沖擊載荷下兩裂紋間的連通規(guī)律*

周 琴，朱哲明，王 雄，董玉清，周 磊

（1. 四川大學(xué)深地科學(xué)與工程教育部重點實驗室，四川 成都 610065；2. 四川大學(xué)建筑與環(huán)境學(xué)院，四川 成都 610065）

脆性材料往往存在裂紋等缺陷，對于裂紋的起裂、擴(kuò)展方向及多裂紋的搭接形態(tài)等一直是學(xué)者研究的重點。起裂韌度、裂紋擴(kuò)展中極限應(yīng)力強度因子、多裂紋間搭接形態(tài)等作為表征裂紋起裂擴(kuò)展重要參數(shù)，對其進(jìn)行深入研究是當(dāng)前重要課題。對于該課題，無論是在理論，數(shù)值模擬或是實驗方面，均有眾多學(xué)者對其進(jìn)行了大量的研究。

在理論上，20 世紀(jì)初，Inglis[1]發(fā)現(xiàn)裂紋尖端應(yīng)力集中效應(yīng)，隨后Irwin[2]提出應(yīng)力強度因子K是表征裂紋尖端應(yīng)力場唯一需要確定的參量?；诖?，大量學(xué)者利用復(fù)變函數(shù)、橢圓積分等數(shù)學(xué)工具推導(dǎo)了大量規(guī)則排列的裂紋的應(yīng)力強度因子。范天佑[3]采用復(fù)勢法、Westergaard 方法、疊加法、Green 函數(shù)法等推導(dǎo)了無限大板含中心裂紋的應(yīng)力強度因子，給后來學(xué)者研究裂紋尖端應(yīng)力強度因子提供了可靠理論基礎(chǔ)。朱哲明等[4]、Zhu 等[5-8]基于復(fù)變函數(shù)理論推導(dǎo)了部分特定排列情況下裂尖應(yīng)力強度因子的解析表達(dá)式。Itou[9]利用拉普拉斯變換得出沖擊載荷下平形雙裂紋的動態(tài)應(yīng)力強度因子與裂紋間距和幾何形態(tài)有關(guān)。但這些理論推導(dǎo)都只得出了規(guī)則排列裂紋尖端的應(yīng)力強度因子，然而自然界裂紋分布往往具有隨機性，這就對研究更多隨機分布裂紋的破壞形態(tài)及其應(yīng)力場提出了新的要求。并且理論推導(dǎo)主要研究靜壓作用下的應(yīng)力強度因子，但是脆性材料在動載作用下的斷裂特性研究甚少。

為了解決含復(fù)雜裂紋試件的加工困難問題及動載加載不易等問題，一些學(xué)者開始使用各種數(shù)值模擬軟件進(jìn)行含裂紋試件分析。鐘波波等[10]和Louis 等[11]分別利用RFPA-dynamic 和AOTODYN 軟件研究了裂紋傾角、巖橋傾角在雙向拉載荷下的裂紋擴(kuò)展方式，認(rèn)為裂紋的幾何分布形式對裂紋的貫通有顯著影響。采用軟件進(jìn)行數(shù)值模擬可以預(yù)先得到目前還沒有辦法實現(xiàn)實驗的裂紋的排列形態(tài)及作用荷載形式，同時可以作為以后實驗結(jié)果對照的一個依據(jù)。但是模擬通常比較理想化，與實際情況往往存在差異，因此，實驗研究十分必要。在靜載實驗方面，對平形裂紋[12-14]、變角度非平形裂紋[15]、三裂紋[16]問題，裂紋間聯(lián)通規(guī)律都已經(jīng)研究較為成熟。而沖擊動載實驗方面，大多研究都基于含單裂紋的三點彎曲梁[17]或單裂紋[18-20,24,26-27]研究。對于非平形雙裂紋研究，數(shù)據(jù)尚不夠充足。但自然界中脆性材料原生裂紋存在方式并非僅限于共線、平形排列方式。而且，脆性材料也常在動載作用下工作，并且材料對動載與靜載響應(yīng)差異很大。所以，對于含多裂紋脆性材料在動載作用下的斷裂形態(tài)，力學(xué)特性等的研究是亟待解決的問題。

基于上述原因，本文中將采用落板沖擊實驗裝置，研究非平行雙裂紋在沖擊載荷下裂紋間搭接方式、裂紋起裂韌度及擴(kuò)展過程。并采用實驗-數(shù)值-解析法[19]計算裂紋尖端起裂韌度。落板沖擊設(shè)備[20-21]工作原理類同霍普金森壓桿設(shè)備類似，但是能夠應(yīng)用于大型試件的實驗研究。實驗前期和后期分別結(jié)合有限元分析軟件AUTODYN、ABAQUS 進(jìn)行模擬，將結(jié)果與實驗結(jié)果對照，確定出非平行雙裂紋缺陷試件斷裂形態(tài)及裂紋起裂韌度、裂紋擴(kuò)展中極限強度因子，并分析裂紋斷裂成因。

