基于不同控制算法的斜拉橋MR阻尼器半主動(dòng)控制研究
——以當(dāng)今世界最長(zhǎng)最寬多塔斜拉橋(嘉紹大橋)為例

方自奮

(廈門合立道工程設(shè)計(jì)集團(tuán)有限公司 福建廈門 361004)

0 引言

橋梁是當(dāng)今社會(huì)最重要的社會(huì)基礎(chǔ)設(shè)施之一，地震來臨時(shí)，橋梁能否保證其正常使用功能直接影響著抗震救災(zāi)行動(dòng)。近幾年，我國(guó)不少地方發(fā)生了幾次大地震，因?yàn)樵诘卣饋砼R之時(shí)沒有辦法保證橋梁的抗震性能，交通樞紐受到了破壞，導(dǎo)致我國(guó)經(jīng)濟(jì)受到了嚴(yán)重的損失，這種次生災(zāi)難產(chǎn)生也使很多無辜生命受到牽連。因此，人們?cè)诮ㄔO(shè)橋梁時(shí)都必須考慮其抗震能力，以減少災(zāi)害損失的程度[1]。而在橋梁抗震分析中，基于磁流變阻尼器的半主動(dòng)振動(dòng)控制，因其所需較少能源便能發(fā)揮較大功用的特性，且兼具被動(dòng)和主控制的優(yōu)點(diǎn)，成為目前最具發(fā)展前景的科研型課題之一[2-5]。但是，在半主動(dòng)控制中，不同的控制算法對(duì)控制設(shè)計(jì)系統(tǒng)影響較大，所設(shè)計(jì)出來的控制力控制特性也有較大區(qū)別。因此，本文以浙江嘉紹大橋?yàn)槔诨贏NSYS與MATLAB相互調(diào)用的基礎(chǔ)上數(shù)值仿真浙江嘉紹大橋的有限元基準(zhǔn)模型，并且對(duì)其進(jìn)行了LQR經(jīng)典最優(yōu)控制與獨(dú)立模態(tài)控制分別結(jié)合限界Hrovat最優(yōu)控制兩種不同控制算法的半主動(dòng)振動(dòng)控制分析，討論這兩種不同控制算法對(duì)于該橋梁半主動(dòng)振動(dòng)控制的影響。

1 基本理論公式

1.1 受控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)狀態(tài)描述

假定嘉紹大橋結(jié)構(gòu)模型自由度為n，控制裝置產(chǎn)生的控制力為U(t)，受到外界環(huán)境干擾力為F(t)，則該系統(tǒng)的受控運(yùn)動(dòng)方程[6]為：

(1)

式中X(t)為結(jié)構(gòu)位移向量；

M、K和C分別為結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣；

Ds、Bs分別為環(huán)境干擾力和控制力位置矩陣。

(2)

其中，In∈Rn×n為單位矩陣；0n為維零矩陣。

1.2 LQR經(jīng)典最優(yōu)控制

定義系統(tǒng)的二次型性能泛函為：

(3)

式中，Q是系統(tǒng)狀態(tài)矢量的權(quán)矩陣，為半正定矩陣；R是結(jié)構(gòu)控制力的權(quán)矩陣，為正定矩陣。

大橋整體系統(tǒng)狀態(tài)控制的任務(wù)為：在控制系統(tǒng)受到外界因素影響而偏離平衡狀態(tài)時(shí)，能夠施加以較小能量的控制輸入，使得系統(tǒng)趨近于平衡狀態(tài)。那么，LQR經(jīng)典最優(yōu)控制的問題就是在[t0,∞]范圍內(nèi)，求解最優(yōu)控制力U(t)，將系統(tǒng)由Z0狀態(tài)向零狀態(tài)附近轉(zhuǎn)移，并且使得性能泛函J取得最小值。

根據(jù)Riccati方程及變分法原理求解，可以得出最優(yōu)控制力為：

U(t)=-GZ(t)

(4)

G=R-1BTP

1.3 獨(dú)立模態(tài)控制算法

將運(yùn)動(dòng)方程(1)轉(zhuǎn)化為廣義坐標(biāo)方程，令系統(tǒng)的無阻尼陣型(模型)矩陣為Φ，可以通過模態(tài)變換[7]

