一種嵌入PCA特征算法在PMI指數(shù)中的應(yīng)用研究

□ 文 宋家東 張芹娥 劉一丹 陳曙光

1 引言

PMI（Purchasing Manager’s Index）指數(shù)體系又稱(chēng)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)，是由中國(guó)物流與采購(gòu)聯(lián)合會(huì)與國(guó)家統(tǒng)計(jì)局于2005年共同推出的指數(shù)體系，它在每個(gè)月的第一個(gè)工作日發(fā)布，具有及時(shí)性特征，PMI體系主要由新訂單、生產(chǎn)量、從業(yè)人員、供應(yīng)商配送以及原材料庫(kù)存等反應(yīng)制造企業(yè)生產(chǎn)活動(dòng)的細(xì)分指標(biāo)構(gòu)成，是衡量我國(guó)工業(yè)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的主要指標(biāo)。該指數(shù)反映了世界各個(gè)國(guó)家的主要經(jīng)濟(jì)變化趨勢(shì)，是國(guó)際上通用的宏觀經(jīng)濟(jì)先行性指數(shù)，對(duì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的預(yù)測(cè)與監(jiān)測(cè)起到了重要作用。很多學(xué)者也都證明PMI對(duì)GDP有著很好的預(yù)測(cè)作用，而GDP則為評(píng)價(jià)和衡量國(guó)家經(jīng)濟(jì)狀況、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)趨勢(shì)以及社會(huì)財(cái)富的經(jīng)濟(jì)表現(xiàn)提供了最為綜合的尺度，是影響經(jīng)濟(jì)生活乃至社會(huì)生活最重要的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)。

然而，PMI依然存在以下問(wèn)題值得進(jìn)一步研究和探討。其中一個(gè)較為突出的問(wèn)題是PMI指數(shù)的計(jì)算方式完全依賴于5個(gè)指標(biāo)（訂單、生產(chǎn)、雇員、配送、存貨）以及5個(gè)經(jīng)驗(yàn)權(quán)重參數(shù)，而這5個(gè)經(jīng)驗(yàn)權(quán)重參數(shù)的給予是否合理，是否可以適應(yīng)并反映國(guó)家的調(diào)控政策依然是個(gè)研究的課題。

圍繞上述的現(xiàn)狀，本文首先將在第2部分分別對(duì)PMI指數(shù)和主流子空間算法PCA進(jìn)行闡述；在第3部分，將介紹基于嵌入PCA特征的PMI指數(shù)算法；在第4部分，對(duì)基于嵌入PCA特征的PMI指數(shù)（PCAPMI）與傳統(tǒng)PMI指數(shù)算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比和分析；最后，在第5部分，對(duì)PCAPMI算法研究進(jìn)行歸納和總結(jié)。

2 相關(guān)算法

本章首先介紹傳統(tǒng)的PMI指數(shù)，并給出PMI指數(shù)的定義；其次將介紹傳統(tǒng)基于子空間技術(shù)的PCA算法，并詳細(xì)闡述PCA算法的定義以及公式推導(dǎo)過(guò)程。

2.1 PMI指數(shù)

PMI指數(shù)定義：PMI是一個(gè)綜合指數(shù)，由5個(gè)擴(kuò)散指數(shù)加權(quán)而成，即：產(chǎn)品訂貨（簡(jiǎn)稱(chēng)：訂單）、生產(chǎn)量（簡(jiǎn)稱(chēng)：生產(chǎn)）、生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)人員（簡(jiǎn)稱(chēng)：雇員）、供應(yīng)商配送時(shí)間（簡(jiǎn)稱(chēng)：配送）、主要原材料庫(kù)存（簡(jiǎn)稱(chēng)：存貨）。這5個(gè)指數(shù)是依據(jù)其對(duì)經(jīng)濟(jì)的先行影響程度而定，各指數(shù)的權(quán)重分別是：訂單30%，生產(chǎn)25%，雇員20%，配送15%，存貨10%。

令x=[x1,x2,x3,x4,x5]T,w=[w1,w2,w3,w4,w5]T其中，x為指標(biāo)參數(shù)向量，x1：訂單，x2：生產(chǎn)，x3：雇員，x4：配送，x5：存貨；w為權(quán)重因子參數(shù)向量，w1：30%，w2：25%，w3：20%，w4：15%，w5：10%。具體公式如（1）所示：

通常PMI指數(shù)會(huì)以0.5作為經(jīng)濟(jì)強(qiáng)弱的分界點(diǎn)，PMI高于50%時(shí)，反映經(jīng)濟(jì)總體擴(kuò)張；低于0.5，則反映經(jīng)濟(jì)總體收縮。