1 實驗研究

1.1 試件模型及準(zhǔn)備

本次實驗采用脆性材料有機玻璃板（polymethyl methacrylate, PMMA）進(jìn)行實驗，采用應(yīng)變片和裂紋擴(kuò)展計（crack propagate gauge, CPG）進(jìn)行數(shù)據(jù)采集。

1.1.1 試件幾何尺寸及材質(zhì)介紹

因PMMA 具有透光性好、均質(zhì)等特性，所以研究脆性材料裂紋擴(kuò)展形態(tài)具有較大優(yōu)越性。實驗中的有機玻璃采用工廠定制，預(yù)制裂紋均采用激光切割，以避免機械切割裂紋過寬對實驗結(jié)果產(chǎn)生影響。有機玻璃的密度為1 180 kg/m3，彈性模量為6.1 GPa，體積模量為5.35 GPa，剪切模量為2.33 GPa，泊松比為0.31。本文中采用的實驗構(gòu)型如圖1 所示，本次試件的豎直裂紋和傾斜裂紋均為25 mm，D表示豎直裂紋尖端到傾斜裂紋中心的距離，本次實驗共設(shè)7 組不同D值實驗詳見表1(試件編號含義解釋：如D100-A45 表示裂紋間距為100 mm，傾斜裂紋傾角為45°)，其他與此同）； θ 表示傾斜裂紋與水平軸的夾角，本文中為45°。本文采用數(shù)值模擬和落板沖擊設(shè)備研究當(dāng)θ 為45°，隨著D值變化時雙裂紋的擴(kuò)展過程、連通規(guī)律及豎直裂紋、傾斜裂紋相互影響作用下兩條裂紋尖端應(yīng)力強度因子的變化規(guī)律。

圖 1 試件模型及尺寸示意圖（單位：mm）Fig. 1 Sketch of specimen (unit: mm)

表 1 試件樣本和實驗時落板高度及沖擊速度Table 1 Height of drop weight plate and impact velocity for each specimen

1.1.2 CPG 的使用及介紹

采用貼型號為BKX3.5-10CY 的裂紋擴(kuò)展計（CPG）測試裂紋擴(kuò)展速度及裂紋擴(kuò)展到某處的斷裂時刻。CPG 示意圖如圖2，由玻璃絲布基底和敏感柵絲兩部分組成，柵絲為寬度不同（電阻不同）的卡瑪銅薄片組成。一片CPG 中共含有21 根柵絲，寬度b為10 mm，柵絲間間距l(xiāng)0為2.2 mm，裂紋擴(kuò)展計的有效總長度L0為44 mm，初始電阻為3.5 Ω。實驗前將CPG 第一根柵絲與豎直裂紋尖端垂直貼合。實驗中，將CPG 與50 Ω 電阻并聯(lián)，再于另一個50 Ω 電阻串聯(lián)，電路中由16 V 穩(wěn)壓源提供電壓，這種鏈接方式既可以保證電壓為恒壓，也可以保證CPG 兩端電壓變化太大導(dǎo)致測試不準(zhǔn)。

圖 2 CPG 示意圖Fig. 2 The sketch of CPG

1.2 落板沖擊實驗設(shè)備

本次實驗采用了落板沖擊實驗設(shè)備，實驗設(shè)備見圖3。實驗設(shè)備主要部件有落板、入射板、透射板、阻尼器。材料參數(shù)如表2 所示。實驗時，在距離入射板底端500、750 和1 000 mm 處分別豎向粘貼應(yīng)變片，在距離透射板上端500 mm 距離粘貼應(yīng)變片，以便測量入射波、反射波和透射波。由于落板沖擊較大入射桿接受的沖擊波容易產(chǎn)生彌散效應(yīng)和高頻振蕩，因此在入射桿上端放置黃銅整形器，以延長入射波的上升沿。因試件上下端和實驗設(shè)備部件均非光滑的，因此在加載過程中，試件上下斷面容易與入射桿底部，透射桿頂部接觸處產(chǎn)生環(huán)箍效應(yīng)，因此實驗前在試件上下端面涂抹黃油做潤滑。透射桿底端放置阻尼器消能。

圖 3 落板式?jīng)_擊設(shè)備和測試系統(tǒng)Fig. 3 Drop weight impacting test system

表 2 落板沖擊設(shè)備部件參數(shù)Table 2 Parameters of impacting test system

實驗中主要測試儀器為示波器（型號：DS1004Z），超動應(yīng)變儀信號（型號：CS-1D）。應(yīng)變片（SG，實驗中采用的型號有BX120-5AA 和BX120-3AA 兩種）主要用于測得豎直裂紋起裂時刻，實驗前將應(yīng)變片上的柵絲與豎直裂紋尖端垂直貼合，如圖3 所示。當(dāng)豎直裂紋起裂時，應(yīng)變片同時受拉斷裂，電壓信號發(fā)生突變，該時刻即為裂紋起裂時刻，該起裂時刻將用于第4 節(jié)計算應(yīng)力強度因子后確定豎直裂紋的起裂韌度。

