《割圓密率捷法》中的奇零尾數(shù)問題

王鑫義

（內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院，內(nèi)蒙古呼和浩特010022）

中國古代分?jǐn)?shù)理論較之小數(shù)理論有著悠久的歷史和卓越的貢獻。中算書中的數(shù)一般由“全”和“分”兩部分構(gòu)成，中算家稱整數(shù)部分為“全”，奇零部分為“分”[1]。古代典籍中常用“奇”、“有奇”、“余”、“有余”等詞語來表述奇零小數(shù)[2]，有用“強”、“弱”、“微強”等來表示的，其中都蘊含了奇零尾數(shù)的處理方法，一般用“四舍五入”，也有用去尾就整的方法，有時也將奇零尾數(shù)在可能范圍內(nèi)多化為分?jǐn)?shù)，并將各分?jǐn)?shù)的分母化為近似的公分母，以求整齊劃一。劉徽已對小數(shù)有深刻認識，且已認識到不盡方根不能用十進小數(shù)的有限形式來表示?！稊?shù)理精蘊》中用“小余”、“有余”等表述奇零問題。盡管中國古代數(shù)學(xué)中并未明確提出過有理數(shù)、無理數(shù)的概念，但“奇零小余”中卻包含著有理數(shù)和無理數(shù)兩種情形，若“奇零小余”是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，則“奇零小余”為有理數(shù)；若“奇零小余”是無限不循環(huán)小數(shù)，則為無理數(shù)[3]。

《割圓密率捷法》（以下稱《捷法》）中有多處涉及到奇零尾數(shù)的近似計算問題，因后三卷中出現(xiàn)的奇零尾數(shù)問題有所不同，選取后三卷中的部分典型案例，分別討論明安圖對奇零尾數(shù)的處理情況，對出現(xiàn)的不同題型中采用相同方法的問題將不再重復(fù)分析。

1 卷二中的奇零尾數(shù)問題

卷二中用無窮級數(shù)展開式進行天文計算，出現(xiàn)了對每條數(shù)的奇零尾數(shù)處理問題和對部分條數(shù)的舍棄問題，明安圖采用截斷法和進一法，在原有數(shù)字后多保留一位數(shù)字，作為安全數(shù)字或參考數(shù)字，當(dāng)所參與運算的條數(shù)成為純小數(shù)時，便將其和其后面的條數(shù)都舍去不求。以卷二中具有代表性的角度求八線問題為例來說明：

“以周天度化為一百二十九萬六千秒為一率，倍圓周定率，得六千二百八十三萬一千八百五十三，為二率；設(shè)度化為一十五萬六千一百一十秒，為三率；乘除得四率七百五十六萬八千四百二十六，小余三。帶小余一位單位數(shù)方密，后仿此?！谖鍡l數(shù)止一位，第六條數(shù)必在小余下，故可省求。置右總數(shù)減左總數(shù)，得六百八十六萬六千二百九十五，小余七，進為一。第二條得數(shù)僅二位，而比第一條數(shù)降四位，則第三條數(shù)必降至奇零下，即無庸求。”[4]

明安圖用放大半徑之法，取半徑為一千萬（107），顯然，給定半徑的位數(shù)越多，尾數(shù)將越精確。圓周率以3.141 592 65 入算，再將圓周角360度化為1 296 000秒，轉(zhuǎn)化方法與現(xiàn)在一樣，通過計算得到各條數(shù)的近似值。下面求得相對誤差，并做簡要分析：

在卷二的實際應(yīng)用問題中，明安圖做加減運算時，為使參與計算的個位數(shù)和最后的結(jié)果有盡可能高的精度，他要求所有參與運算的數(shù)字，均保留一位小數(shù)參加計算。表1中計算出的相對誤差值為Ei（i=1，…，6），只有E6偏大以外，其它的相對誤差值都較小，Ei在逐漸增大，用U來表示求未知量時累積的相對誤差值，U=E1+…+E6，事實上，在放大半徑計算時所累積的相對誤差U是允許的。從表1中的近似值與精確值來看，舍去的部分最前面的數(shù)字大于5的卻沒向上進一位，如出現(xiàn)的6和7，舍去的部分最前面的數(shù)字小于5的直接舍去，如出現(xiàn)的1、2和4，因而他在這里采取的是截斷法，即簡單地截去第一位小數(shù)位數(shù)以后的數(shù)字而得到所需結(jié)果。從第五條開始，近似值和精確值越來越小，造成的相對誤差會越來越大，“第六條數(shù)必在小余下，故可省求”，即第六條已變成了純小數(shù)，因而從第六條開始不再計算直接舍去，這也是化繁為簡的一種做法。

