探源覓流變中進(jìn) 進(jìn)中求通提素養(yǎng)

安徽省池州市第一中學(xué)(247000) 吳成強(qiáng)

所謂探源,就是探尋問題的源頭,即一類問題的“源題”或“根題”.這個(gè)“源題”,它集概念、思想、方法于一身,秀外慧中,堪稱經(jīng)典.它蘊(yùn)含著巨大的“寶藏”,極具開發(fā)價(jià)值,能夠延伸演變成許多新題、趣題.覓流,就是探尋“源題”所有可能的變式或變化.變中求進(jìn),就是推陳出新,創(chuàng)新創(chuàng)造,在深度和廣度上進(jìn)一步發(fā)掘,發(fā)現(xiàn)和提出更能發(fā)人深省、引人入勝、啟迪智慧的高質(zhì)量、高水平問題,促進(jìn)思維深度發(fā)散,增強(qiáng)思維創(chuàng)新活力和張力.進(jìn)中求通,就是通過變式發(fā)散,使學(xué)生對(duì)問題的理解能夠真正做到通曉、通透、通暢,舉一反三、觸類旁通、融會(huì)貫通,最終能夠提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要注重引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘問題的“根”和“本”,這是一條培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的重要渠道,是培養(yǎng)學(xué)生“追根究底”良好探究習(xí)慣、提升思維品質(zhì)的重要抓手,是有效解決問題的立足點(diǎn)、著力點(diǎn)、著眼點(diǎn)和生長點(diǎn).由這個(gè)“根”和“本”發(fā)展出去,就會(huì)延伸和生長出許多新穎有趣的問題,就會(huì)枝繁葉茂,百花齊放,五彩繽紛.我們對(duì)一些問題的求解,就是要注意從這個(gè)問題的“根”和“本”上思考,溯本求源,這樣就能從“根本”上找到解決問題的通性通法,就會(huì)根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)快速地解決問題,也會(huì)加深我們對(duì)數(shù)學(xué)精髓和本質(zhì)的理解.數(shù)學(xué)問題的“根”和“本”是數(shù)學(xué)問題的內(nèi)核,是數(shù)學(xué)問題的“源泉”,對(duì)數(shù)學(xué)問題的求解起著居高臨下、統(tǒng)攬全局的作用,達(dá)到做一題、習(xí)一法、會(huì)一類的效果.數(shù)學(xué)問題的“根”和“本”有些是顯性的,有些是隱性的,對(duì)數(shù)學(xué)問題的“根”和“本”進(jìn)行深度探究,就會(huì)使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)底蘊(yùn)深厚、根基牢靠、趣味橫生,對(duì)激發(fā)學(xué)生探究欲望,引導(dǎo)學(xué)生掌握探究方法,培養(yǎng)學(xué)生探究習(xí)慣,提高學(xué)生探究能力,提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)是積極和有效的.

一、“源”于“經(jīng)典問題”,注重一題多變

數(shù)學(xué)中有許多經(jīng)典的例、習(xí)題,它們雖自身小巧玲瓏,但卻內(nèi)涵豐富,思想活躍,方法獨(dú)特,給人思維有很大的啟迪,讓人感到春風(fēng)拂面,心曠神怡,刻骨銘心.這些經(jīng)典的例習(xí)題,巧妙地將一些重要的知識(shí)點(diǎn)融合在一起,它們彼此之間的銜接、過渡、轉(zhuǎn)換是那么的自然,讓人感到真是巧奪天工,璞玉天成.這些經(jīng)典題既能加強(qiáng)對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)概念的深刻理解和靈活運(yùn)用,也能鞏固和提高思想方法的靈活運(yùn)用,同時(shí)對(duì)思維能力的培養(yǎng)也是落地生根、扎扎實(shí)實(shí)的.這類題目還深受高考命題者的青睞,通過這類題可以編出許多新穎有趣的“高考題”,使這些高考題源于課本、源于經(jīng)典,但又高于課本、活于經(jīng)典.這些“新題”更有趣味性、知識(shí)性、方法性、技巧性,使人的思維更加深刻、活躍,視野更加開闊.

例1 (2013年高考遼寧卷文科)已知函數(shù)f(x)=則=( )

A.-1 B.0 C.1 D.2

解易知f(x)+f(-x)=0,f(lg2)+=f(lg2)+f(-lg2)=0,故選B.

評(píng)注函數(shù)是“著名的奇函數(shù)”,在資料上隨處可見,但大多數(shù)學(xué)生也只是“做過看過”一帶而過,缺乏深入地思考和研究,對(duì)其自身隱含的“寶藏”沒有及時(shí)開發(fā),錯(cuò)失對(duì)思維深度、高度和靈性的有效訓(xùn)練.這個(gè)函數(shù)隱含的性質(zhì)為奇函數(shù)且為增函數(shù).這個(gè)問題可稱得上是一個(gè)很好的“母題”或“根題”或“源題”,透過這道題的表面,我們要更深層次地研究其本質(zhì)和性質(zhì),這樣這道題就被“激活”了,其自身潛在的價(jià)值就被很好地開發(fā)了,其“育智和激趣”功能也被開發(fā)了,真正地發(fā)揮了這道題應(yīng)有的價(jià)值.函數(shù)就是這個(gè)“母題”的“變式題”,如果我們能對(duì)這個(gè)“母題”的性質(zhì)理解的比較透徹,那么對(duì)這個(gè)“變式題”的性質(zhì)也就一眼看出,這道題的求解也就自然就比較容易.另外,lg2與互為相反數(shù),這一點(diǎn)要能看到.我們要對(duì)一些典型的基本題要由內(nèi)而外、多角度、多層次、全方位的加以研究,并在這個(gè)基礎(chǔ)上進(jìn)行改編、發(fā)掘、延伸、發(fā)散,不斷增大思維的深度,增強(qiáng)思維的靈性.

變式1已知函數(shù)的圖像關(guān)于某點(diǎn)中心對(duì)稱,則實(shí)數(shù)a=_____.

解f(x)=2-log2(=2-log2(+x-1+a-2),將函數(shù)f(x)的圖像向下平移2個(gè)單位,再向左平移1個(gè)單位,得到函數(shù)聯(lián)系著名的奇函數(shù)就知道a=2.

變式2(2015年高考全國 Ⅰ卷)若函數(shù)f(x)=為偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a=_____.

解依題意,為奇函數(shù),聯(lián)系著名的奇函數(shù)就知道a=1.

變式3已知函數(shù)f(x)=,計(jì)算

解易知(1,0)是f(x)的對(duì)稱中心,所以f(x)+f(2-x)=0,所以

變式4已知函數(shù)計(jì)算

解應(yīng)該敏銳地觀察到首末等距離配對(duì)求和,考慮一般情況：f(x)+f(1-x)=1,易知是f(x)的對(duì)稱中心,易得S=5.

評(píng)注“奇函數(shù)代表了一切中心對(duì)稱圖形”,當(dāng)我們遇到函數(shù)圖像是中心對(duì)稱圖形的時(shí)候,就可以“反其道而行之”,將其適當(dāng)平移后得到一個(gè)奇函數(shù),然后利用你對(duì)奇函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)來處理.

例2已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足,若

求x的取值范圍.

解析由題意得

即

與

又g(x)為偶函數(shù),故g(|x+5|)＜g(|x-1|),易知g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故|x+5|＞|x-1|,(x+5)2＞(x-1)2,x＞-2,又所以x＞-2 且x?=1且x?=0.