實驗測量電路為橋式電路，本文采用單臂測量，即電橋中只有一個橋臂參與機械變形。電橋的輸出電壓和應(yīng)變滿足：

式中： ΔU為電橋輸出電壓，即應(yīng)變片測的電壓信號；n為超動態(tài)應(yīng)變儀的增益，實驗時設(shè)定為1 000；E為供橋電壓，值為2 V；KS為電阻靈敏度系數(shù)，為2.1； ε 為輸入應(yīng)變量10-6。實驗中測得電壓信號后需通過式(1)轉(zhuǎn)換成應(yīng)變 ε 。

1.3 實驗結(jié)果及處理

將試件放入實驗設(shè)備后進(jìn)行實驗設(shè)備調(diào)試，并用紅外測距儀測試落板底面距離入射板頂面高度H，并做記錄。利用動能定理即可計算得落板沖擊速度v，本次實驗各對照組落板高度H及速度v已統(tǒng)計于表1。實驗中各組沖擊速度均約為6 m/s，該值也是數(shù)值模擬AUTODYN 中的加載條件。

1.3.1 加載曲線及其處理

每組實驗完成后，入射板及透射板上的應(yīng)變片即可測得沖擊作用下入射波、反射波及透射波電壓信號。由于實驗室不可避免的存在噪音等影響，在取得波形之后先利用Origin 軟件進(jìn)行降噪、飄零處理及尋找波頭[22]。處理后的入射波和透射波電壓信號見圖4。實曲線為入射板上測的入射波和反射波信號，虛線為透射板上測的透射波信號。通過式（1）即可將圖4 電壓信號波形轉(zhuǎn)化為入射板、透射板應(yīng)變信號波形。根據(jù)一維彈性應(yīng)力波假設(shè)[23]，入射板對試件的載荷因為入射波和反射波疊加，透射板對試件載荷可直接由透射波得到。計算式子如下：

圖 4 入射板和透射板上的應(yīng)變片測得的電壓信號Fig. 4 Voltage signals recorded from incident and transmit plate

式中：pi為入射板對試件載荷；pt為透射板對試件載荷；Ei為入射板彈性模量；Et為入射板彈性模量；A為入射板和透射板橫截面積。疊加后的載荷曲線如圖5 所示（受壓為正），該曲線將用于第4 節(jié)ABAQUS模擬計算應(yīng)力強度因子荷載條件。

1.3.2 預(yù)制豎直裂紋起裂時刻確定方法

實驗中，試件由于沖擊波作用下，產(chǎn)生垂直于裂紋面的拉應(yīng)力，當(dāng)該拉應(yīng)力大于材料的抗拉強度時，裂紋開始起裂。粘貼于豎直裂紋尖端應(yīng)變片也同時被拉斷，測試電路由于應(yīng)變片斷裂，產(chǎn)生電路斷路，電壓信號產(chǎn)生突變，如圖6 實線所示。為獲得精確的起裂時刻，對該曲線求導(dǎo)，即圖6 虛線，導(dǎo)數(shù)峰值所對應(yīng)的時間tf即為豎直裂紋起裂時刻。圖中為試件D15-A45 的起裂時刻，其他試件的起裂時刻確定方式與此相同，已和計算的起裂韌度一同列于表3 中。

圖 5 試件上作用的應(yīng)力波曲線Fig. 5 Curve of stress wave versus time acts on specimen

圖 6 監(jiān)測點應(yīng)變片斷裂時刻確定方式示意圖Fig. 6 Method for determining time of the strain gauges

表 3 各對照組起裂時刻及起裂韌度Table 3 Initiation time and initiation toughness for each specimen

2 數(shù)值模擬

2.1 數(shù)值模擬軟件簡介及關(guān)鍵參數(shù)設(shè)定

本文采用數(shù)值模擬軟件AUTODYN 進(jìn)行試件在沖擊作用下裂紋破壞形態(tài)的模擬。AUTODYN 是一款基于有限差分法進(jìn)行數(shù)值模擬的軟件，該軟件致力于用集成的方法解決結(jié)構(gòu)和流體的非線性性。本文裂紋擴(kuò)展規(guī)律的研究中，試件破壞屬于塑性變形，也為非線性問題，因此采用AUTODYN 進(jìn)行數(shù)值擬具有合理性。該軟件的模擬結(jié)果的穩(wěn)定性也被國內(nèi)外眾多學(xué)者驗證，如Zhu 等[24-25]、朱哲明等[26]利用AUTODYN 軟件模擬脆性材料動態(tài)荷載作用下裂紋的斷裂行為，對后來研究爆炸作用提供了參考；周磊等[27]利用AUTODYN 進(jìn)行數(shù)值模擬研究了巷道圍巖裂紋在沖擊荷載下的起裂、擴(kuò)展及止裂力學(xué)行為；實驗結(jié)果證明AUTODYN 可以穩(wěn)定的模擬材料在動載荷作用下的響應(yīng)。

