海水運(yùn)動(dòng)感應(yīng)磁場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算方法*

林智恒， 李予國(guó),2**

(中國(guó)海洋大學(xué) 1. 海洋地球科學(xué)學(xué)院； 2. 海底科學(xué)與探測(cè)技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島 266100)

海水是良導(dǎo)體，當(dāng)它在地磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)可以產(chǎn)生電流。根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，海水中的感應(yīng)電流會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)。利用海水運(yùn)動(dòng)感應(yīng)磁場(chǎng)可以研究海水的物理性質(zhì)，比如研究復(fù)雜的海洋內(nèi)波運(yùn)動(dòng)[1]，記錄復(fù)雜的海況等[2]。通過(guò)對(duì)地震引起海嘯產(chǎn)生的磁場(chǎng)進(jìn)行監(jiān)測(cè)，可以實(shí)現(xiàn)海嘯的提前預(yù)警[3-4]。但對(duì)于用海洋大地電磁測(cè)深法研究海底地質(zhì)構(gòu)造而言，海水運(yùn)動(dòng)感應(yīng)磁場(chǎng)是海洋電磁測(cè)量中的主要噪聲源，因而研究和分析海水運(yùn)動(dòng)電磁場(chǎng)的特征有助于海洋電磁數(shù)據(jù)的處理和解釋[5]。

海水運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生磁場(chǎng)的理論最早由法拉第提出，但是由于當(dāng)時(shí)儀器水平的限制，無(wú)法直接觀測(cè)到海水運(yùn)動(dòng)感應(yīng)磁場(chǎng)。隨著儀器水平的提高，探測(cè)到海水運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)以后，人們開(kāi)始探索磁場(chǎng)與海水運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。通常采用法拉第電磁感應(yīng)定律和麥克斯韋方程結(jié)合的方法求得海水運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)。

當(dāng)海水運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)可以用解析式表達(dá)時(shí),比如海水表面重力波[6-7]和內(nèi)波[1]，可以通過(guò)直接求解麥克斯韋方程組獲得解析速度場(chǎng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)。但是，只有幾種簡(jiǎn)單的海水運(yùn)動(dòng)形式的速度場(chǎng)具有解析表達(dá)式。有學(xué)者提出用格林函數(shù)[8]或者傅里葉積分[9]求解麥克斯韋方程，可以消除對(duì)速度場(chǎng)的限制，獲得任意速度場(chǎng)的感應(yīng)磁場(chǎng)。但是復(fù)雜的海水運(yùn)動(dòng)受到地形的影響，有時(shí)需要模擬海底地形起伏下海水運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)[10]。當(dāng)計(jì)算尺度較大的海水運(yùn)動(dòng)(如潮汐)感應(yīng)磁場(chǎng)時(shí)，不得不考慮地球曲率和陸地邊界的影響。Kuvshinov用數(shù)值方法獲得了球坐標(biāo)下潮汐產(chǎn)生的磁場(chǎng)[11]。

描述海水運(yùn)動(dòng)的地球流體動(dòng)力學(xué)方程都是偏微分方程，除極個(gè)別情況外，很難求得其解析解。較為復(fù)雜的速度場(chǎng)一般都是通過(guò)數(shù)值方法計(jì)算得到的，這樣獲得的速度場(chǎng)是離散的。前人的工作主要是通過(guò)求解麥克斯韋方程組得到海水運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)的解析表達(dá)式。而這些解析表達(dá)式對(duì)于離散速度場(chǎng)不一定適用。為了計(jì)算與實(shí)際海水運(yùn)動(dòng)更為接近的速度場(chǎng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)，本文從畢奧-薩伐爾定律出發(fā)，推導(dǎo)了二維海水運(yùn)動(dòng)離散速度場(chǎng)感應(yīng)磁場(chǎng)的積分表達(dá)式，用高斯積分方法計(jì)算二維離散速度場(chǎng)感應(yīng)磁場(chǎng)響應(yīng)，并分析了海水運(yùn)動(dòng)頻率、振幅和水深等對(duì)感應(yīng)磁場(chǎng)的影響。

1 海水運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生磁場(chǎng)的原理

1.1 海水運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的感應(yīng)電流

海水運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生磁場(chǎng)的方式有很多，其中海水中感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)比其他方式要大得多[10]。在本文中假定海水中的磁場(chǎng)主要是海水中的感應(yīng)電流產(chǎn)生的。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，作為良導(dǎo)體的海水，運(yùn)動(dòng)切割地磁場(chǎng)可以產(chǎn)生感應(yīng)電流：

j=σ(V×B)。

(1)

