可分離變量微分方程教學(xué)再設(shè)計(jì)①

董艷

(陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 陜西西安 714000)

1 教學(xué)內(nèi)容分析

可分離變量微分方程是常微分方程中的一種重要類型，學(xué)好它對(duì)于后續(xù)知識(shí)的掌握起著關(guān)鍵作用。本節(jié)課是建立在上節(jié)課微分方程概念的基礎(chǔ)上的，因此課前首先借助卡片排序法復(fù)習(xí)6個(gè)概念；其次以名為“蛟龍?zhí)枴钡陌咐鳛檎n堂引入；接著設(shè)置一系列前后銜接的問(wèn)題，主要通過(guò)引導(dǎo)法展開(kāi)新課講解；再次以解題的邏輯思維為抓手，借助藍(lán)墨云進(jìn)行例題講解；再接著是課堂練習(xí)-觸類旁通環(huán)節(jié)，在此環(huán)節(jié)中設(shè)置“旋轉(zhuǎn)木馬”的活動(dòng)，達(dá)到學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的目的；接下來(lái)是乘勝追擊環(huán)節(jié)，設(shè)置“大家一起來(lái)找茬”這個(gè)活動(dòng)，目的是讓學(xué)生從細(xì)節(jié)著手，找到問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)，熟練掌握本節(jié)課的內(nèi)容；有了前面的鋪墊，課前案例的解答已是得心應(yīng)手，因此在課程結(jié)束之前對(duì)此案例進(jìn)行求解，并對(duì)其結(jié)果進(jìn)行分析，在分析中，聯(lián)系到了“大國(guó)工匠”精神，升華了課堂主題，從課程思政的角度達(dá)到了教書育人的目的；為了鞏固課堂內(nèi)容和拓展知識(shí)，課后布置了兩道思考題，以藍(lán)墨云實(shí)時(shí)監(jiān)控課后延伸環(huán)節(jié)；最后是課堂小結(jié)和課堂評(píng)價(jià)，課堂評(píng)價(jià)采取多種評(píng)價(jià)方式，有效地保障了課堂效果。

2 教學(xué)重難點(diǎn)（及措施）

2.1 教學(xué)重點(diǎn)

（1）可分離變量微分方程的一般形式。

（2）可分離變量微分方程的求解方法。

2.2 教學(xué)難點(diǎn)

利用三步走的方法求解可分離變量微分方程的能力。

2.3 重、難點(diǎn)突破措施

2.3.1 創(chuàng)設(shè)情境，案例驅(qū)動(dòng)

通過(guò)視頻觀看案例，巧遇實(shí)際問(wèn)題時(shí)該如何作答，提出疑問(wèn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望，從而引出本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，學(xué)生自發(fā)地深入學(xué)習(xí)本節(jié)課的重點(diǎn)。

2.3.2 分析嚴(yán)密，逐層推進(jìn)

通過(guò)對(duì)可分離變量微分方程的一般形式的分析，自然過(guò)渡到它的求解方法上，自然銜接；創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，邏輯性強(qiáng)。

2.3.3 雙活動(dòng)驅(qū)動(dòng)，攻克難點(diǎn)

設(shè)置旋轉(zhuǎn)木馬活動(dòng)時(shí)，要求兩組學(xué)生形成內(nèi)外兩圈，互相查找問(wèn)題糾錯(cuò)，查漏補(bǔ)缺，直至找到正確的做題思路，期間老師作為旁觀者主要任務(wù)是歸納學(xué)生的問(wèn)題，最后進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和補(bǔ)充，對(duì)于同類型問(wèn)題尋找規(guī)律，便于學(xué)生自己糾錯(cuò)，提高做題效率。

設(shè)置大家一起來(lái)找茬活動(dòng)時(shí)，要求一組做其中的一個(gè)題目，然后老師隨機(jī)找一個(gè)學(xué)生的答案（一般是老師觀察做的不是很好的學(xué)生）作為大家“找茬”的對(duì)象，期間每答對(duì)一個(gè)給學(xué)生加分，但是給小組實(shí)行扣分措施，加減分通過(guò)藍(lán)墨云進(jìn)行，這樣一榮俱榮，一損俱損，提高學(xué)生的責(zé)任意識(shí)，培養(yǎng)集體主義精神。

