小波包變換和加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換的通信應(yīng)用對比分析

劉 菁，魏雪緣，劉 釗，徐瑞陽

(1.空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西 西安710077； 2.中國人民解放軍94582部隊，河南 駐馬店463000； 3.中國人民解放軍95438部隊，四川 眉山 620010)

0 引言

ITU對5G網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)進行了明確的定義，相對于4G網(wǎng)絡(luò)，在峰值速率、連接密度及頻譜效率方面都有幾倍到幾十倍的增強，同時還提出增強移動寬帶、海量機器類通信和低時延、高可靠三大業(yè)務(wù)場景[1]。與前幾代移動通信技術(shù)相比，5G不再是單純地解決網(wǎng)絡(luò)中的特異性問題，而強調(diào)整體的用戶體驗提升，接入網(wǎng)絡(luò)的時延降低，以及海量設(shè)備連接的質(zhì)量指標(biāo)[2]。為實現(xiàn)這些新要求和新性能，很多新技術(shù)在上一代的基礎(chǔ)上被應(yīng)用于通信中，例如大規(guī)模天線技術(shù)[3]、波束成形技術(shù)[4]以及認知無線電技術(shù)[5]。在這些新技術(shù)中，認知無線電由于其優(yōu)異的性能而受到廣泛關(guān)注。為實現(xiàn)這一技術(shù)，信號處理，尤其是信號在時頻域直接的轉(zhuǎn)化尤其重要，因此時頻域處理技術(shù)成為認知無線電技術(shù)中的一個重要方面。在諸多時頻域處理技術(shù)中，小波包變換由于其良好的抗干擾特性，被廣泛應(yīng)用于各類通信系統(tǒng)中。王桁、呂智勇等人利用小波包變換優(yōu)異的時頻域局部分析能力，通過將子帶功率比與最小功率閾值相結(jié)合，對衛(wèi)星直接序列擴頻通信中的干擾進行檢測與抑制，以增強其抗干擾能力[6]。陳宜文、許斌等人根據(jù)OFDM 信號與其他單載波信號具有不同的小波包分解特性，解決了電力線通信中低信噪比下OFDM信號檢測的問題[7]。文獻[8]在小波包變換的基礎(chǔ)上提出了一種根據(jù)頻率選擇的基于深層小波包多閾值去除干擾信號的方法，并將這種方法應(yīng)用到超寬帶系統(tǒng)中，來緩解超寬帶系統(tǒng)中的窄帶干擾。從上述文獻可以看出，小波包變換多被應(yīng)用于解決通信系統(tǒng)中的干擾抑制問題。但是小波包變換是在小波函數(shù)的基礎(chǔ)上完成的，而經(jīng)過一段時間的研究，各類小波函數(shù)已被大部分人所了解，因此當(dāng)通信過程中存在竊聽方時，在單純采用小波包變換進行通信時發(fā)送的信號很容易被竊聽方獲取。

加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換(Weighted Fractional Fourier Transform，WFRFT)是物理層安全領(lǐng)域的一項新技術(shù)，最初由Shi.C.C在1995年提出[9]，由于其具有諸多優(yōu)點，因此在近幾年受到了較多關(guān)注。梅林最早將WFRFT應(yīng)用于通信系統(tǒng)，并研究了WFRFT信號的特點及其抗截獲性能[10]，文獻[11-12]提出了WFRFT在物理層安全中的應(yīng)用，并證明了其抗竊聽和抗識別性能，WFRFT還與人工噪聲技術(shù)和TDCS技術(shù)結(jié)合，從而達到惡化竊聽方接收信號的目的[13]，文獻[14]將加權(quán)類分數(shù)階傅里葉變換處理后的信號與Logistic映射產(chǎn)生的混沌相位擾碼結(jié)合應(yīng)用于衛(wèi)星通信中，提出了一種衛(wèi)星混合載波混沌相位擾碼安全傳輸方案。WFRFT還能作為一種預(yù)編碼方案被應(yīng)用于通信系統(tǒng)，能夠在抑制窄帶干擾和降低峰均比等方面優(yōu)于原有系統(tǒng)[15-16]，文獻[17]分析了在WFRFT預(yù)編碼下廣義頻分復(fù)用(Generalized Frequency Division Multiplexing，GFDM)通信系統(tǒng)的誤碼性能，同時為解決參數(shù)單一的問題，多項WFRFT(M-WFRFT)[18]和多項多參WFRFT(MP-WFRFT)[19]被提出并應(yīng)用到信息安全中取得了較好的效果。

