(shù)值比較

文獻(xiàn)[5]給出了某型電子元件在定時(shí)截尾試驗(yàn)中獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(假設(shè)產(chǎn)品失效時(shí)間不詳)，具體數(shù)據(jù)見表1。

表1 某電子元件失效數(shù)的定時(shí)截尾實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Tab.1 The failure data of an electronic component under censoring life test

表2 某電子元件可靠度R的E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)Tab.2 The expected and hierarchical bayesian estimation for reliability of an electronic component