挖掘圖形的幾何性質(zhì)解決幾何問題

葉 欣

(北京市北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué) 100020)

在解決解析幾何問題時(shí)立足于幾何角度進(jìn)行分析，運(yùn)用“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的策略往往能更有效地解決問題.本文僅以2018年幾道高考試題為例進(jìn)行簡要分析.

分析本題看似復(fù)雜，同時(shí)涉及兩條圓錐曲線，在教學(xué)過程中要幫助學(xué)生養(yǎng)成畫圖分析的習(xí)慣，畫圖后分析會(huì)發(fā)現(xiàn)本題實(shí)際只是直線與橢圓的關(guān)系.而題目中的正六邊形提供了很多特殊的角度和線段之間的關(guān)系，又因?yàn)樯婕敖裹c(diǎn)與橢圓上點(diǎn)的連線可以利用上橢圓的定義.如此眾多的幾何圖形為我們提供了豐富的幾何背景，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘其中的幾何性質(zhì)，可以使問題迎刃而解.

例4 (2018年高考全國3卷第16題)已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若∠AMB=90°,則k=____.

分析本題是關(guān)于直線與拋物線位置關(guān)系的問題，學(xué)生習(xí)慣的解法是直接設(shè)直線方程與拋物線聯(lián)立得根與系數(shù)的關(guān)系，再依據(jù)條件∠AMB=90°利用向量的數(shù)量積或斜率乘積解決問題，如此問題雖然可解但對(duì)于填空題而言運(yùn)算量頗大.教學(xué)中如果能引導(dǎo)學(xué)生注意到直線AB過拋物線焦點(diǎn)，利用拋物線定義并進(jìn)一步挖掘所構(gòu)造圖形中的幾何性質(zhì)，則問題可以迎刃而解.

(1)求橢圓的方程；

解析幾何是“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，其中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用就非常廣泛.在教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生不斷經(jīng)歷解析幾何的研究過程：要解決怎樣的幾何問題——結(jié)合條件及圖形分析幾何對(duì)象的幾何特征——將幾何特征代數(shù)化(用代數(shù)語言描述幾何要素及其關(guān)系)——通過運(yùn)算解決代數(shù)問題——分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義——最終解決幾何問題.如果能充分利用已知條件挖掘題目中圖形的幾何性質(zhì)，借助幾何圖形的直觀性，運(yùn)用平面幾何的知識(shí)，就可以有效解決解析幾何問題.