不落俗套 實(shí)時(shí)創(chuàng)新
——算法創(chuàng)新題賞析

■陳 琳

高考中算法初步知識(shí)以考查算法思想為主線,與函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)進(jìn)行交匯考查,是高考命題的新“靚”點(diǎn)。這類(lèi)問(wèn)題要求同學(xué)們對(duì)新穎的信息、情景的設(shè)問(wèn),選擇有效的方法和手段收集信息,靈活地運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法,進(jìn)行獨(dú)立思考、探索和研究,提出解決問(wèn)題的思路,創(chuàng)造性地解決問(wèn)題。算法創(chuàng)新題在高考試題中也并不少見(jiàn)。現(xiàn)解讀幾例,供大家學(xué)習(xí)與參考。

一、算法與統(tǒng)計(jì)的交匯

例1高三某班15名學(xué)生一次模擬考試成績(jī)用莖葉圖表示,如圖1所示。執(zhí)行圖2所示的程序框圖,若輸入的ai(i=1,2,…,15)分別為這15名學(xué)生的考試成績(jī),則輸出的結(jié)果為( )。

圖1

圖2

A.6 B.7

C.8 D.9

解：由程序框圖可知,其統(tǒng)計(jì)的是成績(jī)大于或等于110的人數(shù)。

由莖葉圖可知,成績(jī)大于或等于110的人數(shù)為9,因此輸出的結(jié)果為9。

應(yīng)選D。

評(píng)析：解答算法與統(tǒng)計(jì)的交匯題,關(guān)鍵是正確理解與運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí),同時(shí)要讀懂程序框圖的含義。

二、算法與概率的交匯

例2執(zhí)行圖3所示的程序框圖,設(shè)輸出的數(shù)據(jù)構(gòu)成的集合為A,從集合A中任取一個(gè)元素a,則函數(shù)y=xa,x∈[0,+∞)是增函數(shù)的概率為( )。

圖3

解：執(zhí)行程序框圖可得,x=-3,y=3;x=-2,y=0;x=-1,y=-1;x=0,y=0;x=1,y=3;x=2,y=8;x=3,y=15;x=4≤3不成立,這時(shí)退出循環(huán)。

故集合A中的元素為-1,0,3,8,15,共5個(gè)。若函數(shù)y=xa,x∈[0,+∞)為增函數(shù),則a＞0,所以所求的概率為

應(yīng)選C。

評(píng)析：解答算法與概率的交匯題,必須明確概率模型,借助于算法框圖,求出基本事件的總數(shù)和滿足條件的事件個(gè)數(shù)。

三、算法與數(shù)學(xué)文化的交匯

例3我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道問(wèn)題：“今有垣高九尺。瓜生其上,蔓日長(zhǎng)七寸;瓠生其下,蔓日長(zhǎng)一尺。問(wèn)幾何日相逢?！爆F(xiàn)用程序框圖描述,如圖4所示,則輸出的結(jié)果n=( )。

圖4

A.4 B.5

C.6 D.7

解：執(zhí)行程序框圖可得,a=0.7,S=0,n=1,S=1.7。

不滿足條件S≥9,執(zhí)行循環(huán)體,n=2,a=1.4,S=3.4;

不滿足條件S≥9,執(zhí)行循環(huán)體,n=3,a=2.1,S=5.1;

不滿足條件S≥9,執(zhí)行循環(huán)體,n=4,a=2.8,S=6.8;

不滿足條件S≥9,執(zhí)行循環(huán)體,n=5,a=3.5,S=8.5;

不滿足條件S≥9,執(zhí)行循環(huán)體,n=6,a=4.2,S=10.2≥9成立,這時(shí)退出循環(huán),輸出n的值為6。

應(yīng)選C。

評(píng)析：本題以傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化為載體,考查算法的實(shí)際應(yīng)用。解答本題的關(guān)鍵是將古代實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)問(wèn)題,再模擬執(zhí)行程序框圖,從而使問(wèn)題得到解決。

四、算法與線性規(guī)劃的交匯

例4執(zhí)行圖5所示的程序框圖,如果輸入的x,y∈R,那么輸出S的最大值為

圖5

解：由程序框圖可知,當(dāng)條件x≥0,y≥0,x+y≤1不成立時(shí),輸出S的值為1;當(dāng)條件x≥0,y≥0,x+y≤1成立時(shí),輸出S=2x+y。下面用線性規(guī)劃的方法求出此時(shí)S的最大值。不等式組表示的平面區(qū)域如圖6所示的陰影部分。

圖6

由圖6可知,當(dāng)直線S=2x+y經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,0)時(shí),S最大,其最大值為2×1+0=2,即輸出S的最大值為2。

評(píng)析：解答算法與線性規(guī)劃的交匯題時(shí),讀懂程序框圖,明確交匯的知識(shí)點(diǎn),將問(wèn)題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵。