挖掘考題功能，學(xué)會(huì)思考類比
——以一道圓錐曲線高考題的探究為例

江蘇省揚(yáng)州市新華中學(xué) 王梅蓉 龔海濱

在一次拓展課課后作業(yè)中，同學(xué)們仔細(xì)研究了下面這個(gè)問(wèn)題：

（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

對(duì)于第（2）問(wèn)同學(xué)們形成了五種各具特色的解題思路.

一、思路分析

思路1 利用斜率之和為0

當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°；當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，因?yàn)镺M為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB；當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，如圖1，根據(jù)圖形的特征，把要證的∠OMA=∠OMB轉(zhuǎn)化為直線斜率之間的關(guān)系kMA+kMB=0.設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及斜率公式依靠代數(shù)運(yùn)算即可證得結(jié)論.

圖1

思路2 利用角平分線性質(zhì)

當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，如圖2，設(shè)點(diǎn)O到直線MA，MB的距離分別是d1，d2，直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），則MA：y1x+ （2-x1）y-2y1=0，MB：y2x+（2-x2）y-2y2=0.根據(jù)角平分線的性質(zhì)，將要證的∠OMA=∠OMB轉(zhuǎn)化為證明d1=d2，即證再將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可證得結(jié)論.

圖2

思路3 利用三角函數(shù)值相等

當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），要證∠OMA=∠OMB，只要證tan∠OMA=tan∠OMB，如圖3，過(guò)A點(diǎn)作AA′⊥x軸，垂足為A′，過(guò)B點(diǎn)作BB′⊥x軸，垂足為B′，又只要證，即證以下同思路2.

圖3

思路4 利用三角形相似

當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），如圖3，過(guò)A點(diǎn)作AA′⊥x軸，垂足為A′，過(guò)B點(diǎn)作BB′⊥x軸，垂足為B′，要證 ∠OMA=∠OMB，只要證△MA′A∽△MB′B，又只要證即只要證以下同思路2.

思路5 利用向量數(shù)量積

當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），運(yùn)用向量的數(shù)量積公式將∠OMA和∠OMB看成是對(duì)應(yīng)的兩向量的夾角，則∠OMA=即證兩邊平方，化簡(jiǎn)得以下同思路2.

二、探究解疑

學(xué)起于思，思起于疑.常有疑點(diǎn)，常有問(wèn)題，才能常有思考，常有創(chuàng)新.一道數(shù)學(xué)題解出答案并不是解題思維活動(dòng)的結(jié)束，而是更深入探究的開(kāi)始.

問(wèn)：點(diǎn)M是個(gè)特殊點(diǎn)嗎？它的背后是否有一些我們沒(méi)有發(fā)現(xiàn)的東西呢？

哦，原來(lái)點(diǎn)M恰好是橢圓右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn).于是我們有如下結(jié)論：

結(jié)論1設(shè)AB是過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F（c，0）（c＞0）的弦，M為橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)，則MF平分∠AMB.

問(wèn)：再回顧以上幾種思路，是否可以將其優(yōu)化呢？

不難發(fā)現(xiàn)，我們可以將思路4優(yōu)化一下，借助于橢圓第二定義來(lái)證明三角形相似.

圖4

證明：如圖4，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作右準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別是A1，B1，則從而又因?yàn)橛?∠AA1M=∠BB1M=90°，知△AA1M∽△BB1M，從而 ∠A1AM=∠B1BM，所以∠AMF=∠BMF，則MF平分∠AMB.

上述這種解法靈活運(yùn)用了圓錐曲線的第二定義，取得了簡(jiǎn)捷、合理的解題效果.學(xué)好數(shù)學(xué)最重要的法寶就是對(duì)數(shù)學(xué)概念的精通.

“特殊化和類比是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉”，類比可以引領(lǐng)我們提出新問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、開(kāi)創(chuàng)新方法.

問(wèn)：橢圓、雙曲線、拋物線有很多相似的性質(zhì)，雙曲線和拋物線的焦點(diǎn)弦是否也有同樣的性質(zhì)呢？

關(guān)于雙曲線、拋物線的焦點(diǎn)弦與相應(yīng)準(zhǔn)線同學(xué)們可以猜想并證明如下性質(zhì)：

結(jié)論2設(shè)AB是過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)F（c，0）（c＞0）的弦（點(diǎn)A，B都在雙曲線的右支上），M為雙曲線的右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則MF平分∠AMB.

結(jié)論3設(shè)AB是過(guò)拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)）的弦，M為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則MF平分∠AMB.

問(wèn)：能將上述結(jié)論中的圓錐曲線的焦點(diǎn)一般化嗎？例如，在結(jié)論1中，若將F（c，0）變?yōu)闄E圓內(nèi)定點(diǎn)P（m，0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)又是什么？MP平分∠AMB仍然成立嗎？

結(jié)論4如圖5，設(shè)P（m，0）為橢0）內(nèi)一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若直線與x軸交于點(diǎn)M，則MP平分∠AMB.

將結(jié)論4類比到雙曲線、拋物線可以得到同樣的結(jié)論：

結(jié)論5已知雙曲線過(guò)點(diǎn)P（m，0）（m＞a）作直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A，B都在雙曲線的右支上），若直線x=與x軸交于點(diǎn)M，則MP平分∠AMB.

圖5

結(jié)論6過(guò)拋物線y2=2px（p＞0）的對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)P（m，0）（m＞0）的作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，則MP平分∠AMB.

通過(guò)探究，我們感受到了圓錐曲線的和諧美和統(tǒng)一美，學(xué)會(huì)了類比、猜想、證明等科學(xué)研究的方法.與圓錐曲線有關(guān)的問(wèn)題一般都是非常有趣的，值得研究的，如能深入其中，我們一定會(huì)被它形式的美妙、內(nèi)容的和諧所吸引，流連忘返，美不勝收！

高考題有很強(qiáng)的代表性，我們?cè)谘芯扛呖碱}時(shí)要深挖問(wèn)題的本質(zhì)，重視和加強(qiáng)對(duì)問(wèn)題的拓展、引申和變式研究，最大可能地讓其功能得到充分的發(fā)揮，這才是學(xué)習(xí)之本.過(guò)程往往比結(jié)果更為重要，探索問(wèn)題的意義已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了問(wèn)題解決的本身.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就應(yīng)該這樣勇于探索，敢于創(chuàng)新！