揭示原有函數(shù)本質(zhì)特征 助力導數(shù)綜合問題解決

潘榮杰

(北京市第八十中學 100102)

很多學生在面對導數(shù)綜合題時，一般都會考慮原有函數(shù)的定義域，然后就對原有函數(shù)求導數(shù)，或根據(jù)問題情境，構造一個函數(shù)再求導數(shù)．那么為什么要求導？求導的目的是什么？所求得的導數(shù)便于后續(xù)研究嗎？所研究問題的本質(zhì)是要研究函數(shù)的什么性質(zhì)？學生對諸多問題可能沒有考慮清楚，更多的還是模式化解題．不可否認，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的最重要性質(zhì)之一．導數(shù)最直接的應用就是研究函數(shù)的單調(diào)性，但不是所有的問題都要研究函數(shù)的單調(diào)性．如果需要研究函數(shù)的單調(diào)性，而導數(shù)含參數(shù)且特別復雜，分類討論的分界點該如何確定呢？很多學生求導數(shù)之后，就陷入不知所措、無從下手、停滯不前的窘境，更談不上找到解決問題的突破口了．

例如，2019年全國Ⅰ卷理科20題的第(Ⅱ)問，學生就遇到很大的挑戰(zhàn)．

(2019年全國Ⅰ卷理20節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x)．

證明：f(x)有且僅有2個零點．

優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域，其實這就是關注原有函數(shù)的一種性質(zhì)．但我們不能僅僅局限這一點，也不能求導數(shù)之后就拋棄了原有函數(shù)．我們要根據(jù)所求問題的本質(zhì)，關注原有函數(shù)以及導函數(shù)的相關性質(zhì)，找到問題的突破口，再利用導數(shù)這一工具解決問題．筆者結合自己的教學實踐，重點談一談在解決函數(shù)與導數(shù)綜合問題中除關注定義域外，還應關注原有函數(shù)的哪些性質(zhì)？下面結合例子從四個方面加以說明．限于篇幅，所舉例子均節(jié)選一個問題進行解釋，以此來感受關注原有函數(shù)本身的某些性質(zhì)對所研究問題帶來的優(yōu)化．

1 關注多項式或函數(shù)值整體的正負，明晰問題本質(zhì)

關注多項式或函數(shù)值整體的正負對證明不等式、函數(shù)零點、恒成立或有解問題至關重要．

證法一

由f(x)-(1-x+x2)

得f(x)≥1-x+x2．

證法二

即f(x)≥1-x+x2成立．

點評本題沒有用導數(shù)研究函數(shù)的最值來證明不等式，問題的解決根本就沒用到導數(shù)這一工具．函數(shù)不等式的證明，不一定要構造函數(shù)，通過研究單調(diào)性等性質(zhì)，再求出函數(shù)的最值達到論證的目的．函數(shù)不等式證明的數(shù)學本質(zhì)還是作差，看差值的正負即可．本題根據(jù)題目的結構特征，用適當?shù)霓D化、代數(shù)變形、放縮等手段就能達到論證的目標，從而問題得以快速解決．上面兩種解法需要較高的數(shù)學素養(yǎng)，給學生帶來震撼，是去除模式化的好素材．特別是“證法一”關注了f(x)-(1-x+x2)整體的正負．還有什么時候要關注多項式或函數(shù)值整體的正負呢？

例2(2016全國I卷理改編)

解法一

f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)．

x(-∞,ln(-2a))ln(-2a)(ln(-2a),1)1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗

而極大值f(ln(-2a))=-2a[ln(-2a)-2]+a[ln(-2a)-1]2=a{[ln(-2a)-2]2+1}<0．

故當x≤1時，f(x)在x=ln(-2a)處取到最大值f(ln(-2a))，且f(x)≤f(ln(-2a))<0恒成立，即此時f(x)=0無解．

而當x>1時，f(x)單調(diào)遞增，至多一個零點．

綜上，f(x)在R上至多一個零點，符合題意．

解法二

f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2<0，

而f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)．

則f′(x)>0在(1,+∞)上恒成立，

f(x)單調(diào)遞增，至多一個零點．

綜上，f(x)在R上至多一個零點，符合題意．

點評函數(shù)最值或極值的正負某種程度決定該函數(shù)有無零點問題，這是零點問題的一個基本認識．解法一就是依據(jù)這個認識．但極值的正負不好判斷，有時需要一定的技巧．更樸素的一個道理是：“函數(shù)在某區(qū)間上恒正或恒負，則函數(shù)在此區(qū)間上無零點”．若知道函數(shù)在某區(qū)間上恒正或恒負，就無需關注它在此區(qū)間上的單調(diào)性情況，更不用關注極值的正負，所以解法二是站在整體的角度看問題，解法當然更加簡潔．在教學時，我們可以采取這種對比教學，既落實基本解法，又培養(yǎng)學生觀察、整合、創(chuàng)新的意識，使學生對問題本質(zhì)有更深刻的思考．

2 關注原有函數(shù)的零點，確立解題方向

零點是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，它與函數(shù)值的正負、單調(diào)區(qū)間、極值等有密切關系．

令G(x)=(x+5)3-216x(1

則x∈(1,3)，G′(x)=3(x+5)2-216<0．

故G(x)在(1,3)上為減函數(shù)，

所以G(x)

即F′(x)<0在x∈(1,3)上恒成立，

故F(x)在(1,3)上為減函數(shù)．

所以F(x)

點評其實還可以去分母后，再構造函數(shù)，但不管怎樣構造函數(shù)，看到了零點，就找到了解題方向，要培養(yǎng)學生觀察零點的意識，有的函數(shù)零點可以直接看出，有時需要我們?nèi)ス浪阍泻瘮?shù)或導數(shù)的零點，一般是函數(shù)的單調(diào)性與零點存在性定理相結合．

(ax+1)(ex-1)-xex≤0，

設h(x)=(ax+1)(ex-1)-xex，則h(0)=0．

因為h′(x)=ex[(a-1)x+a]-a，h′(0)=0，

則h″(x)=ex[(a-1)x+2a-1]．

所以h′(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減，

故h′(x)

所以h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減，

故h(x)

當a≥1，x∈(0,+∞)時，h″(x)>0，

所以h′(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，

故h′(x)>h′(0)=0，

所以h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，

故h(x)>h(0)=0，所以a≥1不符合題意．

點評函數(shù)零點看似只是函數(shù)的一個局部性質(zhì)，其實零點影響著函數(shù)的其它性質(zhì)，比如函數(shù)只有一個變號零點，就知道函數(shù)在零點兩側一定異號，對我們解不等式就有很大幫助．關注函數(shù)的零點，當然也包括觀察導函數(shù)的零點．本題這種尋求使命題成立的充分條件，再證明其是必要條件的解題策略在解決壓軸題中很常用．在解導數(shù)壓軸題過程中，也有先尋求使命題成立的必要條件，這樣會縮小參數(shù)的取值范圍，一般會減少分類討論，再證明其是充分條件．此種解題策略不再舉例，請讀者自己體會．

例5已知函數(shù)f(x)=ex+(a-e)x-ax2，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在零點，求實數(shù)a的取值范圍．

解由f(x)=ex+(a-e)x-ax2可知，

f(0)=1，f(1)=0．

若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在零點，

則f(x)=ex-ex+a(x-x2)≤0在區(qū)間(0,1)上有解．

設h(x)=ex-exx∈(0,1)．

h′(x)=ex-e<0，

故h(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減．

所以h(x)>h(1)=0．

(1)a≥0時，因為x∈(0,1)，a(x-x2)≥0，

又ex-ex>0，所以f(x)>0

故此時f(x)≤0在區(qū)間(0,1)上無解．

(2)a<0時，f″(x)=ex-2a>0，

則f′(x)=ex-e+a(1-2x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增．

又f′(0)=1-e+a<0，f′(1)=-a>0，

故存在x0∈(0,1)，使得f′(x0)=0．

于是x∈(0,x0)時，f′(x)<0且x∈(x0,1)時，f′(x)>0．

所以f(x)區(qū)間(x0,1)上單調(diào)遞增，

所以f(x0)

