利用主元變更解題

單和平

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓。主元變更思想是近幾年數(shù)學(xué)解題流行的較重要數(shù)學(xué)思想。所謂主元變更是對于含字母較多的式子轉(zhuǎn)換思維角度，選擇另外的字母為主元從而使問題豁然開朗，文章通過近年的教學(xué)實踐，系統(tǒng)總結(jié)了處理哪些問題可以通過主元變更，如何進(jìn)行主元變更化難為易。

對于一個含有多個字母的式子、函數(shù)或方程，由于思維定勢從表面看我們往往會先入為主，把它當(dāng)成某一個或兩個字母的常規(guī)表達(dá)式，這樣解決問題時往往一時無法下手，利用已有的知識捉襟見肘，但是如果我們轉(zhuǎn)換思維角度，變更主元，即重新選擇其中的一個或兩個字母作為主元，問題的思路就會明晰，問題的本質(zhì)就會豁然開朗，問題的解決就非常順利，這種思想叫主元變更的思想。

近幾年，該思想的應(yīng)用在數(shù)學(xué)競賽和各類考試中屢見不鮮，而這種思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，往往重視不夠，學(xué)生遇到這類問題常常束手無策或用很繁瑣的方法解決，本文結(jié)合個人的教學(xué)實踐，談?wù)勅绾卫弥髟兏鉀Q問題。

1 處理方程問題

上述兩例一個設(shè)常數(shù)為主元，一個換成另一個字母為主元，目的都是將高次轉(zhuǎn)化為低次從而易于分解，順利求解。

2 解決有解或整解問題

分析：解決整數(shù)解問題一般采用判別式法、韋達(dá)定理法、求根法中一種或幾種方法綜合使用，本題這些方法都失效，轉(zhuǎn)換思維角度，若把

上述兩例直接求解分類較繁，若變更主元則很順利求出參量的范圍，題目迎刃而解。

3 求參數(shù)范圍

上述兩例都是函數(shù)問題，處理函數(shù)問題一般利用其性質(zhì)解題，但有時若正面處理就會對參數(shù)進(jìn)行繁瑣的討論，如果我們換一個思維角度，把函數(shù)視為另一個變量的函數(shù)，則豁然開朗，問題很快得到解決。

4 證明不等式或利用不等式處理問題

分析：該題最傳統(tǒng)的證法是構(gòu)造邊長為1的等邊三角形，用面積法很快得證。我們還可以整理成以為主元的一次函數(shù)，即構(gòu)造

例8.各項均為實數(shù)的等差數(shù)列，其公差為2，其首項的平方與其余各項的和不超過33，這樣的數(shù)列最多有多少項？（2015年南京一中等五校聯(lián)考題）

分析：由題意得

上述兩例都與不等式有關(guān)，處理多元不等式問題常常選擇一個變量為主元，再利用性質(zhì)解題往往能事半功倍。

5 求多元函數(shù)最值

分析：變量較多且與整數(shù)有關(guān)，一般先排序，再用不等式放縮，使得變量減少，再選擇主元求解。

上述三例如果不采用主元變更的思想則很難求解，若采用了該思想則問題變得較為簡潔，而且思路一下子打開了。江蘇的高考尤其重視思想方法的考查，特別在填空壓軸題上必有一題是數(shù)學(xué)思想方法的考查，即思想方法想到了，問題馬上就能解決，否則很難短時間找到其他解法。

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)的教學(xué)要掌握四基，其中數(shù)學(xué)思想是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，因為“題海無邊，總結(jié)是岸”，題目隨著高考的研究層出不窮，只有不斷總結(jié)有限的數(shù)學(xué)思想方法才能以不變應(yīng)萬變，才能在高考中立于不敗之地。

項目名稱：2016-2019年度校級重點課改課題“本科生《數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練》課程教學(xué)內(nèi)容改革與研究”，課題編號：2016JGA05。

（作者單位：泰州學(xué)院數(shù)理學(xué)院）