本文中，試件在CAD 中按照試件實際尺寸建立三維模型，再導(dǎo)入ICEM 中進(jìn)行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格類型采用四面體網(wǎng)格(Tetra/Mixed)類中的Tetrahedron。導(dǎo)出所畫的體網(wǎng)格成K 文件。在AUTODYN 中按照1∶1 的比例建立設(shè)備部件，即落板、入射板、透射板、阻尼器的計算模型，將從ICEM 中導(dǎo)出的試件K 文件導(dǎo)入AUTODYN 中進(jìn)行計算。材料均按照實際實驗中的材料參數(shù)定義。初始條件為y方向速度，模擬時設(shè)為6 m/s，與實驗室落板沖速度（見表1）近似。求解器采用Lagrange 算法，為避免網(wǎng)格大變形扭曲采用侵蝕模型。失效準(zhǔn)則采用修正后的最大主應(yīng)力準(zhǔn)則。

對于狀態(tài)方程，可表示為如下形式：

式中：p為靜水壓力，F(xiàn)為狀態(tài)方程相關(guān)的函數(shù)，其變量可以是密度、溫度等物理量。本文中，由于沒有產(chǎn)生大變形，所以采用線性狀態(tài)方程即可獲得較好的結(jié)果

式中：K為體積模量， ρ 為當(dāng)前材料密度， ρ0為參考密度。

圖 7 不同D 值（D 表示豎直裂紋尖端到傾斜裂紋中心距離）裂紋擴(kuò)展路徑的實驗和模擬對比圖（θ=45°）Fig. 7 Comparison test results with simulation results for the specimens with different D the distance between vertical crack tip to the center of incline crack (θ=45°)

2.2 模擬結(jié)果與實驗對比

圖7 為試件在沖擊荷載下裂紋的斷裂形態(tài)及模擬斷裂形態(tài)（紫紅色為裂紋擴(kuò)展路徑，綠色為試件模型）。由于實驗中，不可避免地存在誤差，并且數(shù)值模擬并不能完全模擬實驗中的真實情況，所以實驗結(jié)果與模擬存在細(xì)微差異。但從圖7 可知，實驗與模擬結(jié)果大致保持相同。不同D值時，豎直裂紋尖端擴(kuò)展到傾斜裂紋搭接形態(tài)大致分為3 種：(1)D值為10～25 mm 時，豎直裂紋直接擴(kuò)展到傾斜裂紋中部但在靠近傾斜裂紋時，擴(kuò)展路徑微向傾斜裂紋偏轉(zhuǎn)；(2)D為50 mm 時，豎直裂紋到傾斜裂紋搭接呈不穩(wěn)定型，部分直接從豎直裂紋擴(kuò)展至傾斜裂紋中部，部分直接從豎直裂紋擴(kuò)展至傾斜裂紋上尖端，模擬時裂紋產(chǎn)生分叉；(3)D值為75～100 mm 時，擴(kuò)展路徑從豎直裂紋到傾斜裂紋上尖端。當(dāng)D值在10、15、20 和25 mm 時，豎直裂紋起裂后將穩(wěn)定的延伸至傾斜裂紋中部，然后再從傾斜裂紋下尖端繼續(xù)擴(kuò)展試件下端面（限于篇幅，圖7 中僅取D值為10 和25 mm 展示）。說明此時豎直裂紋到傾斜裂紋的擴(kuò)展過程中裂紋始終為純I 型斷裂。此斷裂形態(tài)與劉凱等[20,28]研究的I 型裂紋斷裂形態(tài)相一致。從圖8 的裂紋擴(kuò)展與應(yīng)力云圖疊加圖可知，豎直裂紋擴(kuò)展到傾斜裂紋過程中，豎直裂紋尖端一直存在應(yīng)力集中區(qū)域。傾斜裂紋上尖端雖有應(yīng)力集中但并未引起傾斜裂紋上尖端開裂，說明在裂紋擴(kuò)展過程中，豎直裂紋到傾斜裂紋中部這一路徑所需斷裂能量小于豎直裂紋到傾斜裂紋上尖端這一路徑。隨后傾斜裂紋下尖端由于應(yīng)力集中而起裂，其形態(tài)表現(xiàn)為受壓狀態(tài)I/II 復(fù)合型裂紋斷裂形態(tài)[29]。

圖 8 裂紋擴(kuò)展過程中的第一主應(yīng)力云圖Fig. 8 Contour plots of first principal stress during crack propagation.