評(píng)注定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=h(x),其中h(x)是已知函數(shù),求函數(shù)f(x)和g(x),這道題是常見題,可以稱得上是一個(gè)“母題”或“根題”或“源題”.這道例題就是這個(gè)“母題”的“變式題”,并做了進(jìn)一步的綜合和引申.在求出函數(shù)g(x)后,進(jìn)而研究函數(shù)g(x)的隱含性質(zhì)：①g(x)+=1,②在(0,+∞)上單調(diào)遞減,③偶函數(shù)g(x)=g(|x|),綜合運(yùn)用這些性質(zhì)才能順利求解,這道題就是對(duì)“母題”進(jìn)行較深的變式.

二、“源”于“數(shù)學(xué)抽象”,揭示問題本質(zhì)

有些問題的求解,我們需要撇開問題的表象,抽象出問題的本質(zhì),抓住隱含的重要性質(zhì),根據(jù)這些性質(zhì)解決這一類問題,這一類問題在形式上可以有很多變化,這就要求對(duì)這一類問題隱含的性質(zhì)透徹理解,并能靈活運(yùn)用.

例3已知0＜a＜1,設(shè)函數(shù)

的最大值為M,最小值為m,求M+m的值.

解析

所以M+m=4037.

評(píng)注通過分離常數(shù),將函數(shù)f(x)配成“著名的奇函數(shù)”再利用奇函數(shù)性質(zhì)：奇函數(shù)最大值與最小值之和為0,就能順利求解.這個(gè)母題可以延伸改編出很多有價(jià)值的“新題”.

例4已知函數(shù)f(x)=求不等式的解集.

解易知f(x)定義域?yàn)榧?1＜x＜1,函數(shù)f(x)在定義域(-1,1)上是增函數(shù)且為奇函數(shù),原不等式可化為f(x-1)＞f(x2-1),所以

解得0＜x＜1.

評(píng)注本題就是抽象出所給函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性這兩個(gè)重要性質(zhì),撇開具體函數(shù)解析式的復(fù)雜運(yùn)算,利用性質(zhì)巧妙求解,這是解決這一類問題的通性通法.

三、“源”于“核心概念”,理解數(shù)學(xué)精髓

數(shù)學(xué)的基本框架就是由概念、定義、定理、法則、公式及數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法組成的,數(shù)學(xué)中的概念、定義、定理、法則、公式是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)、最重要的“細(xì)胞”,是支撐數(shù)學(xué)學(xué)科的“鋼梁”,它們之間有著一定的邏輯關(guān)系和發(fā)展歷程,是數(shù)學(xué)家們艱苦探索和集體智慧的結(jié)晶.如果你見到一個(gè)數(shù)學(xué)概念后滔滔不絕如奔涌不息之黃河水,那這個(gè)數(shù)學(xué)概念肯定掌握的比較好.每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)都要盡可能追求最高境界,突出數(shù)學(xué)的本質(zhì),充分挖掘概念的內(nèi)涵和外延,掌握相關(guān)概念之間的內(nèi)在聯(lián)系.例如,有關(guān)平面向量的問題,其中“單位向量”和“方向向量”就是“核心概念”,在解決有關(guān)向量問題的過程中,如何靈活運(yùn)用這兩個(gè)“核心概念”,體現(xiàn)了解題者對(duì)向量問題的“精髓”是否有很深的理解,對(duì)概念的內(nèi)在聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化是否研究透徹、運(yùn)用嫻熟.

例5已知A(3,4),B(5,12),O(0,0),求∠AOB平分線所在直線的方程.

解取OA邊上的單位向量e1=,OB邊上的單位向量,則

∠AOB平分線所在直線的方向向量為所以∠AOB平分線所在直線的斜率為所以∠AOB平分線所在直線的方程為.

評(píng)注本題的解法比較多,但如何簡單、快速地解決問題,這是我們需要認(rèn)真思考和追求的.利用單位向量這個(gè)核心概念就可巧妙求解.平面向量基本定理、單位向量、方向向量可以說是平面向量的“三劍客”,“三劍客”是我們求解平面向量問題的利器和法寶.