其中，PMI單個(gè)指標(biāo)匯總一般涉及生產(chǎn)量、產(chǎn)品訂貨、出口訂貨、現(xiàn)有訂貨、產(chǎn)成品庫(kù)存、采購(gòu)量、進(jìn)口、購(gòu)進(jìn)價(jià)格、主要原材料庫(kù)存、生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)人員、供應(yīng)商配送時(shí)間等11個(gè)問(wèn)題，而原材料訂貨提前的天數(shù)單獨(dú)處理，開(kāi)放性問(wèn)題不參加計(jì)算。它的匯總方法分為加權(quán)和不加權(quán)兩種方法。

采用加權(quán)計(jì)算百分比：以國(guó)家統(tǒng)計(jì)局《企業(yè)基本情況調(diào)查表》的上年?duì)I業(yè)收入作為權(quán)重，計(jì)算“增加”、“基本持平”、“減少”選項(xiàng)所占百分比。

采用不加權(quán)計(jì)算百分比：直接根據(jù)企業(yè)個(gè)數(shù)計(jì)數(shù)，計(jì)算“增加”、“基本持平”、“減少”所占的百分比。

計(jì)算各項(xiàng)（“增加”、“基本持平”、“減少”）百分比時(shí)，剔除掉無(wú)關(guān)的數(shù)據(jù)項(xiàng)（如：“不易預(yù)估”、“沒(méi)有出口”、“沒(méi)有進(jìn)口”等內(nèi)容），即“增加”、“基本持平”、“減少”三項(xiàng)的百分比之和為100%。

PMI指標(biāo)的計(jì)算方式采用擴(kuò)散指數(shù)法，即：正向回答的百分?jǐn)?shù)加上回答不變的百分?jǐn)?shù)的一半。計(jì)算公式如下：

圖1 PCAPMI算法流程圖

2.2 PCA算法

PCA算法是一種基于非監(jiān)督的算法，可以看作是在嵌入空間中尋找一個(gè)由k個(gè)包含數(shù)據(jù)最大方差方向組合的集合，即：Karhunen-Loève變換。

具體PCA算法如下：

首先，給出協(xié)方差矩陣，如（3）式所示：

其中，Xi代表第i個(gè)樣本矩陣，μ代表總均值矩陣。

然后，根據(jù)廣義Rayleigh商，如（4）式所示：

對(duì)（4）式使用拉格朗日乘數(shù)法求極值，得到PCA算法的特征方程式，如（5）式所示：

根據(jù)（5）式，求取PCA的特征值矩陣和特征向量矩陣。

3 PCAPMI算法

3.1 PCAPMI算法流程

PCAPMI算法流程如圖1所示：

Step1：使用式（2）匯總并計(jì)算x1：訂單，x2：生產(chǎn)，x3：雇員，x4：配送，x5：存貨，五項(xiàng)的PMI指標(biāo)值；

Step2：匯總收集上來(lái)的PMI指標(biāo)值并以x=[x1,x2,x3,x4,x5]T向量的方式進(jìn)行展示，并將采集樣本以x的方式進(jìn)行匯總，X=[x1,x2,x3,…,xn]；

Step3：對(duì)X采用歸一化處理，將值鎖定在[0-1]之間；

Step4：采用式（3），計(jì)算協(xié)方差矩陣C，并根據(jù)式（5）的方式計(jì)算，特征向量矩陣V以及特征值矩陣Λ；

Step5.1：取Λ特征值矩陣中最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量v，忽略其他特征值以及其所對(duì)應(yīng)的特征向量，令為指標(biāo)向量的均值向量，采用式（6）的類(lèi)歐式距離方式計(jì)算PCAPMIappro指數(shù)（即：近似的PCAPMI指數(shù)）；其中，PCAPMIappro指數(shù)高于0.5，反映經(jīng)濟(jì)總體擴(kuò)張；低于0.5，則反映經(jīng)濟(jì)總體收縮。

Step5.2：取Λ特征值矩陣中特征值大于零所對(duì)應(yīng)的特征向量V矩陣，忽略為特征值為零對(duì)應(yīng)的噪聲數(shù)據(jù)，令為指標(biāo)向量的均值向量，采用式（7）的類(lèi)歐式距離方式計(jì)算PCAPMI指數(shù)；其中，PCAPMI指數(shù)高于0.5，反映經(jīng)濟(jì)總體擴(kuò)張；低于0.5，則反映經(jīng)濟(jì)總體收縮。