當(dāng)D= 50 mm 時，裂紋斷裂形態(tài)處于不穩(wěn)定情況，從圖7 及圖8 的模擬中可以看到，豎直裂紋與傾斜裂紋的中間部位，擴(kuò)展裂紋產(chǎn)生了分叉，其中一條有向傾斜裂紋中部擴(kuò)展趨勢，另一條擴(kuò)展向傾斜裂紋上尖端。從圖8 的應(yīng)力云圖亦可看出，豎直裂紋尖端在擴(kuò)展過程中出現(xiàn)了應(yīng)力集中區(qū)分叉現(xiàn)象，其中右邊的應(yīng)力集中區(qū)與傾斜裂紋上尖端應(yīng)力集中區(qū)匯合，左邊應(yīng)力集中區(qū)一直延伸至傾斜裂紋中部。同時，實驗中也出現(xiàn)了斷裂形態(tài)不穩(wěn)定，為排除實驗時與實驗?zāi)康牟幌嚓P(guān)因素影響，故對該對照組增加了試件樣本，經(jīng)過多次重復(fù)實驗發(fā)現(xiàn)，裂紋擴(kuò)展路徑表現(xiàn)為，一部分直接從豎直裂紋尖端擴(kuò)展至傾斜裂紋中部，另一部分直接從豎直裂紋尖端擴(kuò)展至傾斜裂紋上尖端。為了清楚對照，圖8 中D= 50 mm 組試件展示了兩種不同搭接形態(tài)實驗結(jié)果（即圖8(e)、(g)）?？梢哉J(rèn)為D= 50 mm 是裂紋搭接形態(tài)發(fā)生變化的一個轉(zhuǎn)折點。

隨著D值繼續(xù)增加，當(dāng)D值為75 mm 和100 mm 時，裂紋擴(kuò)展又趨于穩(wěn)定，斷裂形態(tài)為從豎直裂紋擴(kuò)展至傾斜裂紋上尖端，再從傾斜裂紋下尖端擴(kuò)展至試件下端面中部。圖8 的應(yīng)力云圖也反映了豎直裂紋擴(kuò)展路徑尖端的應(yīng)力集中區(qū)與傾斜裂紋尖端的應(yīng)力集中區(qū)匯合，裂紋的擴(kuò)展路徑也偏向傾斜裂紋尖端。說明此時傾斜裂紋開始表現(xiàn)為受壓狀態(tài)下I/II 復(fù)合型斷裂形態(tài)。

根據(jù)實驗與模擬結(jié)果，我們猜測，材料中存在裂紋的地方，通常比不存在裂紋的地方更薄弱，當(dāng)豎直裂紋與傾斜裂紋相距較近時，裂紋間區(qū)域由于兩裂紋同時存在，故該區(qū)域均比其他部位更薄弱，故在沖擊作用下，豎直裂紋直接擴(kuò)展至傾斜裂紋中部。隨著D值增大，兩裂紋間的相互作用減弱，從實驗和模擬可知，當(dāng)兩裂紋相距50 mm 時，裂紋斷裂形態(tài)出現(xiàn)不穩(wěn)定，說明此時兩者的相互影響已經(jīng)很弱。當(dāng)D為75、100 mm 時，兩裂紋間已無相互影響，可分別視為單裂紋處理。

2.3 模擬及實驗結(jié)果分析討論

脆性斷裂第一強度理論認(rèn)為，材料破壞是因為最大拉應(yīng)力達(dá)到臨界值。實驗及模擬結(jié)果顯示，裂紋擴(kuò)展形態(tài)主要為I 型裂紋，因此是有機玻璃承受的拉應(yīng)力達(dá)到臨界值導(dǎo)致裂紋擴(kuò)展。為了更加清楚解釋裂紋分叉、拐彎，分別取D= 25 mm 擴(kuò)展到靠近傾斜裂紋處、D= 50 mm 擴(kuò)展路徑的分叉點處、D= 75 mm裂紋拐彎點處為研究對象，計算距離裂紋尖端r= 2 mm 處半圓弧上周向拉應(yīng)力，如圖9 所示。

從圖9 中可以看出，當(dāng)D= 25,75 mm 時，其周向拉應(yīng)力最大值僅在一處位置存在。D= 25 mm時最大值出現(xiàn)在與y軸夾角為8°～9°范圍內(nèi)，即圖9（a）中A點處。從圖7～圖8 的模擬和實驗結(jié)果也可以看到，豎直裂紋擴(kuò)展到靠近傾斜裂紋時略微偏向傾斜裂紋。D= 75 mm 時最大值出現(xiàn)在與y軸夾角為25°～26°范圍內(nèi)，即圖9（c）中D點處。但當(dāng)D= 50 mm 時，從圖8(c)中可以看到，半圓弧上有兩處出現(xiàn)最大拉應(yīng)力值，即B、C兩點處。B點在y軸上，也即裂紋徑向方向上，C點在與y軸呈約27°方向上，該角度與D= 75 mm 時最大周向拉應(yīng)力出現(xiàn)的位置十分貼近。并且，結(jié)合實驗及模擬結(jié)果可知，裂紋出現(xiàn)最大周向拉應(yīng)力的地方正是裂紋斷裂的方向。這說明豎直裂紋擴(kuò)展到傾斜裂紋過程為受拉斷裂，并且裂紋沿著周向拉應(yīng)力最大處擴(kuò)展，其斷裂機理與脆性斷裂強度理論吻合。