X(t)=Φq(t)

(5)

式中，q(t)為體系的廣義模態(tài)坐標(biāo)向量。

聯(lián)立(1)、(5)方程式，并且左乘ΦT，可以得出廣義模態(tài)坐標(biāo)向量運(yùn)動(dòng)方程：

(6)

式中：

U*(t)=ΦTBsU(t)=LU(t)

(7)

(8)

其中，L=ΦTBs為n×p維矩陣，p為控制器數(shù)目。

則對(duì)于式(6)，總可以采用其他算法求出體系的方程最優(yōu)控制力U*(t)，表示為：

(9)

(10)

由式(5)、(7)和(10)聯(lián)立可得：

(11)

其中：

(12)

1.4 限界Hrovat最優(yōu)控制算法

基于MR阻尼器的限界Hrovat最優(yōu)控制算法，可以通過以下公式表達(dá)[6]：

(13)

當(dāng)磁流變液阻尼器所安裝的位置的振動(dòng)方向與最優(yōu)主動(dòng)控制力方向相反時(shí)，且|u|≥udmax，通過調(diào)整參數(shù)施加阻尼器的最大阻尼出力；當(dāng)振動(dòng)方向與最優(yōu)主動(dòng)控制力方向相反時(shí)且|u|

2 MR阻尼器控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1 斜拉橋基本控制原理

磁流變阻尼器控制系統(tǒng)，由傳感器(包括數(shù)據(jù)采集儀器)、控制器和磁流變阻尼器作動(dòng)器三部分組成，具體流程為[8]：首先，通過傳感器測(cè)量嘉紹大橋在地震作用的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，反饋到控制器電腦當(dāng)中；然后，控制器電腦按照設(shè)計(jì)好的LQR經(jīng)典最優(yōu)控制，或獨(dú)立模態(tài)控制，結(jié)合限界Hrovat最優(yōu)控制算法，計(jì)算出半主動(dòng)控制力，再根據(jù)半主動(dòng)控制力由針對(duì)于MRD的算法計(jì)算出所需施加在磁流變阻尼器上的電壓；最后，將所計(jì)算電壓施加到磁流變阻尼器上，驅(qū)動(dòng)磁流變阻尼器產(chǎn)生所需要的控制力，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的半主動(dòng)控制，如圖1所示。

圖1 半主動(dòng)控制流程

橋梁在地震作用下的外部控制力可以表示為：

(14)

式中，G1和G2分別為控制力對(duì)位移和速度的反饋增益矩陣。

將式(14)代入式(1)即可得到運(yùn)動(dòng)方程為：

(15)

從式(15)可以看出，斜拉橋半主動(dòng)振動(dòng)控制的原理，即通過對(duì)結(jié)構(gòu)施加控制力，改變結(jié)構(gòu)自身剛度和阻尼等動(dòng)力特性，控制結(jié)構(gòu)在地震作用下振動(dòng)響應(yīng)。

2.2 控制目標(biāo)

該控制系統(tǒng)磁流變液桿系阻尼器作為作動(dòng)器，是建立在結(jié)構(gòu)具有相對(duì)位移的前提下才能發(fā)揮其功用。經(jīng)過對(duì)嘉紹大橋有限元基準(zhǔn)模型的進(jìn)一步分析，可以知道，模型里面僅有從左側(cè)起1塔、3塔、4塔、6塔塔梁結(jié)合處及墩梁結(jié)合處具有縱向相對(duì)位移。本文將磁流變液阻尼器沿縱向施加在1塔、3塔、4塔、6塔塔梁結(jié)合處，即在該塔梁結(jié)合處施加縱向控制力，塔梁結(jié)合處的控制力同時(shí)作用在主塔及主梁上，作用的主梁及主塔上的控制力大小相等，方向相反。因?yàn)橹髁簽槿嵝詷?gòu)件，施加在主梁上的縱向控制力，除了可以減少主梁縱向響應(yīng)以外，還可能對(duì)主梁豎向響應(yīng)起到控制效果；而主塔為剛性構(gòu)件，施加在主塔的縱向控制力幾乎對(duì)主塔的橫向響應(yīng)沒有控制效果。