式中：σ為海水電導(dǎo)率，本文假定海水電導(dǎo)率是均勻的且為4 S·m-1，V為海水速度場(chǎng)，B為總地磁場(chǎng)。在本文中，我們假設(shè)地磁場(chǎng)為不隨時(shí)間變化的恒定地磁場(chǎng)。由于海水運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)遠(yuǎn)小于恒定地磁場(chǎng)，因而可以用恒定地磁場(chǎng)F代替總磁場(chǎng)B，式(1)變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

j=σ(V×F)。

(2)

在已知海水速度場(chǎng)分布的情況下，通過(guò)上式可以得到海水中的感應(yīng)電流分布。海水運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的感應(yīng)電流，與海水電導(dǎo)率、海水運(yùn)動(dòng)速度和地磁場(chǎng)強(qiáng)度均呈正相關(guān)。獲得海水中的電流分布后，利用畢奧-薩伐爾定律定理即可得到海水中感應(yīng)電磁場(chǎng)的分布。

1.2 畢奧-薩伐爾定律

畢奧-薩伐爾定律描述的是恒定電流在其周?chē)a(chǎn)生的磁場(chǎng)。當(dāng)電流緩慢隨時(shí)間變化時(shí)，該定律也成立。于是，我們用畢奧-薩伐爾定律計(jì)算海水運(yùn)動(dòng)中感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)，其具體計(jì)算式為：

(3)

式中：μ0為真空中的磁導(dǎo)率；j是電流密度；r是計(jì)算點(diǎn)和電流之間的距離。在直角坐標(biāo)系下，式(3)寫(xiě)成如下形式：

(4)

由上式可知，各個(gè)方向的磁場(chǎng)分量都由與其正交的兩個(gè)方向的電流分量所產(chǎn)生。當(dāng)已知海水中感應(yīng)電流的分布時(shí)，即可計(jì)算海水運(yùn)動(dòng)感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)。

2 二維海水運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)的計(jì)算

2.1 二維海水運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)方程

當(dāng)海水沿某一個(gè)水平方向傳播時(shí)，可以看成是二維海水運(yùn)動(dòng)。簡(jiǎn)單的風(fēng)浪、涌浪和內(nèi)波都可以看成是二維海水運(yùn)動(dòng)。假設(shè)海水沿著水平方向x運(yùn)動(dòng)：

V=(Vx, 0,Vz)。

(5)

式中：Vx和Vz分別為水流沿水平方向x和垂直方向z的運(yùn)動(dòng)速度。將(5)式代入(2)式，可以得到該速度場(chǎng)產(chǎn)生的感應(yīng)電流：

j=σ(-VzFy,VzFx-VxFz,VxFy)。

(6)

由上式可知，海水感應(yīng)電流的各個(gè)分量分別由與其正交的海水速度分量與地磁場(chǎng)分量切割產(chǎn)生。由于二維海水運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)與y無(wú)關(guān)，故其產(chǎn)生的感應(yīng)電流也與y無(wú)關(guān)。于是，由式(4)，可得

(7)

式中：rxz為計(jì)算點(diǎn)在xz垂直面上的投影域和電流之間的距離。將式(6)代入式(7)，得到二維海水運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)積分表達(dá)式

(8)

當(dāng)海水速度場(chǎng)可以用解析式表達(dá)時(shí)，計(jì)算(8)式的二維積分可以得到海水運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)。但當(dāng)速度場(chǎng)為離散值時(shí)，式(8)不能直接使用，需要用線性插值的方法得到速度場(chǎng)，再代入式(8)中求積分得到感應(yīng)磁場(chǎng)。

2.2 離散速度場(chǎng)的計(jì)算

假設(shè)二維離散速度場(chǎng)單元為不規(guī)則四邊形，則其所產(chǎn)生的感應(yīng)磁場(chǎng)為：

(9)

上式中四邊形的積分難以直接求解，其原因有二。首先四邊形為不規(guī)則四邊形，另外，只有四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)處的速度場(chǎng)已知。而計(jì)算二重積分時(shí)需要知道單元內(nèi)的速度場(chǎng)。

本文使用線性形函數(shù)描述單元內(nèi)速度變化。假設(shè)在四邊形單元內(nèi)海水運(yùn)動(dòng)速度是線性變化的，并可近似為

(10)

