善思：讓數(shù)學(xué)活動(dòng)聚焦經(jīng)驗(yàn)的生成

趙圓圓

【摘要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》明確指出：數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中逐步積累.在實(shí)際的教學(xué)中，很多數(shù)學(xué)活動(dòng)看似豐富卻往往是為了“做”而做，學(xué)生僅僅停留在“經(jīng)歷”的層面.為此，筆者試圖立足“思考”的角度，讓學(xué)生在經(jīng)歷“做”的過程時(shí)更多地經(jīng)歷“思考”，以此來更好地積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)活動(dòng);操作;經(jīng)驗(yàn)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本標(biāo)志.教師幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo).如今的數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的關(guān)注已成為教師的共識(shí).在教學(xué)設(shè)計(jì)上力求更多地讓學(xué)生進(jìn)行動(dòng)手操作，如“畫一畫”“折一折”“拼一拼”等一系列的教學(xué)活動(dòng)，以此豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).但這樣一系列看似豐富的活動(dòng)往往使得學(xué)生停留在“經(jīng)歷”的層面，獲得的經(jīng)驗(yàn)也只是淺層次的了解，缺乏深層次的思考與探索.為此，筆者試圖立足“思考”的角度，讓學(xué)生在經(jīng)歷“做”的過程時(shí)更多地經(jīng)歷“思考”，以此來更好地積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

一、在數(shù)學(xué)活動(dòng)前進(jìn)行有目的的猜想

數(shù)學(xué)知識(shí)往往是抽象的，對(duì)于以直觀形象思維為主導(dǎo)的小學(xué)生來說，動(dòng)手操作能使原有的知識(shí)進(jìn)行順利的遷移.因此，動(dòng)手實(shí)踐是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方法之一.但數(shù)學(xué)并不意味著單純的動(dòng)手操作，這樣只能讓學(xué)生的思維停留在感性經(jīng)驗(yàn)的層面，無法抽象概括出理性的經(jīng)驗(yàn);更加不是盲目動(dòng)手操作，讓實(shí)踐活動(dòng)變得無序，且沒有意義.因此，在操作活動(dòng)前教師需要結(jié)合學(xué)生原有的知識(shí)進(jìn)行適時(shí)的引導(dǎo)，通過思考讓學(xué)生原本凌亂、分散的思維在討論中得到碰撞，形成合理的猜想，讓操作活動(dòng)變得有目的、有意義.以“三角形的內(nèi)角和”教學(xué)為例：

【教學(xué)片段】

教師出示一塊三角尺.

師：你能計(jì)算這塊三角尺的內(nèi)角和嗎？

生：60°+30°+90°=180°.

教師出示另一塊三角尺.

師：你能計(jì)算這塊三角尺的內(nèi)角和嗎？.

生：45°+45°+90°=180°.

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：這兩塊三角尺的內(nèi)角和都是180°.

師：是的，我們發(fā)現(xiàn)雖然三角尺形狀不同，但它們的內(nèi)角和都是180°.三角形就這兩種嗎？其他三角形的內(nèi)角和呢，你覺得是多少度？

生1：我覺得都是180°.

生2：我覺得可能接近180°.

生3：有可能是200°吧.

師：這是同學(xué)們大膽的猜測(cè)，那三角形的內(nèi)角和到底多少度呢，我們繼續(xù)來研究.你們覺得可以怎樣研究?jī)?nèi)角和的度數(shù)？

生：畫一些三角形，分別測(cè)量它們的三個(gè)內(nèi)角，然后把度數(shù)加起來.

師：這是一個(gè)好主意，我們可以測(cè)量一些三角形內(nèi)角的度數(shù)來看看.在操作活動(dòng)前，我們來聽一下活動(dòng)要求.

活動(dòng)要求：

①在作業(yè)單上畫一個(gè)三角形，量出自己畫的三角形內(nèi)角度數(shù)，并算出內(nèi)角和.

② 4人一小組，填寫記錄單，并觀察組內(nèi)數(shù)據(jù)，和同學(xué)說說你的發(fā)現(xiàn).

操作活動(dòng)前組織有目的的猜想活動(dòng)，學(xué)生后續(xù)的操作活動(dòng)便開展得非常順利，得到了一些比較可靠的數(shù)據(jù)，也得到了關(guān)于三角形內(nèi)角和的初步結(jié)論，即三角形的內(nèi)角和在180°左右.試想，如果沒有這樣一個(gè)猜測(cè)度數(shù)的環(huán)節(jié)，學(xué)生受測(cè)量方法錯(cuò)誤、測(cè)量工具有誤差等因素的影響，測(cè)得的數(shù)據(jù)定會(huì)是“五花八門”，這樣便得不到上述的結(jié)論，操作活動(dòng)的價(jià)值也就沒有了.