3 動態(tài)應(yīng)力強度因子計算

本文中應(yīng)力強度因子采用有限元分析軟件ABAQUS 進(jìn)行計算。該軟件已經(jīng)被多位學(xué)者用于巖土工程進(jìn)行數(shù)值-實驗?zāi)M。周磊等[30]研究巷道裂紋動態(tài)擴(kuò)展規(guī)律時，驗證該軟件在模擬動載作用下裂紋應(yīng)力強度因子時程曲線的有效性，并與經(jīng)典的Chen[31]問題進(jìn)行了結(jié)果比對，驗證得兩者的結(jié)果十分接近，以及ABAQUS 在處理復(fù)雜固體力學(xué)的非線性問題有著獨到的優(yōu)越性。

圖 9 裂紋擴(kuò)展路徑上特殊點處的周向應(yīng)力分布圖Fig. 9 Circumferential stress on the ahead of propagation crack tip

3.1 ABAQUS 建模及參數(shù)設(shè)定

在ABAQUS 中按照試件的設(shè)計尺寸建立模型，特性參數(shù)采用PMMA 板參數(shù)。由于沖擊加載的加載率較高，因此分析步采用動力隱式（dynamic implicit），該分析步能夠較好地分析試件在沖擊荷載下的瞬時力學(xué)特性。將實驗中測的入射波、透射波，即圖5 中的應(yīng)力時程曲線，分別導(dǎo)入到試件模型的上下端。根據(jù)巖石斷裂力學(xué)[2]知，應(yīng)力在裂紋尖端具有奇異性，為提高計算的精度，在劃分網(wǎng)格時對裂紋尖端應(yīng)力集中區(qū)域進(jìn)行細(xì)化，其網(wǎng)格采用6 節(jié)點三角形網(wǎng)格（CPS6），其余部位采用8 節(jié)點四邊形網(wǎng)格（CPS8），如圖10 所示。

圖 10 利用ABAQUS 軟件進(jìn)行的網(wǎng)格劃分Fig. 10 Mesh of specimen in ABAQUS code

3.2 計算結(jié)果

如圖11 所示，繪出了不同D值（即豎直裂紋尖端至傾斜裂紋中心間距）豎直裂紋尖端應(yīng)力強度因子時程曲線。試樣D15-A45 的豎直裂紋尖端應(yīng)力強度因子時程曲線及起裂韌度標(biāo)識于圖中，由2.3 節(jié)所確定的起裂時刻tf可知，試件D15-A45 起裂韌度= 4.85 MPa·m1/2。其余組試件起裂韌度列于表3。從表3 可知，傾斜裂紋對于豎直裂紋尖端起裂時刻影響不大，但是起裂韌度KIC整體呈漸降的趨勢。

成因分析，由3.2 節(jié)可知，兩裂紋間距較小時，兩裂紋間相互影響較大，故豎直裂紋更容易擴(kuò)展，所以其豎直裂紋尖端應(yīng)力強度因子時程曲線值更大。隨著裂紋間距增大，裂紋間相互影響逐漸減小，并且影響程度也逐漸減小。從圖11也可以看出，隨著D值增大，應(yīng)力強度因子時程曲線呈下降趨勢，并且這種下降趨勢逐漸減弱，當(dāng)D為50、75 和100 mm 時，裂紋的應(yīng)力強度因子時程曲線重疊在一起，說明此時豎直裂紋、傾斜裂紋間已經(jīng)近乎無相互影響。該現(xiàn)象與陳景杰等[32]對平形雙裂紋的研究結(jié)論有共通之處，陳景杰等認(rèn)為裂紋間距大于小裂紋一倍長度時，兩裂紋間的影響可忽略不計，可視為單裂紋處理。但在本文的裂紋分布形態(tài)下，當(dāng)D值（即豎直裂紋尖端到傾斜裂紋中心距離）為兩倍裂紋長度值時，才是裂紋擴(kuò)展搭接形態(tài)發(fā)生變化的閾值。

圖 11 豎直裂紋尖端應(yīng)力強度因子隨時間變化曲線Fig. 11 The curve of stress intensity factor at crack1 tip with time

圖12 為傾斜裂紋上下尖端的KI、KII。傾斜裂紋的上下尖端KI均隨著D值（即豎直裂紋尖端至傾斜裂紋中心間距）的增大而減小，KII均隨D值增到而增大，并且減?。ㄔ龃螅┍嚷手饾u降低，該現(xiàn)象也說明隨著D值增大，豎直裂紋和傾斜裂紋間相互影響逐漸減弱。當(dāng)D為50、75、100 mm 時，此3 組應(yīng)力強度因子隨時間變化曲線總是近乎重合，這也再次驗證當(dāng)D大于50 mm 后，豎直裂紋和傾斜裂紋可視為單裂紋處理。

