微積分教學(xué)中的語言表達藝術(shù)研究

續(xù)云豐 鞏永麗

【摘要】為了讓高職院校的學(xué)生更好地學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)，提升課堂教學(xué)效果，本文從課堂教學(xué)語言表達的角度出發(fā)，結(jié)合多年教學(xué)實踐認知，提出了微積分教學(xué)的語言表述應(yīng)該“形象化”“生活化”和“詩情畫意化”的觀點.同時，為了便于學(xué)生理解和記憶，進一步提出了“用一個詞、一個短語、一句話來概括一個知識點、一個小節(jié)、一個章節(jié)及一本書的內(nèi)容”的觀點，同時要不失時機推進課堂思政，不遺余力地對學(xué)生進行思想道德教育，教書又育人.

【關(guān)鍵詞】大學(xué)數(shù)學(xué);微積分教學(xué);語言表達;課程思政

【基金項目】浙江建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院2018年度教學(xué)改革項目.

教育部統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示我國2017全年普通本專科招生761.5萬人，其中高職?？?50.7萬人，這部分高職?？菩律鶕?jù)專業(yè)不同一般需要學(xué)習(xí)一個學(xué)期的微積分.針對這部分學(xué)生基礎(chǔ)較差，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣低的特征，開展微積分的有效教學(xué)是一個迫在眉睫的問題[1][3].

一、高職?？圃盒Ｎ⒎e分教學(xué)面臨的現(xiàn)狀

目前高職?？茖W(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，學(xué)習(xí)興趣不大，概括起來就是“兩不一沒”，即學(xué)生“聽不懂、學(xué)不會、沒興趣”.因此，這部分學(xué)校的微積分教學(xué)面臨很大難度.

數(shù)學(xué)作為極其抽象的學(xué)科，學(xué)習(xí)曲線陡峭，難度大.研究教學(xué)語言中的表達技巧，通過具體、形象、生動傳神的語言文字，來傳遞微積分的知識、思想和技巧，來達到更好的傳授知識、教書育人的目的.本文通過具體的教學(xué)案例，從以下幾方面予以論述，同時案例中蘊含了課程思政的思想[2].

二、微積分教學(xué)中使用形象化的比喻

語言作為表情達意的載體，承載著傳遞知識、點燃興趣的作用.

在微積分教學(xué)中，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是一個難點問題.其計算規(guī)則可以簡單寫成（f（φ（x））′φ（x）=u（f（u））′u′=（f（φ（x））′φ′（x）.針對這個問題，可以把這條規(guī)則比喻成剝開一個洋蔥：首先找到洋蔥的最外層（對應(yīng)復(fù)合函數(shù)的最外層），然后剝掉最外層（即外層求導(dǎo)），最后乘小洋蔥（也就是除最外層剩下的部分）的導(dǎo)數(shù);針對小洋蔥，重復(fù)上述步驟找最外層和小洋蔥，直到最后一層用公式求導(dǎo).如此比喻，學(xué)生就會明白，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵步驟是找到最外層，然后一層層求導(dǎo)，就是一層層剝洋蔥.這樣一來知識點就容易掌握了.

講到不定積分，換元法的一類換元和二類換元，一類換元就是找一個函數(shù)進入微分，這是一個小積分，然后設(shè)函數(shù)為變量再來一個大積分，問題解決.這恰似抗戰(zhàn)中的正面戰(zhàn)場采用陣地戰(zhàn)，就是大敵當(dāng)前，不跑也不逃，迎面而上，哪怕犧牲也要積分（打擊敵人）.二類換元是為了對付根號而生，采取變量當(dāng)函數(shù)容易問題復(fù)雜化，在變化中尋找機會進行突破.恰似我黨領(lǐng)導(dǎo)的抗日敵后戰(zhàn)場，多采用游擊戰(zhàn)，大敵當(dāng)前不一定打，而是在迂回后退中（相當(dāng)于二類換元的變量處理成函數(shù)）找準機會狠狠打.如此比喻，學(xué)生對兩類換元的思路和具體做法自然了然于胸、熟記于心了.

再比如，求極值的兩個充分條件，第一充分和第二充分其區(qū)別何在？哪個功能更加強大，答案是第一充分條件，排序第一，是個功能強大的越野車，平路和坑坑洼洼的山路（在函數(shù)不可導(dǎo)沒有駐點時）都可以過去;第二充分相當(dāng)于普通車，平路可以通過但坑洼路就不能使用了.同時以函數(shù)y=|x|的極值求法說明第一充分可用，第二充分不能使用.