從上述文獻可以看出，同樣作為時頻域信號處理技術(shù)，小波包變換和加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換在性能上各有優(yōu)劣，本文在對這2種技術(shù)進行介紹的基礎(chǔ)上，通過仿真分析對比2種時頻域信號處理技術(shù)的優(yōu)勢與劣勢。

1 小波包變換和加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換概述

1.1 小波包變換

小波包變換是在小波變換的基礎(chǔ)上提出了一種時頻域變換，主要為了解決小波變換由于沒有對同一尺度上的細節(jié)分量進一步分解，造成高頻信息不能得到較好地處理這一問題，小波包是利用長度為2N的完全重構(gòu)正交濾波器組h0和h1構(gòu)造的，其函數(shù)由濾波器組遞歸定義，可表示為：

(1)

(2)

式中，n為非負整數(shù)，p0(x)和p1(x)為相應(yīng)的尺度函數(shù)和小波函數(shù)[20]，pn(x)稱為母函數(shù)，小波包函數(shù)具有以下特點：

① 小波包函數(shù)具有平移正交性，及對?k,j有：

〈pn(x-k),pn(x-j)〉=δkj；

(3)

② 由同一生成元尺度函數(shù)產(chǎn)生的小波包函數(shù)p2n(x)和p2n+1(x)，對任意的整數(shù)k和j有：

〈p2n(x-k),p2n+1(x-j)〉=0。

(4)

(5)

因此?j∈Z,j≠1有：

(6)

通過式(6)可以看出，小波包變換對空間Wj進行了更精細的劃分，從而能夠?qū)π盘柕母哳l分量進行分析。分析過程就是小波包分解和重構(gòu)的過程，其快速算法的迭代式為：

(7)

式中，fn為待分解信號，H和G分別為分解濾波器組，j=1,2,...,J,i=1,2,...,2j-1，J為最大小波包分解級數(shù)。

信號的小波包重構(gòu)即為其分解的逆過程，是由各級分解系數(shù)逐級迭代，從而恢復(fù)出原始信號，可表示為：

(8)

1.2 加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換

加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換是在分數(shù)階傅里葉變換的基礎(chǔ)上發(fā)展而來，由于相對于分數(shù)階傅里葉變換計算簡便而被逐漸應(yīng)用到通信領(lǐng)域[22-23]，其是由一系列變換基函數(shù)加權(quán)求和得到的，基函數(shù)均由待變換信號的傅里葉變換得到，對于任意一個信號，其傅里葉變換定義為：

(9)

根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)可得：

(10)

因此，加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換可定義為：

Fα[f(x)]=ω0(α)f(x)+ω1(α)F(x)+
ω2(α)f(-x)+ω3(α)F(-x)，

(11)

式中，ωl(α)為加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換的系數(shù)，其表達式為：

(12)

該系數(shù)滿足可加性，即

(13)

在此基礎(chǔ)上，文獻[24]通過研究將加權(quán)項數(shù)M由原來的4項擴展到了任意M≥3，即多項加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換，其系數(shù)和定義可以表示為：

(14)

M≥3，

(15)

在多項加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換的基礎(chǔ)上，可通過對加權(quán)系數(shù)進行一般化處理進一步增加幾圈變換的參數(shù)，從而強化其性能，由此可得到多項多參加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換，其變換系數(shù)和定義分別為：

(16)

(17)

式中，V=MV,NV為參數(shù)集合，MV=m0,m1,...,mM-1，NV=n0,n1,...,nM-1均為整數(shù)向量。

通過引入離散傅里葉變換以及定義置換矩陣P，加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換可以以離散的方式實現(xiàn)，從而更好地應(yīng)用于數(shù)字系統(tǒng)中，置換矩陣P的各個元素定義為Pm,k=δmodm+k,N。根據(jù)4項加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換中各項之間的關(guān)系，加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換的離散實現(xiàn)形式為：

Fα[x]= (ω0(α)I+ω1(α)F+

ω2(α)PI+ω3(α)PF)x，

(18)

式中，x為待變換的信號向量，I為單位矩陣，F(xiàn)為離散傅里葉變換的矩陣，其定義為：

(19)

令

Wα=ω0(α)I+ω1(α)F+ω2(α)PI+ω3(α)PF；

(20)

則4項加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換的離散形式可以表示為：

Fα[x]=Wαx。

(21)

由于多項加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換和多項多參加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換是從4項加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換的基礎(chǔ)上演變而來，因此其離散形式也可以通過4項加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換的離散形式得到，由式(14)～(17)可得，多項加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換和多項多參加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換可以表示為：

(22)

(23)

2 2種變換在變換域通信中的應(yīng)用

小波包變換和加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換作為一種時頻域的信號處理技術(shù)，可直接應(yīng)用于通信信號的傳輸中，即將信號變換到不同的域之后進行發(fā)送，然后在接收端采用相應(yīng)的方法恢復(fù)出原信號。同時，作為一種能對信號的域進行變換的信號處理方法，也可以應(yīng)用于變換域通信中，變換域通信系統(tǒng)(Transform Domain Communication System,TDCS)是一種在認知無線電、擴頻通信和變換域處理技術(shù)基礎(chǔ)上發(fā)展出來的一種無線通信系統(tǒng)，具有良好的抗干擾和抗截獲能力[25-26]。通過感知周圍環(huán)境的頻譜，變換域通信將其中占用的和存在干擾的頻率通過幅度成形形成0和1組成的譜函數(shù)，然后將譜函數(shù)與本地生成的隨機相位混合后形成本地基函數(shù)，使用基函數(shù)對信號進行調(diào)制后傳輸，調(diào)制的方法一般有雙極性調(diào)制和循環(huán)相移鍵控調(diào)制等方式，在接收端，接收機通過同樣的過程獲得生成基函數(shù)對信號進行解調(diào)，傳統(tǒng)的變換域通信在感知頻譜和生成基函數(shù)時采用的是傅里葉變換，如果用小波包變換和加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換替代傅里葉變換，則會形成基于小波包變換或加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換的變換域通信系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 變換域通信系統(tǒng)

將小波包變換和加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換引入變換域通信，讓變換域通信的可變換域有了更多的選擇，使得變換域通信能夠更加靈活，同時也增強了變換域通信的保密性。

3 2種變換在通信中的應(yīng)用對比仿真分析

對小波包變換和加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換直接應(yīng)用于通信中和應(yīng)用于變換域通信中的性能通過蒙特卡洛方法進行仿真分析，通信信道設(shè)置為高斯白噪聲信道，均值為0、方差為1，蒙特卡洛仿真次數(shù)設(shè)置為1 000次，小波包變換的層數(shù)設(shè)置為5層，不失一般性，加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換的階數(shù)設(shè)為0.5，因為在這個階數(shù)下其特性表現(xiàn)最為明顯，為不至于太復(fù)雜，這里只對4項加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換進行仿真。

首先對小波包變換和加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換直接在應(yīng)用于通信中的性能進行仿真，結(jié)果如圖2所示。