而表2中明安圖是用“進為一”的方法得到的近似值，卷二中還有幾處的最后結(jié)果采取的也是此法，“進為一”即進一法，如：求得的小數(shù)點后的一位數(shù)字分別為7 和9，他采用進一法將前一位加1。這里處理奇零尾數(shù)采用的并非四舍五入方法，對“不過半（或不過5）”的情形是否也采用進一法來處理，原文中并未說明。求得前四條后，他已意識到每次得數(shù)減少兩位，第四條數(shù)還有三位，須求第五條，而第五條數(shù)字只有一位，第六條已成為了純小數(shù)，從第六條開始舍去不求，并通過降位，在求得第一、二條數(shù)后，發(fā)現(xiàn)第二條數(shù)僅有兩位，比第一條數(shù)減少了四位，得出第三條數(shù)一定減少到小數(shù)，他認為對于降到奇零下的條數(shù)對整個運算結(jié)果沒有太大影響，故不再計算直接舍去，說明他對計算結(jié)果的變化規(guī)律已有了很清楚地判斷。

若e的近似值e*的規(guī)格化形式：

e*=±0.a1a2···an×10m（a1,a2,···,an都為 0～9中的任一數(shù)字，a1≠0 ，n是正整數(shù)，m是整數(shù)）有n位有效數(shù)字，則相對誤差限為：

說明e*的有效數(shù)字位數(shù)越多，其相對誤差限也越小，《捷法》中明安圖給出的有效數(shù)字的位數(shù)能深刻反映近似值的相對精確度。

在已知角度求八線中，明安圖用多項式：

近似代替弧背求正弦公式：

x用弧度表示，n≥1，弧背求正弦公式滿足萊布尼茲準(zhǔn)則[5]，為萊布尼茲級數(shù)，截斷誤差為：

說明從第六條開始只有“分”沒有“全”，舍去第五條以后的實質(zhì)即為此。雖終止于第六條將會出現(xiàn)誤差，明安圖也沒有考慮如何避免數(shù)值誤差，但對于取較大整數(shù)作為半徑計算時，只需取一些項，且這些項的數(shù)值大小是遞減的，直到任何一步誤差大小的數(shù)量級等于丟掉的第一項大小的數(shù)量級[6]。

在多個數(shù)求和時，被加數(shù)的絕對值之間相差較多，且后面包含許多絕對值較小的數(shù)，若要縮小相對誤差，提高精度的最直接有效的辦法就是增加各項數(shù)值的有效位數(shù)，但它同時增加了計算量。“帶小余一位單位數(shù)方密”，即保留一位小數(shù)，增加一位有效數(shù)字，使計算結(jié)果更精密，說明他對誤差已有一定的認識。

2 卷三中的奇零尾數(shù)問題

2.1 “分弧通弦率數(shù)求全弧通弦率數(shù)”中的奇零尾數(shù)問題

“分弧通弦率數(shù)求全弧通弦率數(shù)”中出現(xiàn)不足法和十五率后截去不用的問題。被除數(shù)的絕對值小于除數(shù)的絕對值，各率的被除數(shù)的絕對值比除數(shù)的絕對值減少得快，則比值會越來越小且前后兩項的比值會越來越接近，防止參與運算的數(shù)在數(shù)量級上相差懸殊，明安圖采用截斷法，即僅保留無窮過程的前段有限項而舍棄它的后段。

“十一率、十三率皆不足法，于各率上加一分母十六?！?。十五率后截去不用，故求至十五率止。蓋連比例至十五率為數(shù)已密?！盵4]

明安圖求得十一率、十三率時不夠除，被除數(shù)的絕對值小于除數(shù)的絕對值，得到十五率后，指出十五率后截去不用。事實上，他也是考慮到十五率以后“不足法”，被除數(shù)的絕對值與除數(shù)的絕對值會越來越不夠除，絕對值很小的數(shù)作了被除數(shù)，即在計算y/x時，若0＜|y|＜＜|x|，在整個的計算過程中，就會出現(xiàn)前后兩個相近的數(shù)相減和前面的大數(shù)“吃掉（淹沒）”后面的小數(shù)的現(xiàn)象。明安圖采取截斷法只取了前七項，“十五率后截去不用”，因不能精確計算得到無窮多項的和或差，故只能截取有限項來計算。在具體計算時，他已清除地認識到只能對有限項數(shù)進行有限次運算，故截斷了無窮過程。

