探究與正方形有關(guān)的線段之間的數(shù)量關(guān)系

正方形作為最特殊的四邊形之一，具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)，因而，以正方形為背景的幾何綜合題層出不窮.在題目中可以求線段之間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、線段的長度、角的度數(shù)等等，解題時(shí)需要特別明確正方形的性質(zhì)，善于動(dòng)手操作、大膽猜想，聯(lián)想學(xué)過的幾何基本圖形，恰當(dāng)?shù)奶砑虞o助線，運(yùn)用幾何推理方可得出結(jié)論.1 與正方形有關(guān)的兩條線段的相等關(guān)系

例1 如圖1，在正方形ABCD中，BD是一條對角線.點(diǎn)P在線段CD上（與點(diǎn)C，D不重合），連接AP，平移△ADP，使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C，得到△BCQ，過點(diǎn)Q作QH⊥BD于點(diǎn)H，連接AH，PH.

1.依題意補(bǔ)全圖1;

2.判斷AH與PH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系

并加以證明;

分析 1.依題意補(bǔ)全圖1，如圖2，主要關(guān)注：

（1）平移△ADP：平移的方向是沿著DC的方向，平移的距離是DC的長度;

（2）過點(diǎn)Q作QH⊥BD于點(diǎn)H：明確過點(diǎn)Q，作QH⊥BD于點(diǎn)H，垂足是H;

（3）連接AH，PH.

2.判斷AH與PH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，這里包含兩層意思（1）AH和PH的數(shù)量關(guān)系，是相等還是不相等，還是幾倍的關(guān)系.（2）AH和PH的位置關(guān)系是平行還是垂直.本題解題時(shí)首先應(yīng)該利用刻度尺和量角器度量后進(jìn)行猜想，發(fā)現(xiàn)AH=PH，AH⊥PH.然后聯(lián)想學(xué)過證明線段相等的方法：三角形全等、等角對等邊、平行四邊形對邊相等.聯(lián)想證明垂直的方法：直角三角形兩銳角互余，矩形四個(gè)角為直角.結(jié)合本題條件，發(fā)現(xiàn)AH和PH所在的三角形，△HAD和△HPQ可以全等.因平移△ADP，使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C得到△BCQ，知DC=PQ.由正方形ABCD

可得DA=DC=PQ，∠BDA=∠BDC=45°.QH⊥BD于點(diǎn)H，∠HDQ=∠HQD=∠BDA=45°，HQ=HD，所以△HAD≌△HPQ，HA=HP、∠AHD=∠PHQ.由∠DHP+∠PHQ=90°，所以，∠DHP+∠AHD=90°，∠AHP=90°，HA⊥HP.

反思 本題中正方形ABCD提供了以下重要條件：邊相等DA=DC、∠BDA=∠BDC=45°，

然后再充分利用其他條件進(jìn)行證明即可.2 與正方形有關(guān)的兩條線段的倍數(shù)關(guān)系

例2 如圖3，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接DE，將線段ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，連接BF.

1.依題意補(bǔ)全圖;

2.用等式表示線段BF與AE的數(shù)量關(guān)系并證明.

分析 1.依題意補(bǔ)全圖形，如圖4，主要關(guān)注：

（1）將線段ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°：旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)E，旋轉(zhuǎn)方向順時(shí)針，旋轉(zhuǎn)角度是90°;

（2）連接BF.

2.用等式表示線段BF與AE的數(shù)量關(guān)系.解題時(shí)首先應(yīng)該利用刻度尺度量，發(fā)現(xiàn)BF和AE不是相等關(guān)系.然后通過計(jì)算，猜想BF和AE具有 2倍的關(guān)系，因此，可以構(gòu)造等腰直角三角形，讓BF作為斜邊，AE的長度作為直角邊，可以過F做AB的延長線的垂線，通過證明△DAE≌△EHF從而達(dá)到目的.因四邊形ABCD是正方形，則AB=AD，∠A=90°.由線段ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，則DE=EF，∠DEF=90°.因∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，所以∠2=∠3，△DAE≌△EHF，得出AE=FH，AD=EH，

AB=EH，AE=BH，F(xiàn)H=BH，△BFH是等腰直角三角形，BF=2FH=2AE.

