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    導(dǎo)函數(shù)為指(對)數(shù)、三角函數(shù)等形式的分類討論

    2019-12-24 11:29:36南京市教學(xué)研究室龍艷文
    關(guān)鍵詞:實(shí)數(shù)零點(diǎn)圖象

    南京市教學(xué)研究室 龍艷文

    導(dǎo)數(shù)這一章節(jié)的重點(diǎn)問題為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極(最)值問題.導(dǎo)函數(shù)為指(對)數(shù)、三角函數(shù)等形式,且無法直接求出零點(diǎn)和單調(diào)性時,需要對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo),從而需要對二次求導(dǎo)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類討論.我們通過對一組問題的歸類研究,從各種復(fù)雜的分類中找出共同規(guī)律,提煉出有章可循的分類途徑和方法,從而構(gòu)建導(dǎo)函數(shù)為指(對)數(shù)、三角函數(shù)等形式的分類討論的解題思維模式結(jié)構(gòu)圖.

    一、解題思維模式形成

    例1設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.若x≥0時,f(x)≥0,求a的取值范圍.

    解:由f(x)=ex-1-x-ax2,

    得f(0)=0,f′(x)=ex-1-2ax.

    令G(x)=f′(x)=ex-1-2ax,

    則G(0)=0,G′(x)=ex-2a.

    優(yōu)先判斷f(0)=0,求導(dǎo)f(x),令G(x)=ex-1-2ax,要判斷G(x)的零點(diǎn),需判斷G(x)特殊點(diǎn)的正負(fù)和單調(diào)性

    令H(x)=G′(x)=ex-2a,

    則H(0)=1-2a,H(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

    求導(dǎo)G(x),令H(x)=ex-2a,要判斷H(x)的零點(diǎn),需判斷H(x)特殊點(diǎn)的正負(fù)和單調(diào)性

    ① 當(dāng)1-2a≥0,即a≤時,

    所以x∈(0,+∞)時,H(x)>0,即G′(x)>0,

    所以函數(shù)G(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

    因?yàn)閤∈(0,+∞)時,G(x)>G(0)=0,即f′(x)>0,

    所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

    當(dāng)x∈[0,+∞)時,f(x)≥f(0)=0,

    所以當(dāng)a≤時,滿足條件.

    由H(0)≥0和H(x)遞增,結(jié)合H(x)圖象,判斷G(x)遞增.再由G(0)=0,判斷G(x)在(0,+∞)上恒正

    ② 當(dāng)1-2a<0,即a>時,

    令H(x)=0,得x=ln2a.

    所以當(dāng)x∈(0,ln2a)時,H(x)<0,即G′(x)<0,

    所以函數(shù)G(x)在(0,ln2a)上單調(diào)遞減.

    因?yàn)閤∈(0,ln2a)時,G(x)<G(0)=0,即f′(x)<0,

    所以函數(shù)f(x)在(0,ln2a)上單調(diào)遞減,

    當(dāng)x∈(0,ln2a)時,f(x)<f(0)=0,

    所以當(dāng)a時,不滿足條件.

    由H(0)<0和H(x)遞增,結(jié)合H(x)圖象,判斷G(x)在(0,ln2a)上單調(diào)減.再由G(0)=0,判斷G(x)在(0,ln2a)上恒負(fù),故f(x)在(0,ln2a)上單調(diào)遞減.

    綜上,a的取值范圍(-∞,].

    二、解題思維模式構(gòu)建

    三、解題思維模式應(yīng)用

    例2(2019全國Ⅰ卷文科)已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x.若x∈[0,π]時,f(x)≥ax,求a的取值范圍.

    解:設(shè)F(x)=f(x)-ax=2sinx-xcosx-x-ax.

    由x∈[0,π]時f(x)≥ax恒成立,即F(x)=2sinx

    xcosx-x-ax≥0恒成立,

    則F′(x)=cosx+xsinx-1-a,

    且F(0)=0,F(xiàn)(π)=-aπ.

    令G(x)=F′(x)=cosx+xsinx-1-a,

    則G(0)=-a,G(π)=-2-a,且G′(x)=xcosx.

    優(yōu)先判斷F(0)=0,求導(dǎo)F(x),令G(x)=cosx+xsinx-1-a,要判斷G(x)的零點(diǎn),需判斷G(x)特殊點(diǎn)的正負(fù)和單調(diào)性

    調(diào)遞增;

    調(diào)遞減;

    ① 當(dāng)a≤-2時,G(π)≥0.

    當(dāng)x∈(0,π)時,G(x)>0,則F(x)在(0,π)上單調(diào)

    遞增.

    所以F(x)min=F(0)=0.

    所以當(dāng)a≤-2時,F(xiàn)(x)≥0對x∈[0,π]恒成立.由G(π)≥0和G(x)單調(diào)性,判斷G(x)無零點(diǎn),從而G(x)恒正

    ②當(dāng)-2<a≤0時,

    G(0)=-a≥0,G(π)=-2-a<0,

    存在x0∈(,π),使得G(x0)=0.

    當(dāng)x∈(0,x0)時,G(x)>0,所以F(x)在(0,x0)上

    單調(diào)遞增;

    當(dāng)x∈(x0,π)時,G(x)<0,所以F(x)在(x0,π)上

    單調(diào)遞減.

    因?yàn)镕(0)=0,所以F(π)=-aπ≥0,則a≤0.

    所以當(dāng)-2<a≤0時,F(xiàn)(x)≥0對x∈[0,π]恒成立.

    由G(0)≥0,G(π)<0和G(x)單調(diào)性,判斷G(x)存在零點(diǎn),從而判斷零點(diǎn)兩側(cè)G(x)的正負(fù)

    當(dāng)x∈(0,x1)時,G(x)<0,所以F(x)在(0,x1)上單調(diào)遞減.

    因?yàn)镕(0)=0,所以x∈(0,x1)時,F(xiàn)(x)<0,

    由G(0)<0,和G(x)單調(diào)性,判斷G(x)存在零點(diǎn),從而判斷零點(diǎn)兩側(cè)G(x)的正負(fù)

    當(dāng)x∈(0,π)時,G(x)≤0,則F(x)在(0,π)上單調(diào)遞減.

    因?yàn)镕(0)=0,所以x∈(0,π)時,F(xiàn)(x)<0.

    綜上,a≤0.

    注:利用F(π)=-aπ≥0,得a≤0,可減少分類討論.

    四、解題思維模式練習(xí)

    1.已知函數(shù)f(x)=-2xlnx+x2-2ax+2a-1.若x≥1時,f(x)≥0,求a的取值范圍.

    2.設(shè)函數(shù)f(x)=xex-asinxcosx(a∈R).

    (2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間)上有兩個零點(diǎn)?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

    3.(2019全國Ⅱ卷理科)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

    (1)若a=1,證明:當(dāng)x≥0時,f(x)≥1;

    (2)若f(x)在(0,+∞)只有一個零點(diǎn),求a.

    4.已知函數(shù)f(x)=cosx+ax2-1,a∈R.若對于任意的實(shí)數(shù)x,f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

    1.a≤0.2.(1)a的取值范圍是(-∞,1];(2)不存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間]上有兩個零點(diǎn).3.(1)略;(2)

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