由有限過程逼近一個無限過程實質(zhì)上是在求解一個近似問題，他把無限的計算過程用有限的計算過程代替，求解時必定會產(chǎn)生截斷誤差。當(dāng)分子不太小時，近似計算的誤差主要取決于截斷誤差，從理論上看，分子越小，截斷誤差也越小，逼近程度應(yīng)該越好，分子很小時，截斷誤差將變得微乎其微，故當(dāng)分子充分小時，涉及前后兩個相近的數(shù)相加減，以防有效數(shù)字損失，可用有限項的值近似代替無限項的值，用有限過程逼近無限過程，用能計算的問題代替不能計算的問題。他認識到了截斷誤差問題，卻沒有嚴(yán)格控制住在計算過程中所造成的累積的截斷誤差。

2.2 “弧背求通弦率數(shù)法解”中的奇零尾數(shù)問題

由于弧線與直線不能達到同一，“弧背求通弦率數(shù)法解”中總有奇零數(shù)不能整除的問題。明安圖繼承并發(fā)揮了自劉徽以來的極限思想，認為“去奇零而用整分”是弧與直線達到同一的最佳途徑。

“置千分弧四率分?jǐn)?shù)，四歸之，為應(yīng)減四率數(shù)，為法。法除實，得二十四分〇〇〇〇二四不盡，是全四率亦為應(yīng)減四率之二十四倍有余?！?。夫二十四分之?dāng)?shù)不改，惟奇零之差逼弧愈近則愈微。若徑以弧背為二率，則奇零必盡，而為二十四分整數(shù)矣。蓋累求而奇零不盡者，此弧線、直線之所以不可一也；去奇零而用整分者，因其不可一而得其所以可一也?！盵4]

明安圖在研究弦與弧的無窮逼近問題時，指出在無窮分割的條件下，曲線和直線可以達到同一。首先用百分、千分、萬分弧的共用二率數(shù)作為二率來求各率分?jǐn)?shù)，求四率分?jǐn)?shù)時，先以百分弧二率共用數(shù)依次求得三、四率數(shù)，再以四率率數(shù)106為被除數(shù)，166650/4=41662.5 為除數(shù)，相除后為24.00240024，其中小數(shù)點后的0024為除之不盡的數(shù)。同樣的，以萬分弧二率共用數(shù)計算時，得到24.00000024，其中小數(shù)點后的00000024 為除之不盡的數(shù)，相比千分弧就更小了。原著中相當(dāng)于做了如下計算：

“二十四分之?dāng)?shù)不改，惟奇零之差逼弧愈近則愈微。”即闡明了計算所得到的各數(shù)值的整數(shù)部分為24是一定的，只有小數(shù)部分在不斷變化，而且奇零差數(shù)越逼近圓弧變得越加微小，整數(shù)與小數(shù)部分相差越來越大。這與后面整數(shù)部分出現(xiàn)的80、168、288等實質(zhì)是相同的，所采用的方法都是“去奇零而用整分”，由于實際的需要將位數(shù)較多的數(shù)字近似地寫成了位數(shù)較少的數(shù)字，弧線與直線相同一的方法則是采用去尾法把奇零尾數(shù)直接舍去而用整數(shù)，即整化[7]。當(dāng)角度越小，分割越細時，需要調(diào)整系數(shù)，通過計算得到的數(shù)值的整數(shù)部分來近似代替無窮級數(shù)展開式的各項系數(shù)的分母。由于被除數(shù)、除數(shù)數(shù)字龐大，做近似計算截去了末尾若干位數(shù)字，即去尾就整，雖然計算有所簡便，但減少了有效數(shù)字的位數(shù)，一定程度上損失了結(jié)果的精度。原著中在進行相當(dāng)于求極限的近似計算時，以曲直異同說作為理論基礎(chǔ)，雖然當(dāng)弦逐步變小時并非嚴(yán)格意義上的無窮小概念，但為有限走向無限做了很好的鋪墊。將無限過程通過運算合理地表達了出來，形象地描述了弦弧互化的過程，但缺乏分析的討論，并非嚴(yán)格意義上的證明。