圖2 PCAPMI、PCAPMIappro算法指數(shù)、PMI指數(shù)對(duì)比

圖3 PCAPMI指數(shù)與傳統(tǒng)PMI指數(shù)存在正相關(guān)關(guān)系

4 實(shí)驗(yàn)

本節(jié)首先介紹實(shí)驗(yàn)環(huán)境以及所采用的數(shù)據(jù)庫(kù)；其次，將對(duì)比傳統(tǒng)PMI指數(shù)與PCAPMI、PCAPMI算法指數(shù)，并闡述基于PCAPMI算法的優(yōu)越性。

4.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境

實(shí)驗(yàn)采用2017年01月至2018年09月的歷史PMI指數(shù)數(shù)據(jù)作為目標(biāo)數(shù)據(jù)，2017年01月至2018年09月各省企業(yè)提交的問(wèn)卷并整理的指標(biāo)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，訓(xùn)練數(shù)據(jù)的指標(biāo)包括：產(chǎn)品訂貨（簡(jiǎn)稱(chēng)：訂單）、生產(chǎn)量（簡(jiǎn)稱(chēng)：生產(chǎn)）、生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)人員（簡(jiǎn)稱(chēng)：雇員）、供應(yīng)商配送時(shí)間（簡(jiǎn)稱(chēng)：配送）、主要原材料庫(kù)存（簡(jiǎn)稱(chēng)：存貨）。

4.2 實(shí)驗(yàn)分析

如圖2所示，為了較為明顯的表現(xiàn)PCAPMI算法指數(shù)與傳統(tǒng)PMI指數(shù)的差異，以及影響PCA算法原本的計(jì)算能力，本實(shí)驗(yàn)沒(méi)有針對(duì)PCAPMI指數(shù)算法進(jìn)行最后的歸一化處理，直接針對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行操作，基于PCAPMI以及PCAPMIappro計(jì)算的指數(shù)相對(duì)于傳統(tǒng)PMI指數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)更加敏感，峰值起伏相對(duì)PMI影響也較大，另一方面，從圖中可以看出，基于PCAPMI以及PCAPMIappro算法的指數(shù)相對(duì)于傳統(tǒng)PMI指數(shù)具有一定的前置性，能夠提前較好地提醒指數(shù)的使用者對(duì)未來(lái)經(jīng)濟(jì)進(jìn)行防范和指導(dǎo)相關(guān)的決策。

如圖3所示，其中散點(diǎn)圖的x軸代表官方發(fā)布的傳統(tǒng)PMI指數(shù)，散點(diǎn)圖的y軸代表未經(jīng)預(yù)處理計(jì)算出的PCAPMI指數(shù)的統(tǒng)計(jì)指數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)，PCAPMI指數(shù)與傳統(tǒng)PMI指數(shù)存在正相關(guān)的邏輯關(guān)系，因此以PCAPMI指數(shù)來(lái)代替PMI指數(shù)從業(yè)務(wù)上是可行的。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種新穎的嵌入PCA特征的PMI指數(shù)算法（即：PCAPMI），并將其應(yīng)用到采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)領(lǐng)域中。通過(guò)實(shí)驗(yàn)和相關(guān)的理論證明，可以歸納出PCAPMI算法具有以下幾個(gè)方面的優(yōu)勢(shì)：

首先，采用嵌入PCA特征的統(tǒng)計(jì)算法解決了PMI依賴于先天經(jīng)驗(yàn)權(quán)值的問(wèn)題，并以方差矩陣最大的方向作為評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)。

其次，采用嵌入PCA特征的統(tǒng)計(jì)算法可以在一定意義上屏蔽采集來(lái)的噪聲數(shù)據(jù)進(jìn)行過(guò)濾以及壓縮，實(shí)驗(yàn)也證明PCAPMI算法計(jì)算出來(lái)的指數(shù)與傳統(tǒng)PMI指數(shù)數(shù)據(jù)是正相關(guān)的。

最后，PCAPMI提供了剔除先天經(jīng)驗(yàn)權(quán)值的一種方法，但是否能夠最優(yōu)表達(dá)PMI的空間數(shù)據(jù)還是未知的，除了嵌入對(duì)應(yīng)的方差特征，是否可以嵌入其他的特征也是未知的，如：分類(lèi)特征、關(guān)聯(lián)特征等，之后將針對(duì)其他子空間方法如：LDA、CCA等進(jìn)行嵌入以及組合嵌入，以嘗試找到最優(yōu)的解決方案。■