考慮地球曲率情況下測(cè)向定位系統(tǒng)中的最優(yōu)交會(huì)角

白 晶，馬燕飛，劉曉麗

(1.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所,河北 石家莊 050081； 2.中國(guó)人民解放軍93558部隊(duì),河北 石家莊 050081)

0 引言

本文在文獻(xiàn)[2-3,10]的基礎(chǔ)上，在考慮地球曲率的情況下，研究了不同量測(cè)誤差條件和最小圓概率誤差(CEP)準(zhǔn)則下被動(dòng)測(cè)向交叉定位系統(tǒng)中的最優(yōu)交會(huì)角。

1 問題描述

圖1 NE平面內(nèi)的測(cè)向交叉定位示意圖

根據(jù)前面的假設(shè)和文獻(xiàn)[13-14],得到

(1)

且

(2)

其中

(3)

為坐標(biāo)變換矩陣且

(4)

其中

為地心固定坐標(biāo)系到傳感器1的局部NED坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。傳感器i的地心固定坐標(biāo)為：

(5)

其中

式中，Re為地球的長(zhǎng)半軸，∈為地球偏心率。

從圖1可得交叉定位方程

(6)

通過簡(jiǎn)單計(jì)算可得:

(7a)

和

(7b)

根據(jù)如圖1，目標(biāo)估計(jì)位置為:

(8a)

(8b)

利用式(8)可得:

(9)

其中

η2=cosφ1μ2/μ2,

η4=sinφ1μ2/μ2,

μ1=xNb11cosφ2+xNb12sinφ2-
xEa11cosφ2-xEa12sinφ2,

μ2=xNa12b11sinφ1+xEa11b12cosφ1-
xNa11b12sinφ1-xEa12b11cosφ1,

μ=b11cosφ1cosφ2+b12cosφ1sinφ2-
a11sinφ1cosφ2-a12sinφ1sinφ2。

那么，目標(biāo)位置估計(jì)誤差方差為：

(10a)

(10b)

2 最小圓概率意義下的最優(yōu)交會(huì)角

一種常用的度量定位誤差的指標(biāo)是圓概率誤差(CEP)。它是指目標(biāo)落入內(nèi)部的概率為50%的圓的半徑?？杀硎緸閇1]：

(11)

其中

(12)

顯然，最小化r0.5等價(jià)于最小化二元函數(shù)f(φ1,φ2)。式(12)兩邊分別對(duì)φ1和φ2求偏導(dǎo)并令它們等于零，可得:

(13a)

(13b)

其中

μ3=b11sinφ1cosφ2+b12sinφ1sinφ2+
a11cosφ1cosφ2+a12cosφ1sinφ2;

μ6=b11cosφ1sinφ2-b12cosφ1cosφ2-
a11sinφ1sinφ2+a12sinφ1cosφ2。

(14)

(15)

式中，jij(i,j=1,2)為函數(shù)fi(φ1,φ2)(i=1,2)對(duì)應(yīng)的雅可比矩陣的元素。根據(jù)Fi(i=1,2)的符號(hào)可判斷穩(wěn)定點(diǎn)的極值性。

3 數(shù)值計(jì)算和仿真結(jié)果

表1 不同k值對(duì)應(yīng)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果

圖2 最優(yōu)交會(huì)角與方差比值k的關(guān)系

圖3 圓概率誤差等值線，

圖4 圓概率誤差等值線，

從圖2～圖4和表1，可以得出：

① 當(dāng)k<0.5時(shí)，最優(yōu)交會(huì)角近似等于90°。顯然，此時(shí)CEP值達(dá)到最小值的目標(biāo)位置，無限接近或位于2部傳感器的基線上，且無法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行有效測(cè)向交叉定位。如圖3所示，此時(shí)的目標(biāo)位置無限接近傳感器2的位置。因此，此時(shí)可行的最優(yōu)交會(huì)角不存在。

② 當(dāng)k≥0.5時(shí)，存在可行的最優(yōu)交會(huì)角，且其值隨著方差比值k的增大而增大。對(duì)于給定的k，對(duì)應(yīng)2個(gè)相同的最優(yōu)交會(huì)角且CEP值達(dá)到最小值的2個(gè)目標(biāo)位置對(duì)稱于E軸。

4 結(jié)束語

通過理論分析和數(shù)值計(jì)算得到，考慮地球曲率時(shí)的測(cè)線交叉定位系統(tǒng)中的最優(yōu)交會(huì)角與2部被動(dòng)傳感器的角度量測(cè)誤差方差的比值有關(guān)。在實(shí)際工程應(yīng)用中可根據(jù)被動(dòng)傳感器的測(cè)角誤差方差之比，結(jié)合量測(cè)目標(biāo)分布情況選擇合理的布站方式，以得到高定位精度。文中得到的最優(yōu)交會(huì)角是通過數(shù)值計(jì)算得到的，所以這里的“最優(yōu)”不是嚴(yán)格意義下的最優(yōu)，只是漸進(jìn)或逼近意義下的最優(yōu)。同時(shí)，為了得到具體的交會(huì)角值，前面只給出了幾個(gè)典型k值對(duì)應(yīng)的最優(yōu)、次優(yōu)交會(huì)角，這里試圖給出一種解決問題的通用方法，可以擴(kuò)展到任意k值對(duì)應(yīng)的最優(yōu)、次優(yōu)交會(huì)角的求取。