三、微積分教學(xué)中使用生活化的語言

微積分教學(xué)中的無窮小比較分三種情況：高階無窮小、同階無窮小和等價無窮小.首先，解釋“高”字內(nèi)涵，比如，高級、高大、高明，本質(zhì)就是兩個東西進行一番比試，冠軍就是那個稱為高的東西.于是學(xué)生秒懂，高階無窮小，首先需要兩個無窮小，它們進行一場比賽，目標是0，其中勝出的冠軍就是高階無窮小.比如，Δx→0，Δx2是Δx的高階無窮小，記為Δx2=o（Δx）.

而這恰似不同交通工具的競賽.比如，毛驢和汽車比賽，毛驢輸了，于是汽車是毛驢的高階無窮小.如果兩個汽車比賽，可能性能不同品牌各異，但它們是同一個數(shù)量級的東西，比賽的結(jié)果是一個常數(shù)，恰似同階無窮小，意思是同一個級別的東西.同理，等價無窮小就是兩個交通工具開的一樣快慢，可以互相替代.最后引出三種無窮小比較的定義.這樣的生活化的比喻，學(xué)生都可以聽明白，車大家都坐過，是個熟悉的物件.因此，從學(xué)生的生活實際出發(fā)，用他們聽得懂的生活化語言表達數(shù)學(xué)知識，往往可以取得意想不到的好結(jié)果.

四、微積分教學(xué)中的詩情畫意

數(shù)學(xué)不僅是工具，還是藝術(shù)，數(shù)學(xué)本身和美息息相關(guān).而追求美是人類最根本的追求之一.通過精心整理和引入，將中國古典的詩詞歌賦應(yīng)用到微積分教學(xué)的適當(dāng)場合，往往一鳴驚人，令人拍案叫絕.

比如，講到導(dǎo)數(shù)和微分的關(guān)系，它們二者本質(zhì)相同，表達的側(cè)重點不同而已，一個偏重變化率，另外一個偏重變化量.這好比就是液態(tài)的水和固態(tài)的冰塊，化學(xué)成分一樣，物理狀態(tài)不同.此時，可以引用蘇軾的詩句“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”來予以說明.

在講到定積分的定義時，是先計算一個小矩形的面積，然后將無窮個小矩形累加在一起.一個小矩形微不足道，面積近似為零，但千千萬萬個至無窮個小矩形累加起來就非?？捎^了，體現(xiàn)了哲學(xué)的“量變引起質(zhì)變”思想.此時可以適時引用韓愈的詩“天街小雨潤如酥，草色遙看近卻無”，其中第二句“草色遙看近卻無”來描述這種一個矩形和無窮個矩形的關(guān)系最為恰當(dāng)：一個小矩形就像一棵小草，看不到忽略了;但千千萬萬個小草，每個貢獻一點綠色，遠看就是一片綠色了.還可以借題發(fā)揮，以西方圍堵中國采用的策略說明定積分的思想，就是五美分黨做的事情，網(wǎng)絡(luò)上肆意用一些似是而非、偷梁換柱、模棱兩可的所謂的內(nèi)部消息、揭秘等等吸引眼球的字眼，抹黑我們的英雄人物，抹黑我們的歷史等.單看這一個帖子，似乎問題也不大，就像一個小矩形面積近似為零（對應(yīng)微分）;但他們天天造謠抹黑，一個接一個、晝夜不息，累計起來所產(chǎn)生的破壞效果就很可觀了（對應(yīng)積分）.這充分說明西方黔驢技窮，不能正面對抗，就用下三爛的套路，但是也不能掉以輕心，因為假話說多了雖然未必變成真話，但可能會蒙蔽一些人，讓人思想動搖.因此，年輕的大學(xué)生要學(xué)會識別這些伎倆，學(xué)好本領(lǐng)，站穩(wěn)立場，更好地為國家進步而奮斗.

又如，講到一類換元和二類換元，一個是直接方式，一個是迂回方式，前面說過這相當(dāng)于陣地戰(zhàn)和游擊戰(zhàn)的區(qū)別.此時可以吟詩一首，杜甫的“劍外忽傳收薊北，初聞涕淚滿衣裳.卻看妻子愁何在，漫卷詩書喜欲狂.白日放歌須縱酒，青春做伴好還鄉(xiāng).即從巴峽穿巫峽，便下襄陽向洛陽”.直抒胸臆，體現(xiàn)了一種狂喜之情，即直接又直白！而二類換元就對應(yīng)馬致遠的《天凈沙·秋思》：“枯藤老樹昏鴉，小橋流水人家，古道西風(fēng)瘦馬.夕陽西下，斷腸人在天涯.”體現(xiàn)了詩人的苦悶不開心，是通過寫景物迂回表達這個意思的.最后，為了讓學(xué)生記住二類換元是為了對處理根號類積分，改了一句詩“但使二類換元在，不教‘根號度陰山”，來體現(xiàn)二類換元的這個特性.

