基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的單元教學(xué)研究實(shí)踐探索

■天津外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 張紫茵

數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)，就是在整體思維指導(dǎo)下，旨在提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，通過(guò)教學(xué)團(tuán)隊(duì)的合作，統(tǒng)籌重組和優(yōu)化相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，再將優(yōu)化后的教學(xué)內(nèi)容作為一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的教學(xué)單元，這樣做的目的是突出數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主線以及知識(shí)間的聯(lián)系性。數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)是對(duì)教學(xué)單元整體進(jìn)行循環(huán)改進(jìn)的動(dòng)態(tài)教學(xué)設(shè)計(jì)。單元教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)：一是確定單元內(nèi)容、二是分析教學(xué)要素、三是設(shè)計(jì)教學(xué)流程、四是分析教學(xué)資源、五是評(píng)價(jià)反思與修改。下面，我以人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)《三角函數(shù)公式的認(rèn)知與應(yīng)用》為例，進(jìn)行單元教學(xué)研究。

一、確定單元內(nèi)容

本單元教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)安排如下：?jiǎn)卧种v一：三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式，共4課時(shí)。單元分講二：兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角的正弦、余弦和正切公式，共3課時(shí)。單元分講三：簡(jiǎn)單的三角恒等變換，共3課時(shí)。

二、分析教學(xué)要素

確的數(shù)學(xué)思維方法，掌握變量替換、構(gòu)造法等思想方法，以及用已知解決未知問(wèn)題的化歸數(shù)學(xué)思想。3.正確、熟練、靈活地運(yùn)用公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)、證明。

(一)數(shù)學(xué)分析

本單元的數(shù)學(xué)要點(diǎn)有以下幾點(diǎn)：1.在直角坐標(biāo)系中研究角的意義、通過(guò)公式的推導(dǎo)、了解公式的來(lái)源，掌握它們之間內(nèi)在聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的規(guī)律。2.在推導(dǎo)過(guò)程中，進(jìn)一步形成嚴(yán)密而準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)思維方法，掌握變量替換、構(gòu)造法等思想方法，以及用已知解決未知問(wèn)題的化歸數(shù)學(xué)思想。3.正確、熟練、靈活地運(yùn)用公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)、證明。

（二）分析教學(xué)要素——課標(biāo)分析

1.三角函數(shù)的概念：借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義，推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式。2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。3.三角恒等變換。（1）經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差余弦公式的過(guò)程，知道兩角差余弦公式的意義。（2）能從兩角差余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的三角公式，二倍角公式，了解內(nèi)在聯(lián)系。（3）能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換。

（三）分析教學(xué)要素——學(xué)情分析

具備：本單元學(xué)習(xí)認(rèn)知基礎(chǔ)是前面建立的函數(shù)一般概念，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)。另外還有圓的有關(guān)知識(shí)。

欠缺：在三角函數(shù)中，影響單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)變化因素較多，是“α”與“x，y直接對(duì)應(yīng)”，與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)距離較大，學(xué)生從聯(lián)系觀點(diǎn)看問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)不足。

（四）分析教學(xué)要素——重難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn)分析：1.任意角三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)關(guān)系。2.利用圓的對(duì)稱性探究誘導(dǎo)公式，運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)與恒等式的證明。3.利用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性推導(dǎo)兩角差的余弦公式，兩角和與差的三角函數(shù)的其他公式與其內(nèi)在聯(lián)系。

教學(xué)難點(diǎn)分析：1.三角函數(shù)的定義方式的理解。2.發(fā)現(xiàn)圓的對(duì)稱性與三角函數(shù)的聯(lián)系。3.發(fā)現(xiàn)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性與兩角和（差）余弦公式的聯(lián)系，認(rèn)識(shí)三角恒等變換的特點(diǎn)。

（五）分析教學(xué)要素——教材分析

與按照《標(biāo)準(zhǔn)（2003年版）》編寫教科書相比，該單元內(nèi)容有如下一些變化：1.三角函數(shù)的定義：直接從建立周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，利用單位圓上點(diǎn)坐標(biāo)定義三角函數(shù)，然后再建立與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系，刪除三角函數(shù)線；2.誘導(dǎo)公式：通過(guò)把圓的對(duì)稱性“代數(shù)化“，獲得誘導(dǎo)公式；3.三角恒等變換：一以貫之地強(qiáng)調(diào)單位圓的作用，利用圓的對(duì)稱性導(dǎo)出兩角差的余弦公式。