又例如在探究一個(gè)正方形切掉一個(gè)角還剩幾個(gè)角時(shí)，筆者沒有急于讓學(xué)生動(dòng)手操作而是先讓學(xué)生思考：“你覺得還剩幾個(gè)角？”此時(shí)，有的學(xué)生一副在頭腦中思考并想象一個(gè)正方形切掉一個(gè)角以后的樣子，也有的學(xué)生邊思考邊在桌子上用手指簡(jiǎn)單比畫著.基于這樣理性的思考后，學(xué)生得出的結(jié)論不再是狹隘的一個(gè)答案：三個(gè)角或四個(gè)角或五個(gè)角，而是三個(gè)角、四個(gè)角和五個(gè)角都有可能.當(dāng)然，也有學(xué)生對(duì)這三個(gè)答案都成立產(chǎn)生了疑問，覺得不可能，此時(shí)就產(chǎn)生了爭(zhēng)議.當(dāng)想象不能確定答案正確與否的時(shí)候，實(shí)物操作就成了學(xué)生驗(yàn)證猜想的有效手段.于是，筆者告訴學(xué)生學(xué)具袋里就有一些正方形的紙片和剪刀，可以借助它們來驗(yàn)證自己的猜想.可以想象，此時(shí)的實(shí)踐活動(dòng)是那么的迫切，學(xué)生的思維也是那么的投入.最終學(xué)生得出結(jié)論：一個(gè)正方形切掉一個(gè)角后可能還剩三個(gè)角，可能還剩四個(gè)角，也可能還剩五個(gè)角.

蘇霍姆林斯基說：“沒有歡欣鼓舞的心情，學(xué)習(xí)就會(huì)成為學(xué)生沉重的負(fù)擔(dān).”有明確的探究目的，有實(shí)踐操作的內(nèi)在需要，有強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)興趣，這樣的操作活動(dòng)才是真正能幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)涵、進(jìn)行深度思維活動(dòng)的實(shí)踐活動(dòng).

二、在數(shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行迂回式的探索

有學(xué)者認(rèn)為：“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生從經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得的感受、體驗(yàn)、領(lǐng)悟以及由此獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、情感與觀念等內(nèi)容的有機(jī)組合體.”數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)如此豐富的內(nèi)涵決定著它的形成不是一蹴而就的，而是需要有一定的反復(fù)和迂回.數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中，學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、比較、交流和總結(jié)，不斷地經(jīng)歷各種認(rèn)知的沖突.新舊經(jīng)驗(yàn)不斷地發(fā)生碰撞，新經(jīng)驗(yàn)不斷地融入舊經(jīng)驗(yàn)，最終內(nèi)化為學(xué)生自身的感悟和體驗(yàn).在這樣迂回式的探索中，學(xué)生真正地積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn).以“三角形三邊的關(guān)系”教學(xué)為例：

【教學(xué)片段】

師：同學(xué)們的袋子里有兩根不一樣長(zhǎng)的磁條，能用這兩根磁條圍成一個(gè)三角形嗎？不能的話，有什么辦法嗎？

生：可以把其中一條剪成兩段.

學(xué)生分組動(dòng)手操作，并進(jìn)一步組織討論.

師：哪一個(gè)小組來介紹一下你們的做法.

生：我們將長(zhǎng)的一根磁條剪成兩段，然后與另一根磁條圍成一個(gè)三角形.

師：還有哪些小組也成功圍成了三角形，上來展示一下.

教師請(qǐng)其余小組上臺(tái)展示.

師：老師發(fā)現(xiàn)還有一些小組沒能展示自己圍成的三角形，這是怎么一回事呢？

選擇沒能圍成三角形的一組上臺(tái)展示，將磁條還原并再一次進(jìn)行上述演示.

師：你們發(fā)現(xiàn)問題出在哪里了嗎？

生：他們選擇了較短的一條磁條，剪短后就圍不成三角形了.

師：為什么較短的磁條剪短以后不能圍成三角形呢？小組內(nèi)討論一下.

生：把它們合在一起都沒有另外一根磁條長(zhǎng)，彎起來就更短了，根本不能接到一起，也就圍不成三角形.

師：說明三角形的三條邊的長(zhǎng)短應(yīng)該具有怎樣的關(guān)系？

生：兩條邊合在一起的長(zhǎng)度要大于另一條邊.

師：是的，三角形的兩邊之和需要大于第三邊.

教師繼續(xù)演示：把較長(zhǎng)的一根磁條剪成兩小段，但和另一根仍舊圍不成三角形.

師：這又是為什么呢？

（學(xué)生疑惑）

生：你把一根剪得太短了.

師：為什么剪短了就不行呢.

教師相機(jī)把三根磁條重新組合，把較短的兩根合在一起.

生：我發(fā)現(xiàn)了，你這樣剪了以后兩根短的合在一起仍舊沒有另外一根長(zhǎng)，所以也不成三角形.

師：回顧我們剛才的活動(dòng)，三角形的三條邊的長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系？

……

教師總結(jié)：三角形的兩邊之和大于第三條邊.