3 課程教學(xué)創(chuàng)新點(diǎn)

（1）以卡片排序法作為復(fù)習(xí)手段，快速建立學(xué)生邏輯思維能力。

（2）以科技前沿的“蛟龍?zhí)枴弊顬檎n堂引入案例，培養(yǎng)學(xué)生愛(ài)國(guó)主義情懷。

（3）設(shè)置“旋轉(zhuǎn)木馬”和“大家一起來(lái)”課堂活動(dòng)組織形式，實(shí)現(xiàn)以學(xué)生為中心的教學(xué)理念。

（4）將“大國(guó)工匠”精神作為案例小結(jié)的延申點(diǎn)，將思政融入課堂，達(dá)到教書育人的目的。

4 教學(xué)過(guò)程

4.1 復(fù)習(xí)舊知

同學(xué)們好！本節(jié)課我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是可分離變量的微分方程。首先復(fù)習(xí)一下上節(jié)課的內(nèi)容，那上節(jié)課我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容是什么呢？（可分離變量的微分方程），那好，我將上節(jié)課的概念制作成了卡片的形式，現(xiàn)在我的手中有6張卡片，請(qǐng)大家以小組為單位對(duì)這6張卡片按照邏輯先后順序進(jìn)行排序，并將排序的結(jié)果擺放在桌面上，要求1min之內(nèi)完成。好，現(xiàn)在開(kāi)始。如果哪個(gè)隊(duì)確定已經(jīng)完成，請(qǐng)舉手示意，我們給先完成的組加1分。

接下來(lái)我將這6張卡片隨機(jī)分發(fā)給幾名學(xué)生，當(dāng)我回顧到這個(gè)概念時(shí)，請(qǐng)拿到相應(yīng)卡片的同學(xué)幫我們解釋下。

4.2 課堂引入

本節(jié)課將以一個(gè)案例作為課堂引入重點(diǎn)學(xué)習(xí)它的一般形式和求解方法。首先來(lái)看一段視頻：（播放視頻）

近日，歷時(shí)15個(gè)月完成技術(shù)升級(jí)的蛟龍?zhí)栐谇鄭u國(guó)家深?；毓芾碇行牧料?，它是我國(guó)載人深潛歷程中的一個(gè)重要里程碑！蛟龍?zhí)栍?jì)劃于2020年也就是明年的6月份到2021年6月執(zhí)行環(huán)球航次。此刻，我們由衷地感嘆到：厲害了，我的國(guó)！讓我們也預(yù)祝這次環(huán)球航行圓滿成功！接下來(lái)看一個(gè)具體問(wèn)題：（讀題）

現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位在組長(zhǎng)的帶領(lǐng)下探討一下這個(gè)問(wèn)題該如何解決呢？完了之后請(qǐng)一名同學(xué)談下他們小組的思路。