當(dāng)D值較小，如10、15 mm 時，豎直裂紋、傾斜裂紋間相互影響明顯，并且傾斜裂紋上尖端受豎直裂紋影響程度大于傾斜裂紋下尖端，所以傾斜裂紋的上尖端的KI值明顯大于傾斜裂紋下尖端KI值。并且這種影響比傾斜裂紋下尖端更持久，所以上尖端KI值在D為10 和15 mm 時幾乎疊合，而下尖端的KI下降率卻很大。對于傾斜裂紋上下尖端的KII，其上尖端KII上升的比率明顯大于下尖端的KII上升率。上尖端KII在D值較小時，幾乎為零，該現(xiàn)象與傾斜裂紋上尖端在D值較小時未發(fā)生斷裂的情況相符；而下尖端KII峰值明顯大于上尖端KII峰值，這表明傾斜裂紋上下尖端斷裂情況不同，應(yīng)力強度因子值也不同，這也應(yīng)證了應(yīng)力強度因子是反應(yīng)裂紋尖端應(yīng)力場性質(zhì)的唯一參量。

隨著D值增大，結(jié)合圖12(a)、(b)或(c)、(d)可以看出傾斜裂紋同一尖端的KI和KII值越來越接近。表明隨著D值的增大，傾斜裂紋越來越表現(xiàn)為I/II 復(fù)合型斷裂形態(tài)，這也與圖7 中表現(xiàn)出的斷裂形態(tài)相吻合。

圖 12 傾斜裂紋的兩個尖端的應(yīng)力強度因子隨時間變化曲線Fig. 12 The curves of stress intensity factors at the two tips of incline crack versus time

4 裂紋擴(kuò)展過程中的應(yīng)力強度因子變化規(guī)律

由第3 節(jié)結(jié)論可知，當(dāng)D= 50～100 mm 時，裂紋間相互影響已經(jīng)不明顯，研究裂紋擴(kuò)展意義不大。而裂紋擴(kuò)展計測試需要裂紋可以擴(kuò)展一定距離才能采集到足夠多的數(shù)據(jù)，因此我們選取D= 25 mm 試件作為研究對象，研究豎直裂紋擴(kuò)展到傾斜裂紋的裂紋擴(kuò)展速度及極限應(yīng)力輕度因子。1.1.2節(jié)我們知道CPG 由21 根柵絲并聯(lián)組成，當(dāng)裂紋擴(kuò)展時，柵絲隨材料的破壞而被逐根拉斷，測試電路因電阻發(fā)生變化導(dǎo)致采集到的電壓信號產(chǎn)生臺階型變化，如圖13 所示。為精準(zhǔn)獲得各柵絲斷裂處時刻，我們對測得電壓信號求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)極值處即為斷裂時刻，根據(jù)柵絲斷裂時刻，并結(jié)合ABAQUS 計算的應(yīng)力強度因子即可求得裂紋在擴(kuò)展過程中的極限應(yīng)力強度因子。

圖 13 CPG 示意圖及其所測信號Fig. 13 The sketch of CPG and voltage signal recorded in experiment

4.1 動態(tài)應(yīng)力強度因子修正

第3 節(jié)中采用ABAQUS 計算裂紋尖端的應(yīng)力強度因子，直接根據(jù)應(yīng)變片斷裂時刻確定豎直裂紋的斷裂韌度。但當(dāng)裂紋以一定速度擴(kuò)展過程中，F(xiàn)reund[33]認(rèn)為其應(yīng)力強度因子應(yīng)等于適用于該處靜止裂紋應(yīng)力強度因子乘以瞬時裂紋速度的普實函數(shù)k(v)，即：

式中：cR為材料Rayleigh 波速，本文中有機玻璃cR=1 260 m/s；cd為縱波波速，本文中有機玻璃cd=2 320 m/s 。當(dāng)裂紋擴(kuò)展速度為0 時，k(v)為1，即不需要修正。本文中對于豎直裂紋起裂時刻（CPG 第一根柵絲斷裂時刻）的應(yīng)力強度因子時程曲線即不用修正。要計算其余每根柵絲處動態(tài)應(yīng)力強度因子時程曲線，需先計算該處靜態(tài)裂紋的動態(tài)應(yīng)力強度因子。如圖14 所示，以第4 根柵絲為例，此時裂紋長度a(t) = 31.6 mm。根據(jù)圖13 確定t= 314 μs，對應(yīng)修正后的應(yīng)力強度因子時程曲線上的極限應(yīng)力強度因子為=3.44 MP·m1/2。