例6已知O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),△OBC,△OAC,△OAB, 的面積分別為S△OBC,S△OAC,S△OAB,求證：.

圖1

證明設(shè)P,Q,M為單位圓O上的三點(diǎn),均為單位向量,∠QOM=α,∠POM=β,∠POQ=γ,如圖1建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)P(1,0),Q(cosγ,sinγ),M(cosβ,-sinβ),(cosγ,sinγ),=(cosβ,-sinβ),

即有

設(shè)

易知

所以

命題得證.

評(píng)注本題的結(jié)論就是著名的“奔馳定理”,證明就是通過單位向量巧妙求證,再次說明了在解決向量問題時(shí),可以考慮轉(zhuǎn)化為單位向量這個(gè)核心概念求解.

四、“源”于“思想方法”,提升思維高度

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的“靈魂”,它蘊(yùn)含在知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程中,是解決數(shù)學(xué)問題的“根本大法”.數(shù)學(xué)思想方法是“綱”,綱舉目張.掌握隱含在問題背后的思想方法,就是掌握了解決問題的“萬能鑰匙”,不管問題形式如何靈活多變,也不管問題求解是否時(shí)過多久,只要是掌握了思想方法,那就一定能高屋建瓴,高瞻遠(yuǎn)矚,以不變應(yīng)萬變,就能很快找到解決問題的思路,這就是思想方法的魅力所在.所以在解決數(shù)學(xué)問題過程中,一定要發(fā)掘其背后隱含的數(shù)學(xué)思想方法,不斷創(chuàng)新思維方式,轉(zhuǎn)換思維視角,從“根本”上提高解決問題的能力.

例7在數(shù)字 1,2,3,···,n(n≥2)的任意一個(gè)排列A:a1,a2,a3,···,an中,如果對(duì)于i,j∈N?,i＜j,有ai＞aj,那么就稱(ai,aj)為一個(gè)逆序?qū)?記排列A中逆序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)為S(A).對(duì)于數(shù)字1,2,3,···,n(n≥2)的一切排列A,求所有S(A)的算術(shù)平均值.

解考察排列D:d1,d2,d3,···,dn,與排列D1:dn,dn-1,dn-2,···,d2,d1,因?yàn)閿?shù)對(duì) (di,dj) 與 (dj,di)中必有一個(gè)為逆序?qū)?且排列D中的數(shù)對(duì)(di,dj)共有個(gè),所以S(D)+S(D1)=所以排列D與D1的逆序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)的算術(shù)平均值為而對(duì)于數(shù)字 1,2,3,···,n(n≥2)的任意一個(gè)排列A:a1,a2,a3,···,an,都可以構(gòu)造排列A1:an,an-1,an-2,···,a1,且這兩個(gè)排列逆序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)的算術(shù)平均值為所以所有S(A)的算術(shù)平均值為.

評(píng)注本題是一個(gè)比較抽象的問題,不少學(xué)生看到這個(gè)題目有點(diǎn)“暈頭轉(zhuǎn)向”,找不著思路,不知如何下手,他們?cè)噲D把每一個(gè)排列的逆序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)算出來,再計(jì)算算術(shù)平均值,這是很困難的一件事,從而導(dǎo)致解不出這道題.本題就是考察學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng),要能夠靈活轉(zhuǎn)換思維視角,通過引入一個(gè)新的排列D:d1,d2,d3,···,dn與排列D1:dn,dn-1,dn-2,···,d2,d1,考察排列D與D1的逆序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)的算術(shù)平均值,這一思維轉(zhuǎn)換可把問題“解活”了,給人一種超凡脫俗,跳出三界外,不在五行中的感覺,思維頓悟,備受啟發(fā),是創(chuàng)新思維最佳生長點(diǎn),也是破除定勢(shì)思維和聚斂思維,培養(yǎng)發(fā)散思維和求異思維的重要“源頭”.

五、“源”于重要的“模型、結(jié)論、定理”,提高思維起點(diǎn)

數(shù)學(xué)中有許多重要的“模型或結(jié)論”,它為我們巧妙解決問題搭建了很好的“平臺(tái)”或“腳手架”,求解問題時(shí)如果能恰當(dāng)利用這些重要“模型或結(jié)論”,就會(huì)使問題求解變得“程序化”、“模式化”和簡單化,從而提高了思維的起點(diǎn).例如異面直線的計(jì)數(shù)問題,常常轉(zhuǎn)化為幾何體含有多少個(gè)三棱錐,再利用每個(gè)三棱錐有三對(duì)異面直線,就可以輕松求出異面直線有多少對(duì).

例8正方體的8個(gè)頂點(diǎn),任意2個(gè)頂點(diǎn)連成一條直線,共可連成28條直線,這28條直線共有多少對(duì)異面直線?

解以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成=58個(gè)三棱錐,又每個(gè)三棱錐有三對(duì)異面直線,所以異面直線共有58×3=174對(duì)異面直線.

評(píng)注本題如果硬數(shù),那就比較麻煩,而且容易出錯(cuò),利用三棱錐“模型”,既簡約思維,又運(yùn)算簡單,所以這個(gè)“模型”是我們巧妙解決這類問題的利器.

例9已知不等式xex-a(x+1)≥lnx對(duì)x＞0恒成立,求實(shí)數(shù)a的最大值.

解析由題設(shè)易得

由重要結(jié)論ex≥x+1,得

從而

(等號(hào)成立的條件是lnx+x=0),所以a≤1,即實(shí)數(shù)a的最大值為1.

變式已知不等式ax+lnx+1≤xe2x對(duì)x＞0恒成立,求實(shí)數(shù)a的最大值.

解析

又

所以a≤2,即實(shí)數(shù)a的最大值為2.

評(píng)注本題求解就是利用重要結(jié)論ex≥x+1,使問題求解變得十分巧妙,令人茅塞頓開,頗感震撼,使我們?cè)靖械奖容^復(fù)雜的問題就這樣輕輕松松地解決了,真是太巧妙了!再一次顯示了重要結(jié)論對(duì)我們解決有關(guān)問題的重要作用,大大地提高了解題的起點(diǎn),也啟迪了我們的智慧,激勵(lì)我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要勇于探究,不斷創(chuàng)新,追求最簡、最美的解法.

例10已知N為拋物線x2=4y上一點(diǎn),A(0,1),M為圓x2+(y-5)2=4上一點(diǎn),求|MA|+2|MN|的最小值.

圖2

解|MA|+2|MN|=設(shè)B(0,b),M(x,y),令,則|MA|=2|MB|,即

即

當(dāng)y0=2,即有最小值的最小值為

評(píng)注從教學(xué)實(shí)踐看,多數(shù)學(xué)生拿到這道題,首先想到用幾何的辦法來做,但苦于無法轉(zhuǎn)化到“三點(diǎn)共線”,因而用幾何辦法不得求解,其次嘗試?yán)煤瘮?shù)的辦法來做,但運(yùn)算量太大,而且很難算下去,也是不得求解,很多學(xué)生對(duì)這道題只能是“望題興嘆!”其實(shí),這道題肯定是用幾何的辦法來做,但需逆用“阿波羅尼斯圓”這個(gè)重要定理.阿波羅尼斯圓涉及到兩個(gè)關(guān)鍵性的點(diǎn),題目已告訴其中一個(gè)關(guān)鍵性的點(diǎn)A(0,1),通過逆用“阿波羅尼斯圓”找到另一個(gè)關(guān)鍵性的點(diǎn)B(0,4),然后將|MA|轉(zhuǎn)化到|MB|,就可以利用三點(diǎn)共線最短長度原理輕松求解.

