關(guān)于有效估計(jì)的一點(diǎn)討論

李秀蘭

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同037009）

參數(shù)估計(jì)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)重要內(nèi)容，無(wú)偏性是對(duì)估計(jì)最常見的合理性要求，直觀的想法是希望該估計(jì)圍繞參數(shù)真值的波動(dòng)越小越好，波動(dòng)大小可以用方差來(lái)衡量[1-2]。

定義1對(duì)參數(shù)估計(jì)問題，設(shè)是q的一個(gè)無(wú)偏估計(jì), 若對(duì)θ的任一無(wú)偏估計(jì),都有θ≤Var(), ?θ∈Θ ,則稱是q的(一致)最小方差無(wú)偏估計(jì),記UMVUE。

一致最小方差無(wú)偏估計(jì)是所有無(wú)偏估計(jì)中方差最小的, 在無(wú)偏性和有效性兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下是最好的。

(1)Θ 是開區(qū)間；

(2)支撐S={x：p(x,θ)＞0}與θ無(wú)關(guān)；

(4)對(duì)p(x；θ)積分與微分運(yùn)算可交換

定理1(C-R 不等式) 設(shè)總體X的概率函數(shù)p(x；θ)滿足定義 2 的條件(1)～(5),T=T(X1，…，Xn)是g(θ)的任一個(gè)無(wú)偏估計(jì),g′(θ)存在，且對(duì)一切q，對(duì)

的微商可在積分號(hào)下進(jìn)行（對(duì)離散總體，將積分號(hào)改為求和符號(hào)），則有

其次，會(huì)計(jì)信息化依靠著網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)來(lái)運(yùn)行，一旦系統(tǒng)出現(xiàn)故障問題，企業(yè)的財(cái)務(wù)信息和數(shù)據(jù)便會(huì)泄露，使得企業(yè)面臨著嚴(yán)重的經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)，降低企業(yè)的經(jīng)營(yíng)效益。所以企業(yè)應(yīng)當(dāng)針對(duì)財(cái)務(wù)系統(tǒng)建立起全面地監(jiān)查制度，實(shí)施對(duì)于財(cái)務(wù)系統(tǒng)設(shè)備的管理與監(jiān)控工作，形成系統(tǒng)化、規(guī)范化的信息數(shù)據(jù)處理工作，提高企業(yè)財(cái)務(wù)信息數(shù)據(jù)的安全性。

稱[g′(θ)]2/[nI(θ)]為g(θ)的無(wú)偏估計(jì)的方差的C-R下界,簡(jiǎn)稱C-R下界。

特別當(dāng)g(θ)=θ,為q的無(wú)偏估計(jì)時(shí),C-R不等式簡(jiǎn)化為

C-R 不等式表明,一定條件下, 無(wú)偏估計(jì)的方差不能任意小。

定義3若C-R 不等式中等號(hào)成立, 則稱T是g(q)的有效估計(jì)。

顯然有效估計(jì)一定是無(wú)偏估計(jì)、相合估計(jì)、UMVUE。

例1X～b(1,p),(1)求p的有效估計(jì)；(2)求θ=p2的UMVUE,這個(gè)估計(jì)是不是有效估計(jì)？

解(1)p(x；p)=px(1-p)1-x,x=0,1。先驗(yàn)證C-R不等式的條件成立。

參數(shù)空間Θ=(0,1)為開區(qū)間；支撐S={0,1}與p無(wú)關(guān)；

那么p的無(wú)偏估計(jì)的C-R下界為而是p=E(X)的無(wú)偏估計(jì),且

設(shè)φ=φ(X1,…,Xn),E(φ)=0,D(φ)＜∞ 。

則(X1,…,Xn)的聯(lián)合分布列為

那么

例2 設(shè)X～U(0,θ),p(x；θ)=其中0 ＜x＜θ, 已知=是θ的無(wú)偏估計(jì)。

顯然分布的支撐S=(0,θ)與參數(shù)θ有關(guān),并且

可見C-R不等式的條件不滿足，所以q的有效估計(jì)不存在。但是