圖2 2種變換直接應(yīng)用于通信的性能對比

從圖中可知，由于小波包變換對信號進行高階的分解，因此在面對高斯白噪聲時，應(yīng)用小波包變換進行的通信能夠更好地消除噪聲的干擾，相比于加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換，其在高斯白噪聲信道下的誤碼性能更好，但是由于在信噪比較低時，對信號的分解會導(dǎo)致各個分量更容易受到噪聲的影響，因此在信噪比<5 dB時，直接應(yīng)用小波包變換進行通信要比應(yīng)用加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換通信的性能要差。

對小波包變換和加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換在變換域通信中的應(yīng)用進行對比分析，頻譜環(huán)境分別設(shè)置為單音干擾、多音干擾和10%窄帶干擾，仿真對比分別在調(diào)制方式為雙極性鍵控調(diào)制和循環(huán)移位鍵控調(diào)制2種調(diào)制方式下進行，仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 雙極性鍵控調(diào)制下變換域通信系統(tǒng)性能對比

圖4 循環(huán)移位鍵控調(diào)制下變換域通信系統(tǒng)性能對比

由圖3可知，基于加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換的變換域通信在誤碼性能上要優(yōu)于基于小波包變換的變換域通信，主要是由于在小波包變換在對信號進行分解的過程中，諸多分量之間存在一定的相關(guān)性，使得生成的基函數(shù)也存在一定的相關(guān)性，從而在解調(diào)的過程中誤碼性能受到影響，而從傅里葉變換發(fā)展而來的加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換則不存在這一問題，而且由于通過基函數(shù)避開了干擾頻段，因此基于加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換的變換域通信系統(tǒng)的誤碼性能要略優(yōu)于理論值。同時由圖4可知，基于小波包變換的變換域通信抗多音干擾的能力要優(yōu)于其他2種干擾方式，主要是由于在多音干擾環(huán)境下干擾出現(xiàn)在不同的位置，因此小波包變換生成的基函數(shù)相關(guān)性相比于其他2種干擾環(huán)境下要好。

最后對2種變換直接應(yīng)用于通信中時的安全性能進行仿真，仿真假設(shè)存在一個竊聽方且通過一定的方式了解到通信中應(yīng)用了這2種變換，繼而可知所應(yīng)用的小波包函數(shù)，考慮到當(dāng)前應(yīng)用的小波包函數(shù)種類不多，這是符合實際情況的，但是不知道加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換的階數(shù)，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 直接應(yīng)用2種變換進行通信時竊聽方的性能對比

由圖5可知，當(dāng)直接應(yīng)用加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換進行通信時，在竊聽方所掌握的變換階數(shù)有誤差的情況下，其接收信號的誤碼性能基本上無法保證信號的正常接收，誤碼率都比較高，而在采用小波包變換進行通信時，竊聽者一旦從應(yīng)用較多的小波包函數(shù)中選擇了正確的小波包函數(shù)，就能夠接收到正確的信號，從而獲取合法接收方的信息，使信息安全受到威脅。

4 結(jié)束語

通過對小波包變換和加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換的原理介紹和在不同應(yīng)用場景下的應(yīng)用對比分析，證明在直接應(yīng)用于通信時，小波包變換相比于加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換抗高斯白噪聲干擾的能力更強，但是在存在竊聽方時，其安全性較弱；在應(yīng)用于變換域通信時，加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換要優(yōu)于小波包變換，同時對于小波包變換自身而言，其抗多音干擾的能力要優(yōu)于抗單音干擾和10%窄帶干擾的能力。由此可知，在相對簡單的環(huán)境下可以利用小波包變換消除高斯白噪聲的干擾，而在有竊聽方等相對復(fù)雜的環(huán)境下，應(yīng)用加權(quán)分數(shù)階傅里葉變換及其與變換域通信技術(shù)的結(jié)合將會有更好的效果，從而為2種變換方式的選擇提供了依據(jù)。