初步解析A-子空間性質(zhì)

開(kāi)磊

（安徽省合肥市安徽新華學(xué)院，安徽 合肥 230088）

一、子空間概念和意義

特定類型拓?fù)淇臻g就是子空間，若拓?fù)淇臻g為（X，T），X的非空子集是Y，存在族U={U|U=G∩Y，G∈T}，其作為Y的拓?fù)?，那么T于Y中的相對(duì)拓?fù)錇閁，而(X，T)的子空間就是(Y，U)拓?fù)淇臻g[1]。

基于各個(gè)領(lǐng)域下的子空間的含義也會(huì)有所不同。數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的子空間意義為維度比全空間要小的部分空間。從本質(zhì)上看，空間就是特定性質(zhì)的集合，所以子空間也屬于子集合?；谟钪孢@個(gè)大空間下，眾多獨(dú)立的小空間即為子空間，這些空間具備獨(dú)立領(lǐng)域。將此概念應(yīng)用到科幻領(lǐng)域內(nèi)，若設(shè)定于星際旅行中，作為特殊性的額外連續(xù)體，存在同常規(guī)（3+1）不同的維時(shí)空連續(xù)體。該假設(shè)最初目的為擺脫愛(ài)因斯坦相對(duì)論的思想，不會(huì)受限于光速[2]。因?yàn)橛钪婵臻g非常廣闊，因此要想使訊號(hào)增強(qiáng)，傳遞速度提升，可以對(duì)子空間訊息中繼站進(jìn)行設(shè)立。降低慣性質(zhì)量也是子空間的運(yùn)用方向之一，在星際旅行中也有著運(yùn)用。

定理1 假定A I L ( V (K ) ) ， dimV(K ) = n，V ( K ) 下A-子空間為W， 那么W一定涵蓋了A 的某特征向量。此處 V(K ) 代表的是復(fù)數(shù)域上K 下n 維線性空間，L( V(K ) ) 代表V( K ) 上線性變換的全體， A-子空間代表的是線性變換A 的不變子空間。

推論1[ 1，定理1] 假定A是n 階矩陣， 任意n 維非零向量表示成X，那么必定具有A 的特征向量G，滿足GI L (X， AX，A2X) ，L (X， AX，A2X) 代表的是因X， AX， A2X， 是生成元的生成子空間。

證 能夠看出L (X, AX, A2X, ,) 為A-子空間，L ( X, AX, A2X, ,) 涵蓋A 的特征向量G.

注 以上分析L( X， AX， A2X， ，) 內(nèi)生成元僅為有限個(gè)。但是實(shí)際上，具有某有限數(shù)k， 滿足序列X， AX， A2X， ，可以通過(guò)X， AX， A2 X， ，， AkX 線性代表達(dá)(不然， 能夠得知序列X， AX， A2X， ，， Ak- 1X， ，下存在大于n 個(gè)線性無(wú)關(guān)向量的向量組同之前推測(cè)相沖突)

推論2 假定V 為復(fù)數(shù)域K 中n 維線性空間， V中線性變換是A和B ，同時(shí)AB = B A ， 那么A和B 中的公共特征向量肯定大于等于一個(gè)。

證 由于復(fù)數(shù)域K 中n 維線性空間的線性變換是A ，所以A 一定存在特征值。假定K0 就存在于其中，很容易得知VK0為子空間，同時(shí)B-子空間為VK0, 所以VK0 內(nèi)存在B下單個(gè)特征向量，表示成A，那么A就是A和B 下單獨(dú)公共特征向量.

注 推論2結(jié)合條件: 若A 存在的不同特征向量為n 個(gè)， 那么得知A和 B 存在共同n 個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量，則A和B 能夠同時(shí)對(duì)角化。

不然， A 和 B 能夠同時(shí)對(duì)角化，可以證明A B= BA 。

推論3 假定A 和B 為復(fù)數(shù)域n 維線性空間V 下線性變換， 同時(shí)滿足A B= AB ， 那么B ( V ) 和B - 1 ( 0) 均涵蓋A 特征向量。

證 隨機(jī)選擇BG I B( V )， A ( BG) = B ( AG) I B( V ) ， 那么B ( V) 為A-子空間; 隨機(jī)選擇GI B- 1( 0) ， B ( A G)= (B A) G= ( AB) G= A (B G) = A( 0) = 0， 那么A G I B- 1 ( 0) ， 也就是B- 1 ( 0) 為A-子空間， 結(jié)合定理1， 能夠驗(yàn)證命題。

推論4 假定W1和W2 均為A-子空間，那么W1+ W2以及 W1 HW2 都涵蓋A 特征向量。

證 能夠發(fā)現(xiàn)W1 + W2 和W1 HW2 均為A-子空間就行。

借助推論2，對(duì)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行應(yīng)用就能夠?qū)Y(jié)構(gòu)進(jìn)行驗(yàn)證。

定理2 假定A ， B I L ( V(K ) ) ， dimV (K ) = n， A B= BA ， 那么有V( K ) 適當(dāng)?shù)幕?滿足A ， B 基于此基下的矩陣是上三角陣。

二、A-子空間的性質(zhì)案例研究

學(xué)習(xí)高等代數(shù)時(shí)，對(duì)于線性變換對(duì)角化的內(nèi)容，對(duì)A－子空間理論進(jìn)行了構(gòu)建。

定義1 假定A 為數(shù)域F中的向量空間V 的線性變換，V 的子空間為W。若W 的向量于A 下的像同樣存在于W內(nèi)，也就是，W內(nèi)任機(jī)向量ξ，滿足Aξ∈W，可以說(shuō)W為A 的不變子空間，簡(jiǎn)稱為A-子空間[3]。可以結(jié)合案例對(duì)A-子空間的性質(zhì)進(jìn)行分析。

定理1 若W 未域F中向量空間V 的某子空間，那么W為數(shù)乘變換的不變子空間( K-子空間) .

證明 假定/α∈W，k∈F，因?yàn)橛騀中向量空間V的某子空間是W，因此kα∈W，也就是數(shù)乘變換的不變子空間是W，W就是 K-子空間。

定理2 假定向量空間V 的線性變換為A，若W1和W2 均為A－子空間，那么W1 + W2和W1∩W2 同樣均為A－子空間。

證明 第一步要對(duì)W1 + W2 為A－子空間進(jìn)行驗(yàn)證。

假定/α∈W1 + W2，也就是α = α1 + α2，α1∈W1，α2∈W2，那么Aα = A( α1 + α2 ) = Aα1 + Aα2，同時(shí)由于W1，W2均為A－子空間，因此Aα1∈W1，Aα2∈W2，那么Aα1∈W1 + W2，所以，W1 + W2為A－子空間。

依據(jù)上述理論同樣能夠證明W1∩W2為A－子空間。

定理3 假定A和B 均為向量空間V 的線性變換，若W 不僅為A－子空間，同樣也是B－子空間，那么W 為( A+ B)－子空間，( AB)－子空間。

證明 第一步要對(duì)W為( A + B)－子空間進(jìn)行驗(yàn)證。

假定/α∈W，由于W 一方面為A－子空間，另一方面也為B－子空間，因此Aα∈W，Bα∈W，那么( A + B) ( α) = Aα +Bα∈W，所以W 為( A + B)－子空間。

依據(jù)上述理論同樣能夠證明W 為( AB)－子空間。