五、一詞一短語一句話概括

數(shù)學(xué)美的特征在于對稱美、在于簡潔.正所謂大道至簡，用最精練的語言，用“一個詞語，一句話”來描述一個知識點、一個定理、一個章節(jié)乃至一本書，是一個優(yōu)秀的微積分教師的一項核心競爭力.

比如，導(dǎo)數(shù)=微商=瞬時變化率=增量比之極限，這是導(dǎo)數(shù)的定義.函數(shù)的有界性用“有界無界看值域，無窮出現(xiàn)為無界”來概括.“一階導(dǎo)數(shù)單調(diào)性極值，二階導(dǎo)數(shù)凹凸性拐點”來概括函數(shù)單調(diào)性極值和凹凸性拐點的內(nèi)容.

“極值點x0=該點x0左右f′（x）變號=去哪找？f′（x）=0或f′（x）不存在的地方”和“拐點x0=該點x0左右f″（x）變號=哪找？f″（x）=0或f′（x）不存在的地方”，這兩條規(guī)則比較記憶效果頗佳.

在分部積分中，采用口訣“反對不要碰，三指動一動”來總結(jié)，學(xué)生易懂易記.

再如，“一切積分問題都是找原函數(shù);一切微積分問題都是求導(dǎo)問題”“微分不過是減法，積分不過是加法，微積分相當(dāng)于加減法”等形象描述了微積分課程的特征.

二階線性非齊次微分方程，其特解形式由f（x）的形式確定，分為“指多和指三多”兩種情況，指多就是指數(shù)乘多項式;根據(jù)f（x）寫出一個待檢驗的特征根，遵循“不是（特征根）不升（冪）”的四字原則.如此等等，可以讓學(xué)生非常容易記住一些重要的知識點和解題技巧.

六、小 結(jié)

微積分的教學(xué)，需要根據(jù)聽課對象的基礎(chǔ)水平來確定合適的方式，即所謂的因材施教，因地制宜.高職學(xué)生大多數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差，學(xué)習(xí)習(xí)慣差，畏數(shù)學(xué)如虎.因此，本文提出一種在教學(xué)語言表達方面可以采取的有效措施，用來化解教學(xué)中的這種學(xué)生聽不懂的矛盾[4][5].用“形象化”的教學(xué)語言利于學(xué)生理解知識;“生活化”的教學(xué)語言拉近與學(xué)生的距離，產(chǎn)生共鳴;“詩情畫意化”的教學(xué)語言，將抽象的數(shù)學(xué)知識美化、詩化，陶冶情操，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中得到美的享受、藝術(shù)的熏陶.

當(dāng)然，數(shù)學(xué)作為訓(xùn)練抽象思維的學(xué)科，如果太具體、太形象化，也不利于學(xué)生提升綜合素質(zhì).這個問題是教學(xué)中“學(xué)院派”和“實戰(zhàn)派”的根本分歧點.但考慮到高職學(xué)生的學(xué)情，本文認為采用上述教學(xué)方法是合適的，也是必要的.浙江建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院的教學(xué)實踐表明，95%以上的學(xué)生喜愛這種教學(xué)表達方式，因為好記憶、易理解、易掌握，并且學(xué)生的期末考試通過率也相應(yīng)提高，教學(xué)效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)講授法.

【參考文獻】

[1]關(guān)章才.高職微積分教學(xué)的改進及優(yōu)化路徑探索[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（5）：28.

[2]李中，肖勁森.在微積分教學(xué)中滲透思想政治教育的策略探索[J].產(chǎn)業(yè)與科技論壇，201（1）：137-138.

[3]蔡敏.微積分教學(xué)專業(yè)化探索[J].課程教育研究，2017（51）：38.

[4]楊晶.微積分教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想方法的探究[J].高教學(xué)刊，2016（17）：49.

[5]鐘敏玲.大學(xué)數(shù)學(xué)微積分教學(xué)的改革策略研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（23）：3-4.