矩形特殊性的探究

馬維俊

【摘要】矩形是特殊的平行四邊形，準(zhǔn)確掌握矩形的特殊性對理解矩形與平行四邊形之間的關(guān)系至關(guān)重要.理解矩形的特殊性有很多方法和手段，本文欲借助信息技術(shù)手段（幾何畫板）從不同的角度對矩形相對于平行四邊形的特殊性進(jìn)行探究，從而達(dá)到使學(xué)生準(zhǔn)確理解矩形與平行四邊形關(guān)系的目的.

【關(guān)鍵詞】矩形;特殊性;探究

1 引言

矩形是人教版數(shù)學(xué)第十八章第2節(jié)第1小節(jié)的內(nèi)容，是在平行四邊形的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的特殊的平行四邊形.顯然，矩形是平行四邊形，但又不是一般的平行四邊形，有其特殊性.從形狀上看，矩形最大的特殊性在于其四個角都是直角，所以教材上定義矩形的時候從“角”的角度去定義，即給平行四邊形添加一個“直角”的條件，從而得到矩形.之后，教材以“角”為主線，給出了矩形的一條有別于一般平行四邊形的性質(zhì)，即“矩形的四個角都是直角”;同樣以“角”為主線，給出了矩形的一條特殊的判定方法，即“有三個角是直角的四邊形是矩形”.顯然，這些矩形獨(dú)有的性質(zhì)和判定的探究，離不開矩形的“角”.

對于初識矩形的學(xué)生來講，教師以怎樣的方法向?qū)W生展現(xiàn)矩形的特殊性比較合適呢？首先第一步是觀察.幾何畫板作為一個有效的幾何學(xué)習(xí)工具在表現(xiàn)圖形的直觀性當(dāng)中，提供了有效的觀察角度，是最佳選擇.在利用幾何畫板演示時，教師要刻意沿著矩形的特殊性源自“角”這個思路去引導(dǎo)學(xué)生，以便達(dá)到使學(xué)生理解矩形特殊性的目的.

2 探索矩形特殊性的有效途徑

想要利用幾何畫板探索矩形相對于平行四邊形的特殊性，可以從以下四個角度去探索.

2.1 從一個內(nèi)角看矩形的特殊性

有一個角是直角的平行四邊形是矩形，這是教材上對矩形的定義.這個定義從角的層面讓我們認(rèn)識到了矩形的特殊性.在幾何畫板中繪制平行四邊形ABCD，并度量∠ABC，如圖.

在保證鄰邊AB和BC的長度不變的前提下，拖動A點從右向左移動，可發(fā)現(xiàn)∠ABC從0°向180°變化.在這個變化過程中，平行四邊形的形狀同時發(fā)生變化.當(dāng)∠ABC從銳角變化為鈍角時，必然存在∠ABC =90°的狀態(tài).90°是一個特殊的存在，它恰好是銳角和鈍角的分界度數(shù).此時，平行四邊形的形狀便處在一個特殊的形態(tài)，這個形態(tài)就是矩形的形態(tài).

2.2 從一組鄰邊的位置關(guān)系看矩形的特殊性

對于上面的變化過程，若從兩條相交線的層面去看，兩直線相交，若不考慮重合的情形，只有一種特殊狀態(tài)，那就是兩直線垂直.當(dāng)拖動A點從右向左移動時，線段AB和BC所在的直線從一般的相交狀態(tài)先變?yōu)榇怪毕嘟辉僮優(yōu)橐话阆嘟?，而AB⊥BC時，平行四邊形ABCD的形態(tài)就是矩形的形態(tài).

從過程上看，以上兩種情形的特殊形態(tài)都以90°為基礎(chǔ)，但是考慮的視角不同.第一種情形是從“角”出發(fā)看特殊性，重點體現(xiàn)直角這個特征.第二種情形是從“邊”出發(fā)看特殊性，重點體現(xiàn)一組鄰邊的特殊的位置關(guān)系.這兩種分析方式，有助于學(xué)生理解構(gòu)成矩形的不同元素對矩形的特殊性的影響，有助于學(xué)生從“角”和“邊”的層面去學(xué)習(xí)和探究矩形，為學(xué)生提供探究方法和探究思想.

2.3 從一組對邊之間的距離看矩形的特殊性

由平行四邊形的性質(zhì)可知，平行四邊形的對邊平行.在平行四邊形ABCD中，AB∥CD.兩條平行線間的垂線段的長度叫作平行線間的距離.在幾何畫板中，繪制平行四邊形ABCD，在對邊AD與BC之間作垂線段EF，并度量EF，如圖.

在保證鄰邊AB和BC的長度不變的前提下，拖動A點從右向左移動，觀察EF長度的變化，可發(fā)現(xiàn)∠ABC從0°向90°變化時，EF的長度逐漸變大;當(dāng)∠ABC=90°時，EF的長度達(dá)到最大值;∠ABC從90°向180°變化時，EF的長度逐漸變小.在整個變化過程中，EF達(dá)到最大值時，平行四邊形ABCD的形態(tài)便是這個過程的一個特殊形態(tài)，即矩形的形態(tài).

2.4 從面積看矩形的特殊性

平行四邊形的面積=底×高.在幾何畫板中繪制平行四邊形ABCD，度量∠ABC和平行四邊形ABCD的面積，如圖.

在保證鄰邊AB和BC的長度不變的前提下，拖動點A從右到左移動，可發(fā)現(xiàn)∠ABC從0°向90°變化時，平行四邊形的面積逐漸變大;當(dāng)∠ABC=90°時，平行四邊形的面積達(dá)到最大值;∠ABC從90°向180°變化時，平行四邊形的面積逐漸變小.在整個變化過程中，平行四邊形的面積達(dá)到最大值時，平行四邊形的形態(tài)便是這個過程的一個特殊形態(tài)，即矩形的形態(tài).

從相關(guān)性上看，第三種情形的探究和第四種情形的探究，都與矩形的一組對邊之間的最大距離相關(guān).但這兩種探究視角，反映了不同的知識側(cè)重點.第三種情形重點在體現(xiàn)兩條平行線間的最大距離.距離是初中幾何學(xué)習(xí)的一大難點，包括點到點的距離、點到直線的距離、兩平行線間的距離.在這里學(xué)生從距離的視角去看矩形的特殊性，不僅對矩形會有更好的理解，同時對距離也有更深的體會.第四種情形重點在體現(xiàn)“面積最大”這個特殊性上.這里學(xué)生體會到的是面積的變化.與以往靜止的面積不同，這是在變化過程中尋求最大面積.這兩種情形的探索過程，幫助學(xué)生在理解矩形特殊性的同時，初步認(rèn)識了“求最值”的數(shù)學(xué)思維.

在理解矩形相對于平行四邊形的特殊性時，我們利用幾何畫板使得矩形的特殊性顯得更加直觀和形象.從一個內(nèi)角、一組鄰邊的位置關(guān)系、一組對邊之間的距離及面積等方面探究，可使得學(xué)生更加深入地理解矩形的定義，更加深刻地理解矩形與平行四邊形之間的關(guān)系，更加清晰地明白矩形相對于平行四邊形的特殊性，為其學(xué)習(xí)矩形的性質(zhì)和判定奠定了堅實的基礎(chǔ).

3 功能特殊的矩形

和其他初中階段學(xué)習(xí)的圖形相比，矩形是最為常見也是應(yīng)用最為廣泛的圖形之一.而在矩形的種類中有一個比較特殊的矩形，因其具有一定的特殊性所以值得我們?nèi)ブ匾?

3.1 黃金矩形

3.1.1 黃金矩形的概述

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