頻率分布直方圖經(jīng)典題型剖析

■胡 磊

頻率分布直方圖屬于一種重要的統(tǒng)計圖表,在統(tǒng)計中具有廣泛的應(yīng)用。頻率分布直方圖是高考考查的重要知識點,下面對這類題型進行剖析。

一、明確頻率分布直方圖中的相關(guān)結(jié)論

1.求解頻率分布直方圖問題的關(guān)鍵是掌握頻率分布直方圖中的相等關(guān)系,其主要關(guān)系包括：(1)各小組的頻數(shù)之和等于樣本容量;(2)頻率=;(3)各小組的頻率之和等于1;(4)各小組的組距相等,即每個小長方形的寬都相等;(5)各小長方形的高=即小長方形的高與頻率成正比,與頻數(shù)也成正比;(6)各小長方形的面積等于各組的頻率,小長方形面積之和等于頻率之和,即為1。

2.利用頻率分布直方圖估計幾種數(shù)據(jù)：在頻率分布直方圖中,眾數(shù)是最高小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)所對應(yīng)的數(shù)據(jù),它表示樣本數(shù)據(jù)的中心值;在頻率分布直方圖中,中位數(shù)是左右兩邊的小長方形的面積相等的底邊的值;平均數(shù)等于各個小長方形的面積乘以對應(yīng)的小長方形的底邊中點的橫坐標(biāo)之和。

二、頻率分布直方圖經(jīng)典題型剖析

1.頻率分布直方圖的相關(guān)計算。

例1統(tǒng)計某校學(xué)生的某次數(shù)學(xué)同步練習(xí)成績(滿分150分),根據(jù)成績分成六組：[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],繪制的頻率分布直方圖如圖1所示,若已知不低于140分的人數(shù)為110,則該校被統(tǒng)計的學(xué)生人數(shù)是( )。

圖1

A.800 B.900

C.1200 D.1000

分析：由頻率分布直方圖可求出n=0.011,從而可得不低于140分的頻率為0.011×10=0.11,由此求出該校被統(tǒng)計的學(xué)生人數(shù)。

解：由頻率分布直方圖可得10×(0.031+0.02+0.016×2+n+0.006)=1,解得n=0.011。因為不低于140分的頻率為0.011×10=0.11,所以該校被統(tǒng)計的學(xué)生人數(shù)為應(yīng)選D。

本題主要考查頻率分布直方圖的有關(guān)計算,考查同學(xué)們的計算求解能力。

例2港珠澳大橋于2018年10月正式通車,它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程,橋隧全長55km,橋面為雙向六車道高速公路,大橋通行限速100km/h。現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進行抽樣調(diào)查,畫出了頻率分布直方圖(如圖2)。根據(jù)頻率分別直方圖,估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)上的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為( )。

圖2

A.300,0.25 B.300,0.35

C.60,0.25 D.60,0.35

分析：由頻率分布直方圖可求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)上的頻率,從而求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)上的車輛數(shù),再求出行駛速度超過90km/h的頻率。

解：由頻率分布直方圖可得,在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)上的頻率為0.06×5=0.3,所以在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)上的車輛數(shù)為0.3×1000=300,行駛速度超過90km/h的頻率為(0.05+0.02)×5=0.35。應(yīng)選B。

樣本的頻率分布直方圖的畫法步驟：計算數(shù)據(jù)極差xmax-xmin;決定組距和組數(shù);決定分點;列頻率分布表;畫頻率分布直方圖。

2.利用頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)。

例3某企業(yè)對其生產(chǎn)的一批產(chǎn)品進行檢測,得出每件產(chǎn)品中某種物質(zhì)含量(單位：g)的頻率分布直方圖,如圖3所示,則該物質(zhì)含量的眾數(shù)和平均數(shù)分別為( )。

圖3

A.83和84 B.83和85

C.85和84 D.85和85

分析：由頻率分布直方圖中最高小長方形可知眾數(shù)落在第三小組,從而求出眾數(shù)的值,再由每個小組的頻率以及中間值求出平均數(shù)。

解：根據(jù)頻率分布直方圖可知眾數(shù)落在第三小組,所以眾數(shù)為

由含量在[60,70)內(nèi)的頻率為0.1,含量在[70,80)內(nèi)的頻率為0.2,含量在[80,90)內(nèi)的頻率為0.4,可得含量在[90,100)內(nèi)的頻率為0.3,所以該物質(zhì)含量的的平均數(shù)為65×0.1+75×0.2+85×0.4+95×0.3=84。應(yīng)選C。

本題主要考查頻率分布直方圖中眾數(shù)和平均數(shù)的求法,考查運算求解能力。

例4在某次高中學(xué)科競賽中,4000名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖4所示,60分以下視為不及格,若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表,則下列說法中錯誤的是( )。

圖4

A.成績在[70,80]內(nèi)的考生人數(shù)最多

B.不及格的考生人數(shù)為1000

C.考生競賽成績的平均分約為70.5

D.考生競賽成績的中位數(shù)為75

分析：利用頻率分布直方圖即可判斷四個選項的正確與否。

解：根據(jù)頻率分布直方圖可得,成績在[70,80]內(nèi)的頻率最大,即考生人數(shù)最多,A正確。不及格的考生人數(shù)為10×(0.01+0.015)×4000=1000,B正確。根據(jù)頻率分布直方圖估計考試成績的平均分為45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5,C正確。由前四組的頻率大于0.5,前三組的頻率等于0.45,可知中位數(shù)在第四組,可得考生競賽成績的中位數(shù)為錯誤。應(yīng)選D。

在頻率分布直方圖中,眾數(shù)是最高小長方形底邊的中點所對應(yīng)的數(shù)據(jù),它表示樣本數(shù)據(jù)的中心值;中位數(shù)左邊和右邊的直方圖面積相等,由此可以估計中位數(shù)的值,但有偏差;平均數(shù)等于每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和,平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,它是頻率分布直方圖的“平衡點”。