4.3 新課講解

好！這就是一個(gè)可分離變量的微分方程，究竟什么是可分離變量微分方程呢？顧名思義, 可分離變量微分方程就是變量可以分離的微分方程，那么在常微分方程中，變量有幾個(gè)呢？（兩個(gè)），分別是：x和y,自變量和因變量，注意：我并沒(méi)有說(shuō)x和y，因?yàn)椴⒉慌懦@兩個(gè)變量用其它字母替代，比如剛才這個(gè)案例中，自變量是誰(shuí)，因變量是誰(shuí)，變量可以分離意味著自變量和因變量可以分離，究竟怎么個(gè)分離法？接下來(lái)我們來(lái)看下它的一般形式：可分離變量微分方程的一般形式為：讓我們來(lái)分析下這個(gè)式子：首先來(lái)看等號(hào)右邊，對(duì)于f(x),大家比較熟悉，它是關(guān)于x的一個(gè)一元函數(shù)，可是g(y)是什么意思呢，在這里y是x的函數(shù)，外層的g也是一個(gè)函數(shù)，那么相當(dāng)于一個(gè)函數(shù)g里面又套了一個(gè)函數(shù)，那么g(y)就是關(guān)于x的一個(gè)復(fù)合函數(shù)（學(xué)生回答），再來(lái)看等號(hào)的左邊，dy/dx是什么意思呢？學(xué)生回答：是y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，對(duì)，它是導(dǎo)數(shù)也就是y撇，注意：在這里，dy/dx除了可以看成一個(gè)整體表示y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)之外，它還有另外一層身份，就是表示兩項(xiàng)之商，也就是y的微分與x的微分之商，正因?yàn)樗倪@層身份才保證了y與x可以做變量分離，也就是將f(y)與dy寫到一起，f(x)與dx放到一起，這樣以來(lái)，可分離變量的一般形式就可以恒等變形為：，分離變量之后然后怎么做呢？接下來(lái)我們來(lái)看下它的求解方法：可分離變量微分方程求解分三步走：第一步：分離變量，第二步：兩邊積分，只需在第一步的基礎(chǔ)上兩邊各添一個(gè)不定積分號(hào)即可。最后，求出這兩個(gè)積分即得通解為：G(y)=F(x)+C,其中G(y)，F(xiàn)(x)分別為1/g(y)，f(x)的一個(gè)原函數(shù)，那么最后一句話告訴我們，

從第一步到第二步做起來(lái)很容易，可是要做證明并不簡(jiǎn)單，在這里我們只來(lái)驗(yàn)證下G(y)=F(x)+C是否為原方程的通解呢？

4.4 課堂舉例

接下來(lái)看一個(gè)具體的例子：它是一個(gè)可分離變量微分方程嗎？是，那么f(x)是誰(shuí)呢？g(y)呢？好！認(rèn)清楚形式之后，接下來(lái)按照它的求解方法分幾步走。三步.第一步：分離變量，其中d(y)和誰(shuí)結(jié)合呢？那f(x)自然就和6x結(jié)合，第二步兩邊積分和第三步求出積分均采取在教師的引導(dǎo)下學(xué)生回答的形式進(jìn)行。

4.5 課堂練習(xí)

課堂練習(xí)部分，首先讓學(xué)生在限定的時(shí)間內(nèi)獨(dú)立完成這三道題目，其次讓學(xué)生離開(kāi)座位來(lái)做一個(gè)旋轉(zhuǎn)木馬的活動(dòng)，兩個(gè)小組圍成內(nèi)外兩個(gè)圈，然后讓內(nèi)圈的學(xué)生面對(duì)外圈的學(xué)生，兩人一組進(jìn)行對(duì)照學(xué)習(xí)，互相糾錯(cuò)，找到自己的問(wèn)題，然后讓外圈學(xué)生順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，內(nèi)圈學(xué)生逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再相互交流互相對(duì)照過(guò)程和答案找到自己的問(wèn)題當(dāng)場(chǎng)糾正，這個(gè)時(shí)候老師應(yīng)該加入進(jìn)來(lái)但是不要打擾學(xué)生只是傾聽(tīng)，待活動(dòng)結(jié)束后：

好！現(xiàn)在同學(xué)們各自回自己的座位，通過(guò)剛才的互相找問(wèn)題階段，我了解到大家存在的問(wèn)題主要有以下幾個(gè)方面：（1）不會(huì)積分；（2）不是指數(shù)對(duì)數(shù)之間的互化，雖然這兩個(gè)知識(shí)都是以前學(xué)習(xí)的內(nèi)容，但是現(xiàn)在有所遺忘，應(yīng)該重新?lián)焓捌饋?lái)存在的第三個(gè)問(wèn)題是有的同學(xué)兩邊同時(shí)出現(xiàn)加C，如果兩邊加常數(shù)，一個(gè)用C1，另一個(gè)用C2表示，但是我們最后把所有能和C1C2合并的常數(shù)都合并為右邊一個(gè)C上去，第四個(gè)問(wèn)題是有同學(xué)加上對(duì)數(shù)后面加了絕對(duì)值，我們說(shuō)這里應(yīng)該加上絕對(duì)值，只是因?yàn)榻^對(duì)值若能化簡(jiǎn)的話，出現(xiàn)的正負(fù)號(hào)就和常數(shù)C合并了，因此，以后在求解常微分方程時(shí)，若出現(xiàn)了ln的原函數(shù)形式，在最終結(jié)果能化簡(jiǎn)的情況下，絕對(duì)值可以去掉，不會(huì)影響結(jié)果。但是這里注意，最后的結(jié)果中必須不含有l(wèi)n才可以這么做。