3 卷四“弧背求正矢率數(shù)法解”中的奇零尾數(shù)問題

由于原著中的數(shù)字單位較大，數(shù)字到一定位數(shù)后末尾的0 較多，明安圖采取的是截斷法，即簡單地截去被除數(shù)和除數(shù)的末尾含有0的相同位數(shù)，避免了計算時造成的干擾，保證了得數(shù)的準(zhǔn)確性[8]。

“求五率分?jǐn)?shù)，…，次置萬分弧三率共分?jǐn)?shù)，以三率乘之，得五率分?jǐn)?shù)二分之一京，為實。入算截去末六位。置萬分弧五率共分?jǐn)?shù)一六六六六六六六五〇截去末六位，二歸之，得數(shù)八三三三三三三二五，為法?！Ｇ笃呗史?jǐn)?shù)，…，截去后七位，…，截去后十三位。…，求九率分?jǐn)?shù)，…，截去后四位，…，截去后六位，…，截去后十二位，…，截去后二十位?！?。求十七率分?jǐn)?shù)，…，截去后四十四位?！盵4]

明安圖所使用的數(shù)字單位中有一[9]，有京[10-11]等，其中的大數(shù)遠遠超過了實際需要。特別是整數(shù)與小數(shù)部分相差較大時，計算量十分繁重，算至多位以后，小數(shù)部分越來越小，要使演算繼續(xù)進行下去，可代之以簡單分?jǐn)?shù)的辦法，這無疑簡化了對數(shù)據(jù)的調(diào)整手續(xù)，這也是作為一種方法在當(dāng)時長期使用的價值所在[12]。取半徑一千萬代替單位圓具有極好的“放大”作用，這種高倍“放大”，改進了數(shù)值精度。當(dāng)無限分割后，不盡之?dāng)?shù)越來越小，直至奇零消去，如，求七率時截去了被除數(shù)和除數(shù)的末尾七位（00012 為除之不盡的數(shù)）、十三位（0000012 為除之不盡的數(shù)），等等，后面各率數(shù)的被除數(shù)和除數(shù)的末尾都做了相應(yīng)地處理，并將各率系數(shù)的分母寫成連續(xù)兩數(shù)乘積的形式，如：

2×12×30×56×90×132×···=

1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×···

現(xiàn)今無窮級數(shù)各項系數(shù)的分母都寫成階乘的形式，如：2!，4！，6！，8！，…。將原著中被除數(shù)（記為A）和除數(shù)（記為B）規(guī)范為下面的形式：

原著中相當(dāng)于進行了如下計算：

將每個數(shù)據(jù)都用有限位的數(shù)字表示，用有限位小數(shù)代替無窮位小數(shù)。他認為，在一個數(shù)值中小數(shù)點后面的位數(shù)越多，這個數(shù)值并不一定會越精確，或者在具體運算中保留的位數(shù)越多，精度并不一定會越高，寫得更精確是沒有意義的。這里所用的截斷法與前面的截斷法是不同的，前面所使用的截斷法針對的是項數(shù)而不是數(shù)字，在（3）式的處理中，他認為可同時適當(dāng)截去若干位數(shù)字，只保留入算的部分，不僅簡化計算，且不影響所需精度。

4 結(jié)論

明安圖在處理奇零尾數(shù)時，對奇零尾數(shù)的取舍不是隨意的，而是有一定原則的，采用截斷、進一、去尾等方法簡化了計算程序，并對造成的誤差有一定的認識。他大量采用截斷法，截斷的原則是把所要求達到的精度那一位（項）以后的數(shù)字（項）棄去或截斷，按截斷原則確定需要截斷到哪一位（項），再按截斷法加以處理，這樣便得到一個恰到好處的近似值。對“過半（或過5）”的情形采用進一法，弧弦互化的時候則采用去尾法以達到整化的目的。用級數(shù)公式本就是做了近似逼近計算，將奇零尾數(shù)又做了近似取值或取舍，將會產(chǎn)生更大的誤差。可以看到，他在《捷法》中大量的計算更多的是為說明無窮級數(shù)展開式可以快捷方便地解決一類繁瑣復(fù)雜的問題，是以解決問題為最終目標(biāo)，突出方法的創(chuàng)新，因而他并未對結(jié)果的精確度有過多的要求。他雖未嚴(yán)格控制所采用的奇零尾數(shù)處理方法所帶來的相應(yīng)誤差，但他所采用的處理方法是對新問題進行的新思考所用的新方法，這種處理奇零尾數(shù)的方法，在現(xiàn)今的分析學(xué)中亦可資借鑒。