綜上所述，可以得出本文針對(duì)嘉紹大橋主要振動(dòng)控制目標(biāo)為：主梁縱向位移、主梁豎向位移、主塔縱向位移、主塔縱向剪力、主塔縱向彎矩以及塔(墩)梁結(jié)合處相對(duì)位移。

2.3 MR阻尼器控制算法

通常主動(dòng)及半主動(dòng)振動(dòng)控制，只需要建立起輸出響應(yīng)與控制力之間的反饋關(guān)系即可，而基于磁流變阻尼器的半主動(dòng)振動(dòng)控制還需求解出施加在磁流變阻尼器上的電壓，因?yàn)槭┘釉谧枘崞魃系碾妷翰⒉慌c阻尼力成線性關(guān)系。目前主要求解磁流變阻尼器控制電壓的算法，有Bing-Bang控制算法、基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的控制算法及Clipped-Optimal剪切形最優(yōu)控制算法等[9]。本文求解磁流變阻尼器控制電壓的算法為基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的控制算法。

通過以上原理，采用Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)磁流變阻尼器控制器，如式(16)所示[10]：

(16)

式中：

(17)

ATP+PA=-QP

(18)

對(duì)式(16)求導(dǎo)，可以得出：

(19)

vi=VmaxH((-z)TPBifi)

(20)

式中,Vmax為磁流變阻尼器上可施加的最大電壓值；

Bi為控制力位置矩陣B的第i列；

fi為控制器計(jì)算出來第i個(gè)磁流變阻尼器所貢獻(xiàn)的阻尼力；

vi為計(jì)算所需施加在磁流變阻尼器上的控制電壓；

H為權(quán)函數(shù)。

表達(dá)式為：

(21)

3 數(shù)值模擬

3.1 背景工程

浙江嘉紹大橋自紹興上虞起，跨越錢塘江水域至嘉興海寧，采用的是典型的六塔獨(dú)柱四索面鋼箱梁斜拉橋設(shè)計(jì)方案，橋跨跨徑布置為70+200+5×428+200+70m，主橋由連續(xù)的五跨六塔斜拉橋所組成，每跨428m，寬度為55.6m，全橋長(zhǎng)度為10.137km，結(jié)構(gòu)形式為兩個(gè)三塔一聯(lián)對(duì)稱結(jié)構(gòu)，兩個(gè)三塔之間采用一抽屜型剛性鉸相連接。橋梁設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期為100年，抗震設(shè)防烈度為6度，場(chǎng)地土類別為Ⅳ類，如圖2所示。

圖2 嘉紹大橋結(jié)構(gòu)布置詳圖(單位：cm)

根據(jù)嘉紹大橋橋址的地質(zhì)條件，在太平洋地震研究中心選取3條適應(yīng)該工程的地震波，并將此3條地震波加速度時(shí)程曲線峰值調(diào)為0.1392g，表1為所選取3條地震波初始參數(shù)，圖3為調(diào)整后的加速度時(shí)程曲線。

表1 選取地震波參數(shù)

(a)DZ1 (b)DZ2 (c)DZ3

圖3 地震波加速度時(shí)程曲線

3.2 控制效果分析

將所選取的地震波按1(縱橋向)+0.65(豎橋向)模式輸入嘉紹大橋有限元模型當(dāng)中，進(jìn)行兩種不同控制算法的半主動(dòng)振動(dòng)控制模擬。其中，令模型沒有采取任何控制措施為方案0；對(duì)模型進(jìn)行LQR半主動(dòng)控制為方案1；對(duì)模型進(jìn)行獨(dú)立模態(tài)半主動(dòng)控制為方案2。選取3條地震波計(jì)算結(jié)果最大值分析，圖4為嘉紹大橋控制效果對(duì)比圖。

