淺談小學(xué)數(shù)學(xué)中的雞兔同籠的問題

陳弘

【摘要】雞兔同籠是中國古代就有的名題，本文淺析在小學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的雞兔同籠問題，并結(jié)合較多的案例和練習(xí)題進(jìn)行鞏固加深概念，繼而設(shè)計(jì)到多種不同的方式方法解決該問題.

【關(guān)鍵詞】雞兔同籠;解題技巧與方法;解方程

雞兔同籠是我國古代比較有名也很有趣的一類題.大約在1500年前，古書籍中就記載了此類相關(guān)的有趣的問題.有本書中是這樣寫的：“今有雉兔同在一籠，其中上有三十五個(gè)頭，下面有九十四足，問雉兔各有幾何？”這四句話的大概意思就是：有不定量的雞和兔子被關(guān)在同一個(gè)鐵籠里，然而從上面看的話，有35個(gè)頭;但是從下面數(shù)的話，有94只腳.那么問籠中有幾只雞和兔子.

一、典型案例及解決方法

雞兔同籠問題從小學(xué)到初中會(huì)有多種不同的方式解決，而且方法不同涉及的思維方式也不同，但不變的是，都是讓同學(xué)們在腦中設(shè)想、構(gòu)建假設(shè)的模型這一過程中體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力[1]，進(jìn)而逐漸地提高自身思維、解題思路.按照教材安排來講，本屆知識被放在六年級教材最后一節(jié)，主要目的是為了開拓學(xué)生的思想視野、培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的初級能力.

在古書中有這么一種被叫作“砍足”或“斷足”法，基本步驟如下：

兔數(shù)（94÷2）-35=12（只），

雞數(shù)35-12=23（只）.

這一思路比較新奇，到后來這種思維方法叫化歸法.化歸法的意義就在于，先不采取直接的分析，而是把題中已知的條件或問題進(jìn)行合理變形，轉(zhuǎn)化，最終達(dá)到把它歸成某個(gè)已經(jīng)解決的問題.除此之外，還有其解題方法來看雞兔同籠問題，公式總結(jié)來看有如下幾種方法：

方法1：總體（兔子的腳數(shù)×總的個(gè)數(shù)-總的腳數(shù)）÷（兔子的腳數(shù)-雞的腳數(shù)）=雞的總只數(shù)，

即總共的只數(shù)-雞的只數(shù)=兔子的只數(shù).

方法2：分類（總的腳數(shù)-雞的腳數(shù)×總的只數(shù)）÷（兔子的腳數(shù)-雞的腳數(shù)）=兔子的總數(shù)，

總的只數(shù)-兔子的只數(shù)=雞的總只數(shù).

方法3：分類（總的腳數(shù)÷2）-總的頭數(shù)=兔子的只數(shù)，

總的只數(shù)-兔子的只數(shù)=雞的只數(shù).

這種方法是解決問題此類問題比較常見的形式，主要是為了學(xué)生剛接觸此類問題時(shí)，漸漸地找到其中隱藏的不同規(guī)律，并且盡可能地利用現(xiàn)有的規(guī)律來解決問題.這方法本身是一個(gè)由特例到普遍的代表，或者是由形象化到抽象的，但是，這種方法仍舊有較多的不足和局限，特別是考試的時(shí)候，需要占用較多的時(shí)間，大大降低了做題的效率和進(jìn)度.但是值得注意的是，雖然此方法有諸多弊端，但不僅是一個(gè)思考到實(shí)驗(yàn)再到確認(rèn)的過程，提高此方法的效率，不斷演變出新的方法解決問題，是教學(xué)的主要目的，也能夠提高學(xué)生化解難題的能力.

二、思維擴(kuò)展型解題技巧

假設(shè)在一個(gè)籠子中共有46個(gè)頭，共有128個(gè)腳，那么雞和兔子各有幾只？

解析 假設(shè)46只都是兔子，那么應(yīng)該一共有4×46=184只腳，但是這個(gè)和已知相關(guān)題目給出的128只腳多了184-128=56只腳.那么假設(shè)，如果用一只雞來換一只兔子，相比要減少4-2=2只腳.但是46只兔里應(yīng)該換幾只雞才能使差數(shù)就沒有呢？顯然，56÷2=28，要用28只雞，去換28只兔子就可以了.所以，雞一共有的數(shù)就是28，相反兔子的總數(shù)是46-28=18.

解 （1）雞一共有多少只？

（4×6-128）÷（4-2）=28（只）.

（2）那么相反，兔子有多少只？

46-28=18（只）.

此類解體的基本關(guān)系是：雞的總數(shù)=（每只兔子腳數(shù)×兔子總數(shù)-實(shí)際的腳數(shù)）÷（每只兔子的腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)），

兔的總數(shù)=雞和兔總數(shù)-雞的數(shù)量，

當(dāng)然，反過來看也是可以的.

（3）一元一次方程

解：設(shè)兔有x只，根據(jù)總數(shù)來看雞的數(shù)量就是有（35-x）只.

4x+2（35-x）=94.

（4）二元一次方程

解：設(shè)雞有x只，兔有y只.

x+y=35，2x+4y=94.

對教師在教授“雞兔同籠”這一類數(shù)學(xué)問題時(shí)，一定要?jiǎng)?chuàng)新發(fā)展新的思維方式，重點(diǎn)偏向于，引導(dǎo)學(xué)生通過思考、假設(shè)、驗(yàn)證、推理等綜合的手段來解決問題.其次，教師還要正確認(rèn)識“雞兔同籠”問題，在教學(xué)的領(lǐng)域方面，以簡單、容易理解的形式，在課堂上教授，并且達(dá)到最好的效果.再者，在學(xué)生已有的思想、理論、知識的基礎(chǔ)上，仔細(xì)認(rèn)真的體會(huì)和感受，多形式多方法的數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)每一名學(xué)生，在有限的時(shí)間內(nèi)，充分體會(huì)數(shù)學(xué)分析法，在分析和解決問題中的重要性和重要意義，并且盡可能讓更多的學(xué)生能夠從研究、思考雞兔同籠問題，而得到的經(jīng)驗(yàn)與思考方式，運(yùn)用到其他問題中，深刻地體會(huì)到數(shù)學(xué)的重要影響.

三、總 結(jié)

綜上所述，教材中引入“雞兔同籠”此類開放性的問題，用不同的創(chuàng)新思維方式解決，同時(shí)也滿足了不同學(xué)生的需求，意在注重學(xué)生的全面發(fā)展.這一類問題，主要在于讓每個(gè)同學(xué)切實(shí)的體驗(yàn)設(shè)想，經(jīng)過自己的猜測試驗(yàn)后得出結(jié)論，不僅有利于提高協(xié)作的能力，也可以大大的促進(jìn)思想的轉(zhuǎn)變.

【參考文獻(xiàn)】

[1]郜舒竹.“雞兔同籠”算法源流[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2012（Z2）：26-29.