基于裂紋等效扭轉(zhuǎn)彈簧模型的裂紋梁振動分析

戴 緣,王天宇,楊 驍

(上海大學土木工程系,上海200444)

由于載荷的作用以及環(huán)境的影響,土木工程和機械工程的中重要構(gòu)件——梁常常會出現(xiàn)裂紋,導致其承載力降低,使用壽命縮短.因此,研究裂紋梁的動靜力學性能[1-5]及其裂紋的損傷識別對保證梁構(gòu)件的正常服役具有重要的理論意義和應用背景[6-8].

研究裂紋梁靜力變形和動力響應的一個經(jīng)典方法是將裂紋等效為扭轉(zhuǎn)彈簧,并以裂紋為界,將裂紋梁分為若干子梁段,各子梁段利用裂紋的等效扭轉(zhuǎn)彈簧連接,得到裂紋梁的等效分析模型.在此基礎上,每個子梁段利用梁模型進行求解,然后利用梁的邊界條件以及裂紋處等效扭轉(zhuǎn)彈簧的連續(xù)性條件確定待定系數(shù),從而得到裂紋梁的變形響應[2,9-10].但這種求解方法每增加1條裂紋,其待定系數(shù)就增加4個,導致具體問題的求解較為繁瑣.為此,人們提出利用矩陣傳遞法[7,11-12]以降低求解的復雜性,但是這種方法涉及較復雜的計算,難以給出形式簡單的閉合解析解.

近年來,為簡化分析和計算,基于裂紋的等效扭轉(zhuǎn)彈簧模型,眾多學者采用廣義Delta函數(shù)刻畫裂紋引起梁剛度的改變,并得到由Heaviside函數(shù)表示的顯式閉合解.Buda等[13]以及Caddemi等[14-15]等采用負Delta函數(shù)刻畫裂紋處梁剛度的變化,然而,該描述在物理上存在欠缺.為此,Palmeri等[1]和Caddemi等[16]采用正Delta函數(shù)描述裂紋處梁彎曲的柔度,從而避免了物理上的非完整性.考慮裂紋縫隙效應以及裂紋的開閉狀態(tài),孫嘉琳等[17]以及Yang等[18]從物理上建立了開閉裂紋梁的等效抗彎剛度,給出了了開閉裂紋梁靜力彎曲的解析閉合解,而汪德江等[19]研究了Timoshenko梁中開閉裂紋位置及裂紋損傷的識別方法.

本工作研究開裂紋Euler-Bernoulli梁的動力特性和動力響應.首先,基于裂紋的等效扭轉(zhuǎn)彈簧模型,利用Delta函數(shù)給出了裂紋梁的等效抗彎剛度,建立裂紋Euler-Bernoulli梁動力響應的初邊值問題;其次,不同于裂紋梁動力控制方程求解的經(jīng)典變易系數(shù)法[20-21],而是給出了一種較為簡便的通解求解方法,并得到具有任意條裂紋Euler-Bernoulli梁振動模態(tài)的統(tǒng)一顯示表達式.在此基礎上,研究了不同邊界條件下裂紋梁的動力特性,數(shù)值揭示了裂紋深度和數(shù)量等對裂紋梁動力特性的影響.最后,利用模態(tài)疊加法,分析了跨中集中簡諧荷載作用下簡支裂紋梁的動力響應,考察了裂紋深度對裂紋梁動力響應的影響,研究結(jié)果對梁裂紋的動力損傷檢測具有一定的指導意義.

1 裂紋梁的自由振動

Euler-Bernoulli裂紋梁示意圖如圖1所示.裂紋梁的長和高分別為L和h,抗彎剛度為EI0,在x=xi(i=1,2,···,N)處存在深度為di的開裂紋,且0

式中,δ(x)為廣義Delta函數(shù).

圖 1 Euler-Bernoulli裂紋梁Fig.1 Euler-Bernoulli cracked beam

記裂紋Euler-Bernoulli梁的彎曲撓度為w(x,t),線質(zhì)量密度為m,則其無阻尼自由振動控制方程為

采用材料力學中橫截面上彎矩和剪力的符號規(guī)定[1,13,17],此時裂紋梁任意橫截面彎矩M和剪力FS分別為

對自由振動,利用分離變量法[7,15,21],可得

式中,ω為裂紋梁的自振頻率,α0為相位角,?(x)為對應的模態(tài).

引入如下無量綱量和參數(shù)

可由式(2)推得裂紋Euler-Bernoulli梁無量綱自由振動控制方程

式中,β為由自振頻率ω確定的特征參數(shù),且

由式(4)可得裂紋梁任意橫截面上的無量綱彎矩為

對式(6)兩邊積分2次,可得

式中,D1和D2為待定系數(shù),且

令

則式(9)可表示為

利用Laplace變換及其逆變換,方程式(12)的解可表示為

式中,Ci(i=1,2,3,4)為待定系數(shù).

從而,由式(11)可得

式中,

當裂紋不存在(ki→∞,i=1,2,···,N)時,式(14)退化無裂紋Euler-Bernoulli梁的振動模態(tài),即

由式(14)可求得裂紋梁橫截面上無量綱彎矩的振幅為

由此得

式中,

梁橫截面轉(zhuǎn)角的振幅為

通常,可利用梁的4個邊界條件,得到待定系數(shù)Ci(i=1,2,3,4)滿足的線性方程

系數(shù)矩陣A的行列式為0,即G(β)=det A(β)=0,給出確定裂紋梁自振頻率的特征方程.

2 裂紋梁的動力響應分析

由于裂紋梁的模態(tài)滿足正交性[24-25],在得到裂紋梁自振頻率(i=1,2,···)和模態(tài)(i=1,2,···)后,可運用模態(tài)疊加法進行其動力響應分析.引入裂紋梁的無量綱橫向載荷=q(x,t)L3/(EI)0,則橫向載荷Q(ξ,t)作用下裂紋梁的無阻尼動力控制方程為

式中,

利用初始條件求解方程式(26)可得裂紋梁的動力響應.

3 典型裂紋梁的自振頻率

3.1 簡支裂紋梁的動力特性

考慮具有N條裂紋的簡支梁,且裂紋為等間距分布.由簡支梁的邊界條件可得了φ(0)=0,mb(0)=0,φ(1)=0,mb(1)=0.此時,特征方程式變?yōu)?/p>

求解特征方程式(28)可得簡支裂紋梁的自振頻率,取L/h=20,圖2給出了當裂紋深度相同(di=d,i=1,2,···,N)時,梁中等間距分布不同裂紋數(shù)N的簡支裂紋梁自振頻率參數(shù)β隨無量綱裂紋深度d/h的變化.文獻[22]采用能量法計算了不同裂紋深度下,具有跨中裂紋簡支梁的自振頻率,該簡支梁的幾何及材料參數(shù)如下:梁長L=200 mm,梁截面尺寸b×h為10 mm×10 mm,材料密度ρ=7 850 kg/m3,彈性模量E=200 GPa.以裂紋深度d/h=0.3為例,文獻[22]中裂紋梁的自振頻率為ω0.3=136.290 Hz,代入式(7)第一式,可得β0.3=3.058 3,與采用本工作中的方法所得結(jié)果β=3.091 0較為接近,證明了本工作中方法的正確性和有效性.由圖2可以看出,隨著裂紋深度d/h和裂紋數(shù)N的增加,簡支裂紋梁的第一和二自振頻率參數(shù)β減小;當裂紋深度d/h較小時,裂紋深度d/h對自振頻率參數(shù)β的影響較小,而當裂紋深度d/h較大時,裂紋深度d/h對自振頻率參數(shù)β的影響明顯;裂紋數(shù)N對第二自振頻率參數(shù)β的影響較第一自振頻率參數(shù)β的影響更為顯著.當簡支梁只有一條跨中裂紋(N=1)時,第二自振頻率參數(shù)β不依賴于裂紋深度d/h,其原因是此時裂紋梁第二振動模態(tài)為反對稱的,其跨中彎矩為0,裂紋等效扭轉(zhuǎn)彈簧不發(fā)生作用.因此,裂紋深度對第二自振頻率及其振動模態(tài)無影響.