由圖4可以看出：

(1)未施加控制前，主梁縱向位移形狀近似為兩個(gè)相近的V字形，鋼性餃部位及墩跨位置幅值最大，主梁豎向位移形狀近似為余弦函數(shù)形，除左墩跨跨中幅值較小外，各跨跨中幅值較為接近，塔(墩)梁結(jié)合處相對(duì)位移形狀近似為W形，墩跨位置幅值最大。

(a)主梁縱向位移控制效果圖

(b)主梁豎向位移控制效果圖

(c)塔(墩)梁結(jié)合處相對(duì)位移控制效果圖圖4 主梁控制效果對(duì)比圖

(2)基于LQR經(jīng)典最優(yōu)控制與獨(dú)立模態(tài)控制分別結(jié)合限界Hrovat最優(yōu)控制的兩種半主動(dòng)振動(dòng)控制，針對(duì)主梁地震響應(yīng)均有較好的控制效果，其中，方案1針對(duì)主梁的縱向位移控制效果最大可達(dá)28.5%，針對(duì)主梁的豎向位移控制效果最大可達(dá)30.6%，針對(duì)塔(墩)梁結(jié)合處相對(duì)位移控制效果最大可達(dá)30.6%；獨(dú)立模態(tài)半主動(dòng)控制，針對(duì)主梁的縱向位移控制效果最大可達(dá)29.3%；方案2針對(duì)主梁的豎向位移控制效果最大可達(dá)32.7%，針對(duì)塔(墩)梁結(jié)合處相對(duì)位移控制效果最大可達(dá)29.1%。

(3)主梁地震響應(yīng)，除較少區(qū)域采用LQR經(jīng)典半主動(dòng)控制控制效果更好外，其余區(qū)域均是采用獨(dú)立模態(tài)半主動(dòng)控制效果更優(yōu)。如，主梁右邊跨跨中的縱向位移，方案1控制效果為14.8%，而方案2控制效果為28.8%；主梁中跨跨中的豎向位移，方案1控制效果為20.8%，而方案2控制效果為32.7%；左側(cè)墩梁結(jié)合處的相對(duì)位移主梁，方案1控制效果為3.5%，而方案2控制效果為12.8%。即主梁地震響應(yīng)整體上采用獨(dú)立模態(tài)半主動(dòng)控制，控制效果相對(duì)于LQR經(jīng)典半主動(dòng)控制更優(yōu)。

圖5是主塔(墩)控制效果對(duì)比圖，由圖5可以看出：

(a)塔(墩)頂縱向位移控制效果圖

(b)塔(墩)底縱向剪力控制效果圖

(c)塔(墩)底縱向彎矩控制效果圖圖5 主塔(墩)控制效果對(duì)比圖

(1)未施加控制前，主塔塔頂縱向位移6塔最大，3塔其次，其余各塔較為接近；主塔縱向剪力及彎矩分布趨勢(shì)相似，除2、5塔較大外，其余各塔較為接近。

(2)基于LQR經(jīng)典最優(yōu)控制與獨(dú)立模態(tài)控制分別結(jié)合限界Hrovat最優(yōu)控制的兩種半主動(dòng)振動(dòng)控制，針對(duì)主塔地震響應(yīng)均有較好的控制效果，其中，方案1針對(duì)主塔塔頂?shù)目v向位移控制效果最大可達(dá)30.4%，針對(duì)主塔塔底的縱向剪力控制效果最大可達(dá)28.1%，針對(duì)主塔塔底的縱向彎矩控制效果最大可達(dá)31.4%；方案2針對(duì)主塔塔頂?shù)目v向位移控制效果最大可達(dá)27.4%，針對(duì)主塔塔底的縱向剪力控制效果最大可達(dá)35.7%，針對(duì)主塔塔底的縱向彎矩控制效果最大可達(dá)35.2%。