4.6 乘勝追擊

首先讓學(xué)生觀察，第一個(gè)問(wèn)題的g(y)是1要求第一小組做第一個(gè)題，第二個(gè)小組做第二個(gè)題目，這個(gè)問(wèn)題大家在做的時(shí)候遇到問(wèn)題可以討論，此環(huán)節(jié)采取大家一起來(lái)找茬的形式進(jìn)行，首先教師在藍(lán)墨云中分好組，建立上傳任務(wù)，學(xué)生做完之后隨機(jī)抽取每個(gè)小組的一名學(xué)生作為上傳的對(duì)象，然后所有同學(xué)一起來(lái)找問(wèn)題，每找到一個(gè)問(wèn)題小組每個(gè)成員扣一，找到問(wèn)題的同學(xué)加兩分。

4.7 案例求解

案例的問(wèn)題求解和前面乘勝追擊的其中一個(gè)問(wèn)題很像，因此案例的求解勢(shì)在必得。對(duì)案例求解目的是對(duì)整個(gè)下潛過(guò)程實(shí)行精細(xì)化管理，這正是我們現(xiàn)在提倡的精益求精的“大國(guó)工匠”精神的體現(xiàn)。正所謂“工于形，匠于心，十年磨一劍，一劍傳古今”。

課堂思政在案例求解中自然形成，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲，達(dá)到了教書育人的目的。

4.8 課堂小結(jié)

課堂小結(jié)采取問(wèn)答式，課堂氣氛融為一體，重難點(diǎn)重現(xiàn)，加深學(xué)生印象，使課堂內(nèi)容形成一個(gè)有機(jī)整體，板書、學(xué)生、老師渾然一體。

5 課堂評(píng)價(jià)

5.1 學(xué)生對(duì)課堂評(píng)價(jià)

（1）通過(guò)藍(lán)墨云發(fā)起兩個(gè)課堂評(píng)價(jià)任務(wù)

選擇題：你認(rèn)為本節(jié)課的上課效果如何？

A．好 B.很好 C.一般 D.不好 E.我沒(méi)好好聽(tīng)，所以不做評(píng)價(jià)。

答疑/討論題：談?wù)劚竟?jié)課給你印象最深的是哪個(gè)環(huán)節(jié)，為什么？

5.2 教師對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)

（1）通過(guò)各小組利用資源平臺(tái)課前復(fù)習(xí)回顧微分方程的概念以及觀看本節(jié)課視頻情況給予一定的個(gè)人分?jǐn)?shù)，主要看學(xué)生對(duì)以往知識(shí)的掌握熟練程度和對(duì)以往知識(shí)的歸納總結(jié)能力。

（2）以小組為單位“捆綁式”的評(píng)分方式，以上課各個(gè)環(huán)節(jié)小組的表現(xiàn)最終評(píng)出積分最高的組，課下在藍(lán)墨云中給該組的每名學(xué)生課堂表現(xiàn)加分。

（3）在“大家一起來(lái)找茬”實(shí)行個(gè)人加分與小組扣分相結(jié)合。

（4）在課下思考題目的效果評(píng)價(jià)中，采取藍(lán)墨云答疑討論以及上傳任務(wù)的方式給與打分評(píng)價(jià)計(jì)入到個(gè)人經(jīng)驗(yàn)值中。

（5）將課堂所得的經(jīng)驗(yàn)值作為學(xué)生期末考試平時(shí)成績(jī)的主要來(lái)源。