4.2 計算結(jié)果及分析

圖15 為豎直裂紋到傾斜裂紋之間斷裂韌度和裂紋擴(kuò)展速度。從圖15 中不難看出，裂紋擴(kuò)展過程中極限應(yīng)力強度因子逐漸減小且均小于起裂韌度，說明需要裂紋起裂，其所需要的應(yīng)力水平大于裂紋擴(kuò)展過程中所需要的應(yīng)力水平。裂紋擴(kuò)展速度不是一個常數(shù)。因為豎直裂紋的擴(kuò)展主要為I 型斷裂，但實驗和模擬中均顯示裂紋路徑有彎曲，這說明裂紋在擴(kuò)展過程中一直尋找耗能少及該擴(kuò)展裂紋尖端周向拉應(yīng)力最大的路徑，所以其擴(kuò)展速度隨著斷裂位置不同，裂紋速度也不相同。

豎直裂紋擴(kuò)展到離傾斜裂紋比較近處，擴(kuò)展速度減慢，在豎直裂紋擴(kuò)展到臨近傾斜裂紋上表面時，擴(kuò)展速度減慢甚至幾乎停滯，擴(kuò)展極限應(yīng)力強度因子增大。當(dāng)a(t) = 47.0 mm 時，v= 13 m/s，其值為裂紋平均擴(kuò)展速度155 m/s 的1/10 不到。根據(jù)汪小夢等[21]關(guān)于V 型邊界側(cè)開單裂紋半孔板(V-shape boundary single cleavage semi-circle specimen, VB-SCSC)巖石試樣的實驗研究，沖擊波觸及傾斜自由面時，原本壓縮的荷載反射后會形成拉伸荷載，當(dāng)該拉伸波在裂紋尖端與原本的壓縮荷載疊加時造成集中應(yīng)力減小，從而使裂紋擴(kuò)展后期速度急劇減小，如圖14 所示。并且，在圖7～8 的實驗及模擬結(jié)果中也可以看到，豎直裂紋擴(kuò)展到臨近傾斜裂紋時，裂紋擴(kuò)展路徑發(fā)生轉(zhuǎn)向，在發(fā)生轉(zhuǎn)向時也會對豎直裂紋擴(kuò)展速度造成一定影響。但尚不清楚傾斜裂紋的存在是否會使豎直裂紋的擴(kuò)展形成止裂，如果是止裂，傾斜裂紋的長度，傾角對豎直裂紋的擴(kuò)展如何影響，這些將是下一步工作的研究重點。

圖 14 極限應(yīng)力強度因子確定方法Fig. 14 Determination of propagation critical stress intensity factors

圖 15 裂紋擴(kuò)展速度與極限應(yīng)力強度因子的關(guān)系Fig. 15 The relationship between crack propagation velocity and critical stress intensity factors

5 結(jié) 論

本文中采用落板沖擊實驗設(shè)備，研究了含雙裂紋試樣在動態(tài)荷載下的裂紋擴(kuò)展、連通規(guī)律及裂紋尖端應(yīng)力強度因子的變化規(guī)律，并將實驗結(jié)果和模擬結(jié)果進(jìn)行對照，將實驗所得的數(shù)據(jù)代入ABAQUS模擬軟件進(jìn)行數(shù)值分析，得到試樣豎直裂紋尖端的應(yīng)力強度因子時程曲線。通過分析裂紋形態(tài)和模擬結(jié)果，得出了以下結(jié)論：

（1）在沖擊載荷下，實驗裂紋破壞形態(tài)與AUTODYN 數(shù)值模擬破壞形態(tài)一致。當(dāng)D(即豎直裂紋尖端到傾斜裂紋中心的距離)值較小時，裂紋沿原豎直裂紋方向擴(kuò)展至傾斜裂紋中部，再由傾斜裂紋下尖端繼續(xù)擴(kuò)展至試件下端面中部。當(dāng)D值約為50 mm 時，裂紋擴(kuò)展形態(tài)出現(xiàn)不穩(wěn)定。部分裂紋斷裂形態(tài)為從豎直裂紋尖端斷裂向傾斜裂紋尖端，部分從豎直裂紋尖端斷裂向傾斜裂紋中部。當(dāng)D值較大時，在本文中為75 和100 mm 時，裂紋沿原豎直裂紋方向擴(kuò)展至距離傾斜裂紋一定距離時，裂紋路徑發(fā)生轉(zhuǎn)向，轉(zhuǎn)至傾斜裂紋上尖端，然后再從傾斜裂紋下尖端起裂至試樣下端面中部。

（2）兩裂紋間的相互影響隨著裂紋間距增大而減小，當(dāng)裂紋間距D值大于50 mm，兩裂紋間的影響可忽略不計，即這兩條裂紋可視為單裂紋分析。

（3）豎直裂紋尖端的應(yīng)力強度因子時程曲線隨著D值增大逐漸下降，下降率隨著裂紋間距的增大而減小。傾斜裂紋尖端KI隨D值增大而減小，下降率隨著裂紋間距的增大而減小，KII隨D值增大而增大，增大率隨著裂紋間距的增大而減小。

（4）傾斜裂紋的存在會影響豎直裂紋的擴(kuò)展速度及擴(kuò)展中裂紋極限應(yīng)力強度因子值。