圖2裂紋數(shù)N不同時簡支裂紋梁自振頻率參數(shù)β隨裂紋深度d/h的變化Fig.2 Variation of frequency parameterβvs.crack depth d/h of the simply-supported cracked beam with different crack number N

圖3 和圖4分別給出了裂紋數(shù)N分別為1,2和4時,不同裂紋深度d/h下簡支裂紋梁第一自振頻率對應的歸一化振動模態(tài)φ及其對應的梁截面轉(zhuǎn)角.由圖可見,對于簡支裂紋梁,裂紋處歸一化模態(tài)的斜率發(fā)生突變,即歸一化模態(tài)的梁截面轉(zhuǎn)角發(fā)生跳躍,且隨著裂紋深度d/h增加,歸一化模態(tài)曲線的光滑性減小,在裂紋處斜率突變增加,即歸一化模態(tài)的梁截面轉(zhuǎn)角跳躍增大.

圖3 不同裂紋數(shù)N和裂紋深度d/h時,簡支裂紋梁的歸一化第一階振動模態(tài)Fig.3 Normalized fundamental vibration mode of the simply-supported cracked beam with different crack number N and crack depth d/h

3.2 懸臂裂紋梁的動力特性

考慮具有N條裂紋的懸臂梁,且裂紋為等間距分布,此時邊界條件為φ(0)=0,θ(0)=0,

式中,

取L/h=15,圖5給出了當裂紋深度相同,梁中等間距分布不同裂紋數(shù)N時懸臂裂紋梁的第一和第二自振頻率參數(shù)β隨無量綱裂紋深度d/h的變化.由圖可見:隨著裂紋深度d/h和裂紋數(shù)N的增加,懸臂裂紋梁的第一自振頻率參數(shù)β減小;當裂紋深度d/h較小時,裂紋深度d/h對自振頻率參數(shù)β的影響較小;但當裂紋深度d/h較大時,裂紋深度d/h對自振頻率參數(shù)β的影響明顯.同時,具有2條裂紋(N=2)時懸臂梁的第二自振頻率大于具有一條裂紋(N=1)時懸臂梁的第二自振頻率,說明自振頻率不僅受裂紋深度d/h及裂紋數(shù)N的影響,與裂紋位置也有一定關(guān)系.

圖4 不同裂紋數(shù)N和裂紋深度d/h時,簡支裂紋梁歸一化第一階振型的梁截面轉(zhuǎn)角θFig.4 Angleθof beam cross-section of normalized fundamental mode of the simply-supported cracked beam with different crack numbers N and crack depths d/h

圖5不同裂紋數(shù)N時,懸臂裂紋梁自振頻率參數(shù)β隨裂紋深度d/h的變化Fig.5 Variation of frequency parameterβvs.crack depth d/h of the cantilever cracked beam with different crack numbers N

圖6 給出了裂紋數(shù)目N分別為1,2和4,裂紋深度d/h不同時,懸臂裂紋梁第一自振頻率對應的歸一化振型.由圖可見,隨著裂紋深度d/h的增加,振型曲線的光滑性減小,在裂紋處出現(xiàn)斜率突變.

圖6 不同裂紋數(shù)量N和裂紋深度d/h時,懸臂裂紋梁歸一化第一階振動模態(tài)Fig.6 Normalized fundamental vibration mode of the cantilever cracked beam with different crack numbers N and crack depths d/h

3.3 兩端固支裂紋梁的動力特性

考慮具有N條等間距分布裂紋的兩端固支梁,邊界條件為φ(0)=0,θ(0)=0,φ(1)=0,θ(1)=0.此時特征方程式(34)中的系數(shù)為

取L/h=20,圖7給出了裂紋深度相同(di=d,i=1,2,···,N)時,梁中等間距分布不同裂紋數(shù)N的兩端固支裂紋梁第一和第二自振頻率參數(shù)β隨無量綱裂紋深度d/h的變化.文獻[23]采用Rayleigh-Ritz法計算了不同裂紋深度下,具有跨中裂紋簡支梁的自振頻率.簡支梁的幾何及材料參數(shù)如下:梁長L=200 mm,梁截面尺b×h為20 mm×10 mm,材料密度ρ=7 850 kg/m3,彈性模量E=200 GPa,以裂紋深度d/h=0.3為例,文獻[23]中裂紋梁的自振頻率為ω0.3=449.588 Hz,代入式(7)第一式,可得β0.3=4.671,而本工作所得結(jié)果β=4.696.隨著裂紋深度d/h和裂紋數(shù)N的增加,固支裂紋梁的第一自振頻率參數(shù)β減小;當裂紋深度d/h較小時,裂紋深度d/h對自振頻率參數(shù)β的影響較小;但當裂紋深度d/h較大時,裂紋深度d/h對自振頻率參數(shù)β的影響明顯.自振頻率不僅受裂紋深度d/h及裂紋數(shù)目N的影響,與裂紋位置也有一定關(guān)系.當裂紋深度較深時,裂紋梁的第一第二自振頻率與裂紋深度關(guān)系的曲線都出現(xiàn)了交叉,此時裂紋位置對兩端固支梁的頻率影響較大.當兩固支端梁只有一條跨中裂紋(N=1)時,第二自振頻率參數(shù)β不依賴于裂紋深度d/h,此時,跨中彎矩為0,裂紋等效扭轉(zhuǎn)彈簧不發(fā)生作用