反思 本題中正方形ABCD提供了以下重要條件：AB=AD，∠A=90°，通過做輔助線，然后再充分利用其他條件進(jìn)行證明即可.

3 與正方形有關(guān)的三條線段的關(guān)系

3.1 與正方形有關(guān)的三條線段的一次關(guān)系

例3 如圖5，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)B作BF⊥DE，交射線DE于點(diǎn)F，連接CF.

1.依題意補(bǔ)全圖形;

2.判斷線段BF，CF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

分析 1.依題意補(bǔ)全圖，如圖6，主要關(guān)注：

（1）過點(diǎn)B作BF⊥DE，交射線DE于點(diǎn)F;

（2）連接CF.

2.判斷線段BF，CF，DF之間的數(shù)量關(guān)系.

解題時(shí)首先應(yīng)該利用刻度尺度量，發(fā)現(xiàn)BF，CF，DF之間沒有明確的兩條線段之和等于第三條線段關(guān)系.然后通過計(jì)算，猜想DF大約等于BF加上CF的 2倍的關(guān)系，DF=DM+MF=BF+2CF.因此，可以在DF上截取DM=BF，連接CM，構(gòu)造等腰直角三角形CMF，讓CF作為直角邊，再證明MF=2CF，從而達(dá)到目的.由正方形ABCD知BC=CD，∠BDC=∠DBC=45°，∠BCD=90°，∠CDM=∠CBF，△CDM≌△CBF（SAS）.則DM=BF，CM=CF，∠DCM=∠BCF.∠MCF=∠BCF+∠MCE=∠DCM+∠MCE=∠BCD=90°所以MF= 2CF

，DF=DM+MF=BF+2CF.

反思 本題中正方形ABCD提供了以下重要條件：BC=CD，∠BDC=∠DBC=45°，∠BCD=90°，通過添加輔助線，然后再充分利用其他條件進(jìn)行證明即可.

3.2 與正方形有關(guān)的三條線段的二次關(guān)系

例4 如圖7，正方形ABCD中，點(diǎn)P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP，將線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，連接CE.

1.依題意補(bǔ)全圖形;

2.求證：PA2+PC2=2PB2.

分析 1.依題意補(bǔ)全圖形如圖8，主要關(guān)注：

（1）將線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)B，旋轉(zhuǎn)方向順時(shí)針，旋轉(zhuǎn)角度是90°;

（2）連接CE.

2.求證PA2+PC2=2PB2，發(fā)現(xiàn)是線段的平方關(guān)系，而且有2PB2，因此，猜想構(gòu)造等腰直角三角形是關(guān)鍵.由四邊形ABCD是正方形，得CB=AB，∠1=∠2=45°，∠3+∠4=90°.因?qū)⒕€段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，所以BE=BP，∠5+∠4=90°.PE=2PB，∠5=∠3.△CBE≌△ABP（SAS），因此EC=PA，∠6=∠1=45°.∠PCE=∠2+∠6=90°.得EC2+PC2=PE2，由EC=PA，PE=2PB，PA2+PC2=2PB2.

反思 本題中正方形ABCD提供了以下重要條件：BC=AB，∠1=∠2=45°，

∠BCD=90°，通過添加輔助線，然后再充分利用其他條件進(jìn)行證明即可.

與正方形有關(guān)的線段之間的數(shù)量關(guān)系不止以上幾種情況，在求解過程中，主要是動(dòng)手操作，大膽猜想，積極驗(yàn)證.結(jié)合學(xué)習(xí)過的相關(guān)模型，巧妙運(yùn)用正方形的相關(guān)性質(zhì)，一定會(huì)順利解題.

作者簡介 王獻(xiàn)春（1967—），男，北京延慶人，大學(xué)本科，正高級教師，主要從事初中教學(xué)研究.