解析幾何中與兩角相等相關問題的解題思路

云南省玉溪第一中學(653100) 武增明

角是解析幾何中研究的重要元素,在近幾年的高考中,解析幾何中與兩角相等的相關問題經(jīng)常出現(xiàn),其涉及的知識面廣,題目靈活多變,答題難度較大,是高考解析幾何試題中的熱點之一,所以在復習解析幾何時要加以一定的重視,對解決兩角相等的相關問題要進行歸納總結,找出規(guī)律.[5]

1.利用平面向量數(shù)量積公式證明兩角相等

向量作為一種既有大小又有方向的量,既具備形的特性,又具備數(shù)的特性,因而成為聯(lián)系數(shù)與形的有力紐帶,成為處理數(shù)學問題的有力工具,而解析幾何實質(zhì)是用代數(shù)的方法解決幾何的問題,這勢必讓向量與解析幾何有著非常密切的聯(lián)系.而向量的數(shù)量積是實現(xiàn)數(shù)與形轉化的關鍵,從向量的內(nèi)積公式a·b=|a|·|b|·cosθ中,我們可得到求角的另一種常見的方法.[5]

例1(2005年高考江西卷理科第22題)如圖1,設拋物線C:y=x2的焦點為F,動點P在直線l:x-y-2=0上運動,過P作拋物線C的兩條切線PA、PB,且與拋物線C分別相切于A、B兩點.

(I)求△APB的重心G的軌跡方程;

(II)證明∠PFA=∠PFB.[3]

解析(I)設切點A,B坐標分別為x0,和x1,(x1/=x0),所以切線AP的方程為2x0x-切線BP的方程為.解得P點的坐標為所以△APB的重心G的坐標為所以yP=,由點P在直線l上運動,從而得到重心G軌跡方程為x-(-3y+4x2)-2=0,即

圖1

同理有

所以∠AFP=∠PFB.

評注此題的第(II)問是阿基米德三角形的一個性質(zhì).

刻意練習(長沙市2019屆高三統(tǒng)一模擬考試理科數(shù)學第19題)已知橢圓=1(a＞b＞0)的離心率為,左、右焦點分別為F1,F2,A為橢圓C上一點,AF1與y軸相交于點B,|AB|=|F2B|,|OB|=

(I)求橢圓C的方程;

(II)設橢圓C的左、右頂點分別為A1,A2,過A1,A2分別作x軸的垂線l1,l2,橢圓C的一條切線l:y=kx+m(k/=0)與l1,l2分別交于M,N兩點,求證:∠MF1N=∠MF2N.

2.利用斜率公式證明兩角相等

斜率是解析幾何中刻畫角的重要工具,相比其它的角的轉化方法,利用斜率來計算角的大小,其優(yōu)點在于計算量相對小,但是所相關的角的頂點必須在x軸上.所以在解題時要認真審題,合理地將相關的角轉換為直線的傾斜角.[5]

例2(2006年高考浙江卷·理19)如圖2,橢圓=1(a＞b＞0)與過點A(2,0),B(0,1)的直線有且只有一個公共點T,且橢圓的離心率

(I)求橢圓方程;

(II)設F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,M為線段AF2的中點,求證:∠ATM=∠AF1T.[3]

解析(I)易得橢圓方程為

圖2

(II)由于△ATF1和△ATM中的角和邊都可以求出,所以利用余弦定理和向量的內(nèi)積都可以證明.但是這兩種方法的計算量大,很容易出錯.若將所證的角轉化為各直線的斜率較為簡單.

顯然∠AF1T是直線TF1的傾斜角,即tan∠AF1T=kTF1,注意到tan∠ATM=-tan(∠TAM+∠TMA),而∠TMA和∠TAM分別是直線TM的傾斜角和直線TA的傾斜角的補角.由(I)得從而由和解得x1=x2=1,所以因為tan∠AF1T=kTF1=又得tan∠ATM=-tan(∠TAM+∠TMA)=因此∠ATM=∠AF1T.

3.兩角相等轉化為兩直線的斜率之和為零

根據(jù)題設條件的圖形特征,把兩角相等轉化為兩條直線的斜率之和為零來解決問題.

例3(2018年高考全國I卷理科第19題)設橢圓的右焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標為(2,0).

(I)當l與x軸垂直時,求直線AM的方程;

(II)設O為坐標原點,證明:∠OMA=∠OMB.[4]

解析(I)由已知得F(1,0),l的方程為x=1.由已知可得,點A的坐標為或所以AM的方程為或

(II)當l與x軸重合時,∠OMA=∠OMB=0°.當l與x軸垂直時,OM為AB的垂直平分線,所以∠OMA=∠OMB.當l與x軸不重合也不垂直時,設l的方程為y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),則直線MA,MB的斜率之和為kMA+由y1=kx1-k,y2=kx2-k,得將y=k(x-1)代入得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.所以,則2kx1x2-3k(x1+x2)+4k==0.從而kMA+kMB=0,故MA,MB的傾斜角互補,所以∠OMA=∠OMB.綜上,∠OMA=∠OMB.

評注破解此類解析幾何題的關鍵是,一是“圖形”引路,一般需畫出大致圖形,把已知條件翻譯到圖形中,利用直線方程的點斜式或兩點式,即可快速表示出直線方程;二是“轉化”橋梁,即會把要證的兩角相等,根據(jù)圖形的特征,轉化為斜率之間的關系,再把直線與橢圓的方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關系,以及斜率公式即可證得結論.

刻意練習

1.(2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽黑龍江省預賽試題第21題)已知橢圓=1(a＞b＞0)的離心率為并且過點P(2,-1).

圖3

(I)求橢圓C的方程;

(II)設點Q在橢圓C上,且PQ與x軸平行,過P點作兩條直線分別交橢圓C于點A(x1,y1),B(x2,y2).若直線PQ平分∠APB,求證:直線AB的斜率是定值,并求出這個定值.

2.(石家莊市2019屆高中畢業(yè)班教學質(zhì)量檢測數(shù)學試卷·文20理20)已知橢圓=1(a＞b＞0)的離心率為且經(jīng)過點

(I)求橢圓C的方程;

3.(2015年高考全國I卷理科第20題)在直角坐標系xOy中,曲線與直線l:y=kx+a(a＞0)交于M,N兩點.

(I)當k=0時,分別求C在點M和N處的切線方程;

(II)y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由.[3]

(I)求橢圓C的方程,并求點M的坐標(用m,n表示);

(II)設O為原點,點B與點A關于x軸對稱,直線PB交x軸于點N.問:y軸上是否存在點Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求點Q坐標;若不存在,說明理由.[3]

5.(2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽陜西省預賽試題第二試第2題)如圖4,圓C與x軸相切于點T(2,0),與y軸的正半軸相交于A,B兩點(A在B的上方),且|AB|=3.

圖4

(I)求圓C的方程;

6.已知點P為圓M:(x+1)2+y2=16上的任意一點,定點N(1,0),點Q為直線PM上一點,且滿足設Q點的軌跡為曲線C.

(I)求曲線C的方程;

從以上三個方面可以看出高考試題中解析幾何涉及與兩角相等相關的問題,其解決的關鍵在于轉化為角的三角函數(shù)或兩直線的斜率之和為零,不管采用哪種方法,都需要我們對問題進行合理的分析和轉化,這樣才能提高分析問題和解決問題的能力.[5]