一元二次不等式解法的“逆向應(yīng)用”

王繼山

(遼寧省葫蘆島市第一高級(jí)中學(xué) 125100)

一元二次不等式解法的“逆向應(yīng)用”，可以借助二次函數(shù)的圖象，對(duì)二次不等式中的參數(shù)進(jìn)行求解，或是比較大小，同時(shí)也可以通過對(duì)一元二次不等式進(jìn)行等價(jià)變形，巧妙地解決問題.解一元二次不等式作為解決問題的基本運(yùn)算，在新課改的高考的考查中通常蘊(yùn)含在題目的計(jì)算過程中，而含有參數(shù)的問題又是高考中常考的知識(shí)點(diǎn)．

一、借助二次函數(shù)的圖象，巧解含參二次不等式問題

(2)如果關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集為{x|xn}(m0的解集.

分析借助對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖象及給定不等式的解集，我們可得到對(duì)應(yīng)二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根和二次項(xiàng)系數(shù)與零的大小關(guān)系，這就是此類問題的求解思路.

評(píng)注(1)若給定一元二次不等式的解集為{x|a≤x≤b}或{x|x≤a或x≥b}或{x|ab}的形式，則對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是a和b.

二、借助等價(jià)變形，巧解含參分式不等式問題

故所求不等式的解集為{x|-2≤x<1}.

評(píng)注(1)由分母x-a≠0 及題設(shè)可求得a=2，這是本題整個(gè)分析、求解的切入點(diǎn).(2)一般地，求解分式不等式時(shí)要特別關(guān)注轉(zhuǎn)化的等價(jià)性；否則，極易出錯(cuò).

三、借助二次函數(shù)的圖象，巧解比較大小問題

例3 已知函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+1，且a

分析本題可以借助二次函數(shù)f(x)的圖象來分析，通過探究實(shí)數(shù)a,b,m,n對(duì)應(yīng)的幾何意義，以便從“形”的角度順利獲解.

解析如圖，先作直線y=1的圖象，再作f(x)的圖象，二者交于A、B兩點(diǎn).

∵方程f(x)=0的兩根分別為m和n，且m

∴根據(jù)題設(shè)條件就可以確定m和n在圖象上的實(shí)際位置，即f(x)與x軸的交點(diǎn)，且m

∵方程f(x)=1，即(x-a)(x-b)=0的兩根分別為

a和b，且a

故由圖觀察即知，所求實(shí)數(shù)a,b,m,n的大小關(guān)系是a

評(píng)注一般地，運(yùn)用圖象法分析、解決問題時(shí)，必須明確方程f(x)=c的根就是函數(shù)f(x)的圖象與直線y=c的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；特別地，方程f(x)=0的根就是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

綜上，運(yùn)用一元二次不等式的解題方法對(duì)函數(shù)定義域、值域以及以后處理的其它類型不等式,都起著十分重要的作用.逆向應(yīng)用一元二次不等式的解法的關(guān)鍵在于：要善于聯(lián)系對(duì)應(yīng)二次方程的根或?qū)?yīng)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行靈活地思考、分析.