函數(shù)一致連續(xù)性的教學(xué)難點與解析策略

潘偉云

【摘要】函數(shù)一致連續(xù)性是高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)性質(zhì)，其對學(xué)生未來的學(xué)習(xí)有重要的奠基作用.本文結(jié)合大專院校學(xué)生特點及數(shù)學(xué)分析教學(xué)的基本現(xiàn)狀，梳理函數(shù)一致連續(xù)性的教學(xué)難點，思考突破這一教學(xué)障礙的有效策略，為大專數(shù)學(xué)教師開展函數(shù)一致連續(xù)性教學(xué)提供參考.

【關(guān)鍵詞】函數(shù);一致連續(xù);認(rèn)知障礙;幾何直觀;對比探究

一、函數(shù)一致連續(xù)性教學(xué)的主要障礙和難點

（一）教學(xué)障礙

函數(shù)一致連續(xù)性需要關(guān)聯(lián)函數(shù)的連續(xù)性來進行對比和差異化界定，例如不均勻的連續(xù)性是很難通過語言描述、視覺特征來總結(jié)的.我們經(jīng)過訪談發(fā)現(xiàn)，學(xué)生理解函數(shù)一致連續(xù)性的認(rèn)知障礙主要表現(xiàn)為以下幾點：一是不能很好地理解連續(xù)和連續(xù)性的差異，不能很好地理解“函數(shù)的連續(xù)性水平是在不同參數(shù)區(qū)間下表現(xiàn)出的變化程度的差異水平”;二是難以通過直觀觀察發(fā)現(xiàn)連續(xù)函數(shù)和一致連續(xù)函數(shù)在曲線圖像上的差異，例如學(xué)生在對比y=x和y=1x的圖像時不能很好地區(qū)分兩個函數(shù)在第一象限中曲線的平滑程度.從本質(zhì)上看，這兩種認(rèn)知障礙的關(guān)鍵性問題在于教學(xué)模式未能良好匹配學(xué)生的能力.

（二）教學(xué)難點

由上文分析可知，函數(shù)一致連續(xù)性的認(rèn)知障礙在學(xué)生群體中的表現(xiàn)有所不同，這種問題可以通過更具適應(yīng)性的訓(xùn)練與講解策略來解決.筆者在總結(jié)自己多年教學(xué)經(jīng)驗和體會后發(fā)現(xiàn)，在進行函數(shù)一致連續(xù)性教學(xué)時，學(xué)生普遍反映較難理解的內(nèi)容有兩點：其一，與函數(shù)的連續(xù)性區(qū)分，比如有部分學(xué)生不能用數(shù)學(xué)語言揭示函數(shù)連續(xù)與一致連續(xù)的差異，其本質(zhì)上是沒有真正理解函數(shù)的一致連續(xù)幾何與代數(shù)特性;其二，難以內(nèi)化和理解函數(shù)局部和整體的性質(zhì)，比如函數(shù)的整體一致連續(xù)性可以理解為“在坐標(biāo)系中，函數(shù)的自變量區(qū)間δ無論如何取值，在與其相應(yīng)的ε區(qū)間構(gòu)成矩形后，函數(shù)的輸出值始終不會穿越該矩形”.

基于上述分析，對于大專數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)性的教學(xué)，教師需要關(guān)注兩類要素：一是關(guān)注學(xué)生認(rèn)知差異，讓學(xué)生通過適合自己的思維方式來理解函數(shù)一致連續(xù)性的本質(zhì)特性;二是把握教學(xué)中出現(xiàn)頻率較高的難點、重點，在講解理解難度高的知識點時對學(xué)生進行更深入的指導(dǎo).

二、以幾何直觀解決學(xué)生認(rèn)知障礙的策略

由上文分析可知，教師在“一致”概念的教學(xué)中，可以按照多元智能理論的指導(dǎo)，選擇更易于被學(xué)生接受和理解的視覺思維模式，幫助其理解函數(shù)一致連續(xù)性.

筆者建議教師在教學(xué)實踐中將關(guān)鍵性問題的解析分為以下兩個步驟.