三、設(shè)計(jì)教學(xué)流程

下面以《三角函數(shù)的概念》為例，進(jìn)行教學(xué)流程設(shè)計(jì)。

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出主題

問(wèn)題：已知摩天輪的中心離地面的高度為h0,它的直徑為2r，逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周需要360秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置點(diǎn)A出發(fā)，求相對(duì)于地面的高度h與時(shí)間t的函數(shù)解析式。

問(wèn)題1：這種運(yùn)動(dòng)如何通過(guò)數(shù)學(xué)模型來(lái)刻畫？如果我們先從特殊情形入手。例如，過(guò)了20s后，此時(shí)人距離地面的高度是多少？

問(wèn)題2：你能試著闡釋這個(gè)數(shù)學(xué)式子嗎？

問(wèn)題3：隨著摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，從銳角推廣到了任意角。如何定義任意角α？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引入任意角三角函數(shù)概念，突出研究問(wèn)題的“周期性”特點(diǎn)，為給出三角函數(shù)的定義做好準(zhǔn)備。

（二）概念生成、理解定義

問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠POA隨之變化，任一個(gè)∠POA，對(duì)應(yīng)著唯一點(diǎn)P，進(jìn)而有唯一| |MP，得到能否用一個(gè)量去代使上述表示形式更簡(jiǎn)單？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生將坐標(biāo)系引入到任意角三角函數(shù)的定義中。

以單位圓的圓心O為原點(diǎn)，以射線OA為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)。射線OA從x軸的非負(fù)半軸開始，繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α，終邊位置為OP。

（2）利用信息技術(shù)，任意畫一個(gè)角α，觀察終邊OP與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)例，由特殊到一般，使學(xué)生理解三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

問(wèn)題（1）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系分別是什么？問(wèn)題（2）符號(hào)sinα，cosα，tanα分別表示什么？以往的學(xué)習(xí)中有類似的引入特定符號(hào)表示一種量的經(jīng)歷嗎？問(wèn)題（3）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域分別是什么？

設(shè)計(jì)意圖：在“問(wèn)題串”引導(dǎo)下，使學(xué)生明確三角函數(shù)的“三要素”，引導(dǎo)學(xué)生理解三角函數(shù)符號(hào)的意義。

問(wèn)題：初中我們學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。設(shè)x∈(0,)，把按銳角三角函數(shù)定義求得的銳角x的正弦記為z1，并把按本節(jié)三角函數(shù)定義求得的x的正弦記為y1。z1和y1相等嗎？對(duì)于余弦和正切也有相同的結(jié)論嗎？

設(shè)計(jì)意圖：建立銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)的聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)兩個(gè)定義的和諧性。

（三）概念運(yùn)用，典例示范

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用，明確用定義求三角函數(shù)值的基本步驟。

例2，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)O重合）的坐標(biāo)為(x,y)。點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r。求證：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。

追問(wèn)：例2給出了任意角三角函數(shù)的另外一種定義，而且這種定義與已知定義是等價(jià)的。你能用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言敘述一下這種定義嗎？

設(shè)計(jì)意圖：加強(qiáng)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義的理解。

（四）及時(shí)反饋，目標(biāo)檢測(cè)

已知角θ的終邊過(guò)點(diǎn)P(-12,5),求角θ的三角函數(shù)值。

設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義的理解情況。

（五）小結(jié)提升，布置作業(yè)

作業(yè)：完成本節(jié)學(xué)案。

小結(jié)：讓學(xué)生回味本節(jié)課生成知識(shí)和應(yīng)用的方法,積累數(shù)學(xué)知識(shí)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

四、分析教學(xué)資源

教師在本單元教學(xué)活動(dòng)的實(shí)施過(guò)程中運(yùn)用了GGB軟件。利用信息技術(shù)建立任意角、角的終邊與單位圓的交點(diǎn)、角的旋轉(zhuǎn)量、交點(diǎn)坐標(biāo)等之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)隨角（圓心角）變化而變化的直觀感受。

五、結(jié)語(yǔ)

單元教學(xué)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)有三點(diǎn)：一、全面了解學(xué)生單元數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的歷程和成效；二、發(fā)現(xiàn)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)潛能、激勵(lì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；三、對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“知識(shí)與技能”“過(guò)程與方法”“情感、態(tài)度與價(jià)值觀”進(jìn)行全面評(píng)價(jià)。全面評(píng)價(jià)學(xué)生在本單元數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的學(xué)習(xí)態(tài)度、知識(shí)和技能掌握、數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展等情況。單元教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)以立德樹人為根本任務(wù)，站在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育高度下，以培養(yǎng)學(xué)生四基，提升四能為根本目的，做到把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)。