(3)主塔地震響應(yīng)，除較5塔采用LQR經(jīng)典半主動(dòng)控制，控制效果更好；4塔采用兩種控制方案，控制效果幾乎一樣外，其余區(qū)域均是采用獨(dú)立模態(tài)半主動(dòng)控制效果更優(yōu)。如2塔塔頂?shù)目v向位移，方案1控制效果為18.8%，而方案2控制效果為25.7%；2塔塔頂?shù)目v向剪力，方案1的控制效果為23.7%，而方案2的控制效果為35.7%；2塔塔頂?shù)目v向彎矩，方案1的控制效果為18.9%，而方案2的控制效果為35.2%。即主塔地震響應(yīng)，整體上采用獨(dú)立模態(tài)半主動(dòng)控制的控制效果，相對(duì)于LQR經(jīng)典半主動(dòng)控制更優(yōu)。

(4)由于墩梁結(jié)合處釋放縱向位移約束，且沒有施加磁流變液阻尼器，橋墩在縱向自由度上類似于獨(dú)立懸臂梁結(jié)構(gòu)，橋墩的地震響應(yīng)不受控制影響。

3.3 控制力對(duì)比

本文在對(duì)嘉紹大橋有限元模型進(jìn)行基于LQR經(jīng)典最優(yōu)控制與獨(dú)立模態(tài)控制分別結(jié)合限界Hrovat最優(yōu)控制的兩種半主動(dòng)振動(dòng)控制進(jìn)行模擬的時(shí)候，調(diào)整控制參數(shù)，使兩種半主動(dòng)控制的控制出力盡量相近。以下分別給出兩種方案中，1塔塔梁結(jié)合處作用在主梁上的控制力時(shí)程，及所有阻尼器施加位置上的最大控制出力，如圖6～圖7所示。

圖6 方案1控制力時(shí)程曲線

圖7 方案2控制力時(shí)程曲線

表2是各塔半主動(dòng)控制最大出力(×107N)。

表2 半主動(dòng)控制最大出力(×107N)

基于目前國(guó)際上磁流變阻尼器500kN的最大阻尼出力及表2可知：要完全實(shí)現(xiàn)計(jì)算所得的控制最大出力LQR經(jīng)典半主動(dòng)控制至少需要162(48+35+37+42)個(gè)磁流變阻尼器，而獨(dú)立模態(tài)半主動(dòng)控制至少需要159(47+36+35+41)個(gè)磁流變阻尼器。即采用獨(dú)立模態(tài)半主動(dòng)控制所需的控制代價(jià)低于LQR經(jīng)典半主動(dòng)控制所需的控制代價(jià)。

4 結(jié)論

本文將所選取地震波按考慮地震波剪切波速為1000，且輸入方式為1(縱橋向)+0.65(豎橋向)模式輸入嘉紹大橋有限元模型當(dāng)中，然后再針對(duì)嘉紹大橋的地震響應(yīng)，進(jìn)行基于LQR經(jīng)典最優(yōu)控制與獨(dú)立模態(tài)控制，分別結(jié)合限界Hrovat最優(yōu)控制兩種不同控制算法的半主動(dòng)振動(dòng)控制模擬，最后對(duì)這兩種不同控制方案進(jìn)行了控制出力、主梁控制效果及主塔控制效果三方面的對(duì)比分析。

通過本文前面的對(duì)比分析可以發(fā)現(xiàn)，采用獨(dú)立模態(tài)半主動(dòng)控制相對(duì)于LQR經(jīng)典半主動(dòng)控制具有：(1)控制所需的磁流變阻尼器個(gè)數(shù)更少；(2)針對(duì)主梁地震響應(yīng)(主梁縱向位移、主梁豎向位移及塔(墩)梁相對(duì)位移)控制效果更優(yōu)；(3)針對(duì)主塔地震響應(yīng)(主塔縱向位移、主塔縱向剪力及主塔縱向彎矩)控制效果更優(yōu)。即采用獨(dú)立模態(tài)半主動(dòng)控制相對(duì)于LQR經(jīng)典半主動(dòng)控制，可以在較少控制代價(jià)的前提下取得更優(yōu)的控制效果，驗(yàn)證了本文所選獨(dú)立模態(tài)控制算法，結(jié)合限界Hrovat最優(yōu)控制算法，作為主要半主動(dòng)振動(dòng)控制算法，針對(duì)嘉紹大橋這一實(shí)際工程項(xiàng)目具有較好的優(yōu)越性與適用性。