第一步，教師復(fù)述函數(shù)一致連續(xù)性概念和教材中的標(biāo)準(zhǔn)化描述：設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有定義，ε>0，δ>0，使得對于區(qū)間I上的任意兩點x1，x2，當(dāng)x1-x2<δ時，恒有f（x1）-f（x2）<ε，則f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù).

在復(fù)述完概念后，教師再按照概念描述的條件來逐步模擬并繪制一個符合一致連續(xù)性的函數(shù)曲線.

如圖1所示，圖1（a）展示了函數(shù)在I區(qū)間的自變量與函數(shù)輸出值區(qū)間定義，圖1（b）表達了函數(shù)連續(xù)性在相應(yīng)范圍內(nèi)的展示.但只通過這種展示可能無法真正讓學(xué)生理解這種一致連續(xù)函數(shù)與普通函數(shù)有何種差異，因此，教師可以引入由ε，δ構(gòu)成的矩形來展示函數(shù)一致連續(xù)與非一致連續(xù)的直觀差異.

如圖2所示，圖2（a）展示了函數(shù)自變量在δ內(nèi)滑動時函數(shù)自變量與輸出值的變化浮動始終維持在由ε，δ構(gòu)成的矩形內(nèi)部，說明了函數(shù)連續(xù)性是比較平穩(wěn)且小幅度的，而圖2（b）則展示了函數(shù)自變量在δ內(nèi)向左滑動到一定程度時，函數(shù)輸出值的變化超出了由ε，δ構(gòu)成的矩形，說明了在自變量下降到一定程度后，即便是小幅的變化也會引起函數(shù)輸出值的較大幅度變化，這種情況展示了連續(xù)性差異，也能從幾何直觀形式展現(xiàn)連續(xù)的“非一致”表現(xiàn).

第二步，教師在通過幾何直觀充分強化學(xué)生對一致連續(xù)性的認(rèn)識后，再采用極限等代數(shù)形式來展示一致連續(xù)的特點，這樣更容易讓學(xué)生理解一致連續(xù)的特點.例如：

由以上兩個極限形式，我們可以發(fā)現(xiàn)連續(xù)與一致連續(xù)的代數(shù)差異在于c和x2，這兩個參數(shù)的差異直接導(dǎo)致了連續(xù)與一致連續(xù)的靜態(tài)和動態(tài)差異.

至此，從視覺直觀到代數(shù)直觀的解析完成.這樣能夠更有效地幫助學(xué)生從幾何和代數(shù)層面分別理解這一概念，更形象且深刻地認(rèn)識函數(shù)一致連續(xù)的特點.

在相應(yīng)概念講解后，教師可以利用學(xué)生認(rèn)知和記憶的短時殘留優(yōu)勢，快速引入例題并通過圖形繪制和解析范例進一步展示更具應(yīng)用型的、復(fù)雜的一致連續(xù)性函數(shù).例如，設(shè)計對任意x1，x2∈（-∞，+∞），有如下函數(shù)關(guān)系：|f（x1）-f（x2）|=|sin x1-sin x2|=2cosx1+x22sinx1-x22≤2sinx1-x22≤2x1-x22=x1-x2，在此基礎(chǔ)上對于任意給定的ε>0，設(shè)δ=ε，則當(dāng)x1-x2<δ時，有fx1-fx2<ε，由此進一步證明函數(shù)fx=sin x在（-∞，+∞）上一致連續(xù).在該問題的分析過程中，我們可以直接基于上文分析過程中所使用的函數(shù)一致連續(xù)概念和幾何解析方式繪制類似的解析圖像（如圖3所示），從圖像上證明f（x）=sin x被無數(shù)個連續(xù)的ε，δ構(gòu)成的矩形所覆蓋，參數(shù)變化的過程中輸出值始終不會穿越示例圖形.

在以上兩個步驟的圖形展示過程中，筆者建議教師采用動態(tài)工具來展示參數(shù)變化下的矩形穿越情形，從而使學(xué)生在動態(tài)的圖形變化中認(rèn)知概念.

