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    最短路徑問題中的數(shù)學思想

    2019-12-31 09:08:21王秋月李惠莉
    關鍵詞:對稱點垂線軸對稱

    王秋月 李惠莉

    我們知道,找最短路徑是軸對稱知識的一個非常重要的應用.在解決圖形周長最值問題時,軸對稱的性質(zhì)也可以起到重要的作用,但是,有些學生做題時對題意理解不清,不能從實際問題中抽象出數(shù)學模型,進而造成作圖困難.下面,我們就來探討最短路徑問題中利用軸對稱進行轉(zhuǎn)化的思路,并從中提煉出解題方法.

    一、兩定點一條直線

    1.兩點在一條直線的兩側(cè).

    例1 如圖1,A.B在直線Z的兩側(cè).在Z上求作一點P,使得PA +PB最小,

    解析:根據(jù)“兩點之間線段最短”,連接AB,線段AB與直線Z的交點P即為所要求作的點,如圖2.

    2.兩點在一條直線的同側(cè).

    倒2 如圖3,A,B在直線Z的同一側(cè),在l上求作一點P.使得PA +PB最小.

    解析:如果利用轉(zhuǎn)化思想,把同側(cè)轉(zhuǎn)化為兩側(cè),就能按照兩側(cè)找點的方法解決這個問題,如圖4,先作出點A關于直線lZ的對稱點A,對于Z上的點P.PA =PA,于是把PA+交BC的延長線于點F求證:∠B=∠ CA F.

    證明:∵ EF垂直平分AD.

    ∴ AF=DF.

    ∴∠ADF=∠DAF

    根據(jù)疊合三角形的性質(zhì),有

    ∠ADF+ ∠DA F=∠CA F+ ∠ACF.

    即2∠ADF=∠ CAF+∠LA CF.

    ∵AD平分∠BAG.

    ∴∠BA C=2∠1,

    ∵ ∠ADF= ∠B+∠1.

    ∴2(∠B+∠1)=∠CAF+∠ACF.

    又∵ ∠ACF= ∠B+∠BAC= ∠B+2∠1.

    ∴ 代人①有∠B=∠ CAF.PB最小的問題轉(zhuǎn)化為PA+PB最小的問題.再連接AB交直線Z于點P,根據(jù)“兩點之間線段最短”可知,點P即為所求.

    二、一定點兩條直線

    例3

    如圖5,在四邊形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°.在BC,CD上分別找一點M,N,使△AMN的周長最小.

    解析:要使△AMN的周長最小,就是使A M+MN+AN最小,可以借助軸對稱對AM和AN進行轉(zhuǎn)化.如圖6,作A點關于BC和CD的對稱點A,A”,連接A'A”,交BC于點M,交CD于點Ⅳ,此時A'M=AM,A”N=AN.根據(jù)“兩點之間線段最短”,可以知道線段A'A''的長即為△AMN的周長的最小值.

    三 建橋選址問題

    例4 如圖7,A,B兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上建一座橋MN,使從A到B的路徑A -M-N-B最短,橋的位置怎么確定?假定河的兩岸是平行直線,并且橋要與河岸垂直,

    解析:因為河的寬度一定,也就是MN的長度是定值,所以只要AM+NB最小就行了.

    可以進行問題的轉(zhuǎn)化,把它轉(zhuǎn)化為兩點一線異側(cè)問題,但需要把MN這條定長的線段移走.可以過A作河岸的垂線AH,在垂線上取AI等于河寬MN,問題轉(zhuǎn)化為求I,B兩點間的最短路徑,連接BI即可得出N點,作MN垂直于河岸交a邊于M點.當MN在如圖8所示的位置時.AM+MN+NB最小、路徑A-M-N-B最短,

    四 差的最值

    例5 如圖9,已知直線Z和位于直線Z兩側(cè)的點A,曰,其中點A到直線Z的距離大于點B到直線l的距離,求作直線Z上一點C,使AC-BC最大.

    解析:如圖10,作點B關于直線Z的對稱點B,連接AB并延長,交直線l于點C,則點C即為所求.而對l上其他點C'.AC一BC=AC-B'C,根據(jù)“三角形任意兩邊之差小于第三邊”知AC-BC'

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