所以f(x)=ex-ex+a(x-x2)≤0在區(qū)間(0,1)上有解，a<0符合題意．

綜上，a的取值范圍為(-∞,0)．

點評根據(jù)題目情境先觀察出邊界值f(0)=1，f(1)=0，根據(jù)存在零點存在定理，函數(shù)值必然存在小于等于零的值，這也是對零點問題的最樸素認識．有了這種認識，問題得以轉化為不等式有解問題．不等式有解問題一定要關注函數(shù)值的正負，而關注函數(shù)值的正負，就找到了分類討論的分界點，正是由于關注了原有函數(shù)的一些性質(zhì)，問題才得到了完美解答．

3 關注原有函數(shù)的奇偶性，降解問題難度

解易證f(x)=acosx+xsinx為偶函數(shù)．

f′(x)=-asinx+sinx+xcosx

=(1-a)sinx+xcosx>0，

由f(x)是偶函數(shù)可知，f(x)有兩個零點．

綜上，當a>0時，f(x)的零點個數(shù)為0；當a=0時，f(x)的零點個數(shù)為1；當a<0時，f(x)的零點個數(shù)為2．

點評本題不但關注了原有函數(shù)的正負，更關注了函數(shù)的奇偶性．奇偶性是一種對稱性，知道自變量在原點的一側取值時的性質(zhì)，就知道另一側的性質(zhì)．如果函數(shù)有奇偶性，我們可以將自變量取值范圍縮小一半，這樣有助于研究導數(shù)的正負．

4 關注原有函數(shù)的邊界狀態(tài)，開闊解題視野

這里我所說的函數(shù)的邊界狀態(tài)可以理解為函數(shù)在定義域邊界的函數(shù)值或極限．

分析我們很難直接解出不等式f(x)≥a，那么應該怎樣處理？我們可以嘗試觀察f(x)的函數(shù)值情況，將函數(shù)f(x)整理變形后，可以看出f(x)>0在定義域(0,+∞)上恒成立，因此若a≤0，f(x)≥a的解集就為f(x)的定義域為(0,+∞)．若a>0，又x→+∞,f(x)→0，說明對于給定的正數(shù)a，當x取較大值時f(x)≥a不成立，我們可以用特例加以說明．

解f(x)的定義域為(0,+∞)．

所以a≤0時，

不等式f(x)≥a的解集為(0,+∞)．

a>0時，易證x>2時，ex>x2(證明略)．

不符題意．

綜上,a的取值范圍為(-∞,0]．

點評本題是以極限為背景命制的，其實是考查函數(shù)值的取值情況．如何研究函數(shù)值的取值情況呢？一般通過研究函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)來確定值域，但本題的導數(shù)十分復雜，很難找到原有函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，若我們關注了原有函數(shù)值的正負，關注了函數(shù)邊界的極限，我們就知道f(x)的值域一定為(0,M]．當然本題x→0+,f(x)→0，因此第(2)類情況也可以取較小的正數(shù)進行論證．如何說明a>0時，f(x)≥a的解集不是(0,+∞)，需要對極限概念有較深刻的認識．

教學要突出數(shù)學本質(zhì)，函數(shù)問題的核心就是函數(shù)性質(zhì)的研究與應用．根據(jù)問題情境，我們應培養(yǎng)學生有意識地關注原有函數(shù)的定義域、奇偶性、函數(shù)值的正負、零點、函數(shù)的邊界狀態(tài)等性質(zhì)，問題很可能就找到了突破口，也會使得問題更簡潔更方便的解決．導數(shù)壓軸問題多出在證明不等式、解不等式、恒成立或有解問題中的求參數(shù)取值范圍、以及零點問題等．我們需要歸類，找到一般解題思路，但我們更應關注原有函數(shù)的結構、性質(zhì)，而不是一概求導解決．要突出導數(shù)的思想、工具作用，更要站在函數(shù)整體的高度認識函數(shù)問題，這是一種意識，學生一旦形成了這種意識，就會做到在一般方法與特殊策略之間靈活轉化，在更高的層面去認識問題、理解問題、解決問題．這樣必會有利于幫助和引導學生對數(shù)學知識本質(zhì)的理解，提升學生綜合創(chuàng)新能力，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展．