三、通過對比探究強化學(xué)生對相似概念區(qū)別的認(rèn)知

有些學(xué)生不擅長幾何思維，教師可通過代數(shù)或幾何推理過程幫助其發(fā)現(xiàn)差異，理解概念特性.

第一步，教師通過對比函數(shù)連續(xù)和一致連續(xù)的概念差異來讓學(xué)生了解函數(shù)一致連續(xù)的特有性質(zhì).

函數(shù)一致連續(xù)的定義：設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有定義，ε>0，δ>0，使得對于區(qū)間I上的任意兩點x1，x2，當(dāng)x1-x2<δ時，恒有|f（x1）-f（x2）|<ε，則f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù).

函數(shù)連續(xù)的定義：設(shè)函數(shù)f（x）在開區(qū)間I上有定義，對于區(qū)間I上的任意一點x0，如果有l(wèi)imx→x0f（x）=f（x0），則函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是連續(xù)函數(shù).

對比上述定義，我們可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)一致連續(xù)定義相比于函數(shù)連續(xù)定義最顯著的區(qū)別在于對于定義域的限定更為嚴(yán)格.簡單來說，函數(shù)連續(xù)可以是多個定義域內(nèi)部連續(xù)的組合，而函數(shù)一致連續(xù)的定義中對于定義域的限制是整體性的，即函數(shù)的基本條件同時受δ，ε和x2的影響.學(xué)生通過這種對比分析，能夠更好地理解函數(shù)一致連續(xù)所定義的“一致”是針對“連續(xù)強度”而言的.

第二步，教師通過對比函數(shù)一致連續(xù)和非一致連續(xù)來定位函數(shù)一致的關(guān)鍵特征.比如，教師設(shè)計如下證明題目來進一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)非一致連續(xù)的內(nèi)涵：設(shè)函數(shù)fx=sin 1x在區(qū)間（0，1）上有非一致連續(xù)特性.在具體證明中，教師引導(dǎo)學(xué)生先對參數(shù)進行轉(zhuǎn)換并設(shè)定一個代數(shù)區(qū)間作為一致連續(xù)的極限形式分析區(qū)間，即取xn=12nπ+π2，則yn=12nπ-π2，由此可發(fā)現(xiàn)limn→∞（xn-yn）=0，此時取ε為1，對δ>0，則能夠確定一個N值，在n0，δ>0，區(qū)間上任意兩點x1，x2，且f（x1）-f（x2）<ε，那么能否證明x1-x2<δ？分析該問題的關(guān)鍵在于找出條件不成立的點，其本質(zhì)上是對函數(shù)一致連續(xù)性的回顧與條件檢驗.學(xué)生在解答此題時需要對fx=1x這個典型的非一致連續(xù)函數(shù)進行代數(shù)或幾何分析，例如通過代數(shù)方法進行分析：在x1→x2以1n的方式接近時，設(shè)x1=1n，則x2=1n+1，則可以發(fā)現(xiàn)limx1→x2f（x1）-f（x2）=limn→∞n-n+1=-1.故學(xué)生就可以進一步發(fā)現(xiàn)δ趨近于0，ε趨近于1，在這個假設(shè)問題中條件和結(jié)果均不成立.這種反例證明能夠有效幫助學(xué)生更清晰地把握一致連續(xù)的參數(shù)條件，以便在證明、反證等相關(guān)應(yīng)用中更準(zhǔn)確和靈活地運用函數(shù)一致連續(xù)的概念.

結(jié) 語

筆者認(rèn)為教師在高等教育中進行關(guān)鍵性數(shù)學(xué)知識的教學(xué)時不僅僅要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)難點，還要關(guān)注學(xué)生在知識認(rèn)知與理解時的智能障礙.在此基礎(chǔ)上，教師可以先按照學(xué)生的性格特點設(shè)定教學(xué)方案分型策略，然后在各類教學(xué)方案中提出有針對性的難點分析與引導(dǎo)策略，確保學(xué)生的個性化發(fā)展與進步.

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