在上述對(duì)三角形三邊的關(guān)系的探索過程中，學(xué)生經(jīng)歷自主操作活動(dòng)后發(fā)現(xiàn)：將兩根磁條中的一根剪成兩小段后，有些可以圍成一個(gè)三角形而有些卻不能.在之后的交流中，初步感知到“三角形的兩條邊的長(zhǎng)合起來要大于第三條邊”.在此基礎(chǔ)上，師生再一次通過操作、演示、比較、分析等活動(dòng)，對(duì)上述的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步完善，最終得到“三角形的兩邊之和大于第三條邊”的完整認(rèn)識(shí).在這樣的數(shù)學(xué)迂回式的探索活動(dòng)中，學(xué)生不斷被各種認(rèn)知沖突包圍吸引，思維也得到不斷提升，最終實(shí)現(xiàn)了對(duì)知識(shí)的數(shù)學(xué)化的內(nèi)化過程.

三、在數(shù)學(xué)活動(dòng)后進(jìn)行回顧性的反思

如何積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，關(guān)鍵在于學(xué)生經(jīng)歷操作實(shí)踐的過程后，能發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，總結(jié)歸納方法，最后內(nèi)化拓展應(yīng)用.教育家杜威說過：“教育就是經(jīng)驗(yàn)的改造或重組.這種改造或重組，既能增加經(jīng)驗(yàn)的意義，又能提高指導(dǎo)后來經(jīng)驗(yàn)進(jìn)程的能力.”學(xué)生投入到數(shù)學(xué)活動(dòng)中，經(jīng)歷操作性的實(shí)踐活動(dòng)就可以得到一些經(jīng)驗(yàn)，如最直觀的操作性經(jīng)驗(yàn)，但這部分經(jīng)驗(yàn)只能成為“初級(jí)經(jīng)驗(yàn)”.教育就是要對(duì)這部分“初級(jí)經(jīng)驗(yàn)”進(jìn)行評(píng)價(jià)、反思、內(nèi)化和運(yùn)用.只有這樣，學(xué)生的感性知識(shí)才能提升為理性經(jīng)驗(yàn).因此在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，當(dāng)探索規(guī)律結(jié)束后，教師即應(yīng)安排回顧反思的環(huán)節(jié).通過對(duì)活動(dòng)過程的回顧和反思，讓學(xué)生在交流中獲得更多的經(jīng)驗(yàn)，加深對(duì)知識(shí)的印象.以“多邊形的內(nèi)角和”教學(xué)為例：

【教學(xué)片段】

動(dòng)手探究：

活動(dòng)要求：任意畫一個(gè)四邊形，看任意四邊形的內(nèi)角和是不是360°.

全班交流：

生1：我用量角器量出每個(gè)角的度數(shù)，然后加起來算出360°.

生2：我把四邊形分成兩個(gè)三角形，一個(gè)三角形的內(nèi)角和是180°，兩個(gè)三角形的內(nèi)角和就是360°.（如圖1）

生3：我是這樣連的，四個(gè)三角形的內(nèi)角和加起來是740°，再去掉360°，還剩360°.（如圖2）

教師出示圖（右圖）：

師：可以怎樣計(jì)算這個(gè)四邊形的內(nèi)角和？

生：3×180°=540°，540°-180°=360°.

師：為什么要減180°.

生：因?yàn)橄旅娑嗉恿?80°.

師：請(qǐng)你來指一指.

對(duì)比：

師：比較這三種計(jì)算四邊形的方法，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：雖然連線方法不一樣，但都算出了四邊形的內(nèi)角和是360°.

生2：我覺得第一種方法算起來最簡(jiǎn)單.

師：是的，頂點(diǎn)和頂點(diǎn)相連的分割出來的三角形個(gè)數(shù)最少，計(jì)算起來最方便.并且我們得到結(jié)論：任意四邊形的內(nèi)角和是360°.

在上述教學(xué)中教師充分展示學(xué)生的各種探索方法，讓學(xué)生明白求得多邊形內(nèi)角和的方法是多種多樣的.同時(shí)，又通過交流比較的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到從某邊上的某一點(diǎn)連接其他頂點(diǎn)來分三角形的方法最為簡(jiǎn)便.既能夠豐富學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，又能修整學(xué)生原有的不合適的經(jīng)驗(yàn)，使經(jīng)驗(yàn)得到提升，內(nèi)化為學(xué)生新的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).因此，學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)后，教師要鼓勵(lì)學(xué)生將自己積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行共享交流，從而進(jìn)一步提升自己的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).教師也應(yīng)在交流后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，總結(jié)歸納方法，從而將感性經(jīng)驗(yàn)上升為理性經(jīng)驗(yàn).

綜上可見，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是一個(gè)逐漸積累感知的過程.無論是數(shù)學(xué)活動(dòng)前，還是數(shù)學(xué)活動(dòng)中，還是數(shù)學(xué)活動(dòng)后，都是離不開學(xué)生的思考.教學(xué)中，教師要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)、組織好每一個(gè)教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷“思考”的過程，讓數(shù)學(xué)活動(dòng)聚焦于經(jīng)驗(yàn)的生成.

【參考文獻(xiàn)】

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