圖7 裂紋數(shù)N不同時兩端固支裂紋梁自振頻率參數(shù)β隨裂紋深度d/h的變化Fig.7 Variation of frequency parameterβvs.crack depth d/h of the clamped-clamped cracked beam with different crack numbers N

4 裂紋梁的動力響應分析

作為裂紋梁動力響應分析模態(tài)疊加法的一個簡單應用,考慮初始未變形,具有N條等間距裂紋的簡支梁在跨中集中簡諧載荷作用下的動力響應.此時,有Q(ξ,t)=Fδ(ξ?0.5)sinωt,在初始條件下,方程式(31)的解為

圖8 簡諧集中荷載作用下簡支裂紋梁跨中撓度W0的動力響應Fig.8 Dynamic response of mid-span deflection W0 of simply-supported cracked beam under harmonic concentrated load

取簡支梁梁長L=300 mm,梁截面尺b×h為20 mm×20 mm,所用材料的密度ρ=7 850 kg/m3,彈性模量E=200 GPa,外部激勵的圓頻率ω=230.1 Hz,F=0.33 kN.圖9給出了簡支梁跨中裂紋不同深度d/h時,無量綱跨中撓度W0(t)=W(0.5,t)隨時間t的響應.可見,隨著裂紋深度的增加d/h,無量綱跨中撓度W0(t)振幅增加,其原因是裂紋深度的增加導致梁整體剛度的減少,從而梁的變形增大,并且,隨著裂紋深度的增加,振幅變化加劇.

5 結(jié)束語

本工作研究了開裂紋Euler-Bernoulli梁動力特性和動力響應的計算方法.在給出裂紋梁等效抗彎剛度的基礎上,為避免變易系數(shù)法的復雜運算,建立了一種新的裂紋梁動力控制方程通解,即裂紋梁自由振動的求解方法.數(shù)值分析了簡支、懸臂和兩端固支裂紋梁的自振頻率和振動模態(tài),考察了裂紋數(shù)量和深度等對裂紋梁自振頻率的影響;同時,利用模態(tài)疊加法計算分析了簡支裂紋梁在集中簡諧載荷作用下的動力響應,得到了如下結(jié)論.

(1)基于開裂紋的等效彈簧模型,可以得到具有任意條裂紋的Euler-Bernoulli梁自由振動模態(tài)的統(tǒng)一顯式表達式,該表達式自動滿足裂紋處梁的連續(xù)性調(diào)節(jié),避免了經(jīng)典方法中連續(xù)性條件導致的繁雜求解過程,并且自由振動通解的求解方法避免了采用變易系數(shù)法求解的復雜運算.

(2)隨著裂紋深度和裂紋條數(shù)的增加,裂紋梁的自振頻率減小;隨著裂紋深度的增加,裂紋對自振頻率的影響更為顯著.同時,裂紋條數(shù)N對第二自振頻率的影響較對第一自振頻率的影響顯著.

(3)裂紋梁的模態(tài)曲線在裂紋處出現(xiàn)尖點,其斜率發(fā)生突變;隨著裂紋深度增加,裂紋處斜率突變增加.

(4)裂紋對裂紋梁模態(tài)和頻率的影響依賴于裂紋位置,當裂紋處的彎矩為0時,裂紋對梁振動模態(tài)和頻率沒有影響.

(5)由于裂紋梁模態(tài)滿足正交性,因此,可采用模態(tài)疊加法分析裂紋梁的動力響應.對于具有一條跨中裂紋的簡支梁,跨中集中簡諧載荷作用下梁跨中撓度振幅隨裂紋深度的增加而增加,且其振幅變化加劇.