奇妙的勾股數(shù)

陳壽來

3、4、5是一組有趣的數(shù)字：32+42=52。5、12、13也是同樣的關(guān)系：52+122=132。還有8、15、17，82+152=172。這樣一組三個(gè)正整數(shù)a、b、c，滿足a2+b2=c2這個(gè)關(guān)系，叫作勾股數(shù)，也叫“畢氏三元數(shù)”。

據(jù)考證，遠(yuǎn)在公元前1800年，古巴比倫人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了若干組勾股數(shù)。中國歷史上的《周髀算經(jīng)》（成書于公元前500年左右）記載，遠(yuǎn)在公元前1100年，西周時(shí)代的數(shù)學(xué)家商高也已經(jīng)觀察到（3，4，5）是一組勾股數(shù)的例子。

從形的角度，我們已經(jīng)知道如果一組勾股數(shù)作為一個(gè)三角形的三條邊，那么這就一定是個(gè)“完美”的直角三角形。從數(shù)的角度，我們知道一組勾股數(shù)（a，b，c）一定滿足a2+b2=c2。除了這些，從數(shù)的角度看，勾股數(shù)還有哪些奇妙的地方呢？

首先，如果（a，b，c）是一組勾股數(shù)，把a(bǔ)、b、c都乘上一個(gè)正整數(shù)，當(dāng)然（ka，kb，kc）也是一組勾股數(shù)。例如（3，4，5）是一組勾股數(shù)，（6，8，10）（30，40，50）也是。根據(jù)這個(gè)結(jié)論，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)肯定有無數(shù)組。

讓我們排除這種延伸，規(guī)定a、b、c中任何兩個(gè)數(shù)字都是互質(zhì)的，就是在正整數(shù)范圍內(nèi)，任何兩個(gè)數(shù)除了1以外沒有公因數(shù)。那么還有多少組勾股數(shù)呢？答案還是無窮的。遠(yuǎn)在古希臘時(shí)期，數(shù)學(xué)家歐幾里得就已經(jīng)得出了這個(gè)結(jié)論。在這個(gè)前提下，還有哪些有趣而且似乎讓人意料不到的結(jié)論呢？

1.在a、b、c中，a和b一個(gè)是奇數(shù)、一個(gè)是偶數(shù)。

2.在a、b、c中，c一定是奇數(shù)。

3.在a、b中，有且只有一個(gè)數(shù)字能被3整除。

4.在a、b中，有且只有一個(gè)數(shù)字能被4整除。

5.在a、b、c中，有且只有一個(gè)數(shù)字能被5整除。

6.在a、b、a+b、a-b中，有且只有一個(gè)數(shù)字能被7整除。例如在（3，4，5）中，3+4=7，能被7整除;在（8，15，17）中，15-8=7，能被7整除。

7.在a+c、b+c、c-a、c-b中，有且只有一個(gè)數(shù)字能被8整除，有且只有一個(gè)數(shù)字能被9整除。例如在（3，4，5）中，3+5=8，能被8整除;4+5=9，能被9整除。

8.c本身也一定是兩個(gè)正整數(shù)平方的和。例如在（3，4，5）中，5=12+22;在（8，15，17）中，17=12+42。

9.在a、b、c中，最多只有一個(gè)數(shù)字是完全平方數(shù)。例如在（3，4，5）中，4是2的平方;在（8，15，17）中，沒有一個(gè)是完全平方數(shù)。

其實(shí)勾股數(shù)還有很多奇妙的地方，有興趣的同學(xué)可以自己去發(fā)現(xiàn)哦！

（作者單位：江蘇省太倉市第一中學(xué)）