六、“源”于“數(shù)學(xué)變換”,拓展思維視野

數(shù)學(xué)變換有很多,例如“同構(gòu)變換”,“降級(jí)變換”,“數(shù)形變換”,“齊次變換”,“平移變換”,“伸縮變換”等等,熟練掌握這些變換,并能運(yùn)用自如,對(duì)求解有關(guān)問題可以說是如虎添翼,妙不可言,美不勝收.

例11已知四邊形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上,且對(duì)角線EG,FH過原點(diǎn)O,設(shè)EG,FH的斜率分別為k1,k2,若求證：四邊形EFGH的面積為定值,并求出此定值.

證明設(shè)則x′2+y′2=1,即原來的橢圓壓縮為圓,由k1·k2=得所以E′G′⊥F′H′,即四邊形EFGH壓縮為正方形E′F′G′H′,邊長為正方形E′F′G′H′的面積為 2,所以四邊形EFGH的面積為

評(píng)注本題利用壓縮變換,將橢圓壓縮為圓,再根據(jù)圓的方程求解,運(yùn)算量降低很多,這種方法具有創(chuàng)造性,拓展了思維視野,對(duì)思維有很大的啟發(fā)性.

七、“源”于“構(gòu)造”,培養(yǎng)思維創(chuàng)造性

“構(gòu)造法”本質(zhì)上就是“無中生有”,它也是求解數(shù)學(xué)問題最重要、最常用的方法,它的最大特點(diǎn)就是靈活多變,富有創(chuàng)造性,需要解題者有較深的數(shù)學(xué)功底,要有敏銳的觀察力,要把握問題的特點(diǎn),巧妙地構(gòu)造出函數(shù)或圖形,然后巧妙求解.

例 12已知f′(x)=3f(x)+3,f(0)=1,求不等式4f(x)＞f′(x)的解集.

解析令g(x)=則g′(x)==0,所以g(x)=c(c為常數(shù)),由f(0)=1得c=2,即g(x)=2,所以f(x)=2e3x-1,原不等式化為f(x)＞3,即2e3x-1＞3,所以

評(píng)注本題就是通過構(gòu)造函數(shù)g(x)=巧妙求解,這一構(gòu)造需要有一定的數(shù)學(xué)功底以及觀察、分析能力,所以在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中要注意多總結(jié)、多積累,不斷提高創(chuàng)新能力.類似例12的構(gòu)造函數(shù)的方法還有很多,下面再列舉幾條.

(1)已知f(x)+n+f′(x)＞0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=[f(x)+n]·ex.

(2)已知f(x)+n-f′(x)＞0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=.

(3) 已知f′(x)+nf(x)＞0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=enx·f(x).

(4)已知f′(x)-nf(x)＞0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=.

(5)已知f′(x)-nf(x)-n＞0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=.

(6)已知f′(x)+nf(x)+n＞0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=[f(x)+1]·enx.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,特別是在高三復(fù)習(xí)中,若能做好探源覓流,變中求進(jìn),進(jìn)中求通,就能使學(xué)生跳出“題海”觸類旁通;就能使復(fù)習(xí)做到有力度、有溫度、有深度、有廣度;就能使復(fù)習(xí)有主線、有方向、有脈絡(luò)、有策略,按部就班,有章有法,有條不紊,由淺入深,螺旋上升;就能使學(xué)生的思維方式包括全腦思維(左腦的線性思維和右腦的非線性思維)、發(fā)散思維、逆向思維、創(chuàng)造性思維得到很好的訓(xùn)練;就能使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)(創(chuàng)造)數(shù)學(xué)等各種活動(dòng)中,有意識(shí)地、自覺地加以反思,促進(jìn)其對(duì)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)實(shí)現(xiàn)自我察覺、自我評(píng)價(jià)、自我探究、自我監(jiān)控、自我調(diào)節(jié);就能增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力和合作探究的能力,也必然使高三復(fù)習(xí)基礎(chǔ)扎實(shí),思維活躍,能力提升,興趣盎然,信心倍增,成效明顯,學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)都得到很大的提升.