式中：Vxi,和Vzi,分別是全球坐標(biāo)系中四邊形第i(i=1,2,3,4)頂點(diǎn)上速度分量Vx,和Vz,的值。Ni為矩陣單元的形函數(shù)，其表達(dá)式為：[12]

(11)

圖1 四邊形子單元(a)和母單元(b)Fig.1 (a)Quadrilateral original coordinate system (b) Transformed coordinate system

對(duì)子面積單元ds=dxdz進(jìn)行變換，根據(jù)雅可比變換有

(12)

其中：J(ξ,η)是雅可比變換行列式。將式(11)和(12)代入式(10)，得

(13)

其中：rx和rz是計(jì)算點(diǎn)P(xp,zp)到速度場(chǎng)單元的距離：

(14)

各個(gè)速度場(chǎng)單元產(chǎn)生的感應(yīng)磁場(chǎng)可以通過(guò)計(jì)算式(13)中的二重定積分得到。本文用高斯數(shù)值積分法

(15)

計(jì)算該二維積分。將式(15)代入式(13)，得：

(16)

在已知四邊形單元頂點(diǎn)處速度值的情況下，通過(guò)上式可以計(jì)算海水運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)。先求得各個(gè)速度單元所產(chǎn)生的磁場(chǎng)，然后再將所有速度單元產(chǎn)生的磁場(chǎng)疊加求和，即得到整個(gè)速度場(chǎng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)。

3 畢奧-薩伐爾定律計(jì)算海水運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)的精度

當(dāng)從麥克斯韋方程組出發(fā)，推導(dǎo)海水運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)所滿(mǎn)足的微分方程時(shí)，海水中的感應(yīng)電流為：

j=σ(E+V×F)。

(17)

而用畢奧-薩伐爾定律方法計(jì)算海水運(yùn)動(dòng)感應(yīng)磁場(chǎng)時(shí)，感應(yīng)電流計(jì)算式(1)中不含σE項(xiàng)。這是因?yàn)楫厞W-薩伐爾定律假設(shè)海水中的電流是恒定的，而σE是由于感應(yīng)電流隨時(shí)間變化而產(chǎn)生的二次場(chǎng)。那么，二次電流將對(duì)計(jì)算得到的磁場(chǎng)結(jié)果有多大影響呢？本文分別通過(guò)畢奧-薩伐爾定律方法解和麥克斯韋方程的方法計(jì)算海水速度場(chǎng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)，對(duì)比兩者之間的差別。

假設(shè)海水速度場(chǎng)為二維無(wú)限水深線性波浪[13]：

(18)

式中：k=ω2/g為波數(shù)；a為波浪的振幅；ω=2πf為角頻率；g為重力加速度。假定波浪振幅為1 m，計(jì)算了頻率分別為1和0.1 Hz，時(shí)間t=0時(shí)刻的沿垂直軸從海平面到300 m深處(0≤ z ≤300 m)的感應(yīng)磁場(chǎng)如圖2和3所示。

圖2 1 Hz海浪產(chǎn)生的磁場(chǎng)Fig.2 Magnetic variations of 1 Hz wave

雖然兩種計(jì)算方法中所采用的感應(yīng)電流不同(相差σE)，但是利用兩種計(jì)算方法得到的感應(yīng)磁場(chǎng)幾乎沒(méi)有差別。即使當(dāng)海水運(yùn)動(dòng)頻率達(dá)到了1 Hz，用畢奧-薩伐爾定律方法計(jì)算的結(jié)果和用麥克斯韋方法得到方程的結(jié)果相差不大。由此可以得到這樣的認(rèn)識(shí)，當(dāng)海水波動(dòng)的頻率小于1 Hz時(shí)，忽略感應(yīng)電流中的σE項(xiàng)對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不大?？梢?jiàn)，用畢奧-薩伐爾定律計(jì)算海水運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)是可行的，且精度較高。

圖3 0.1 Hz海浪產(chǎn)生的磁場(chǎng)Fig.3 Magnetic variations of 0.1 Hz wave

4 海浪運(yùn)動(dòng)感應(yīng)磁場(chǎng)特征分析

下面分析海浪運(yùn)動(dòng)感應(yīng)磁場(chǎng)在不同的海水運(yùn)動(dòng)頻率、振幅和水深下的特征。上文中二維無(wú)限水深線性波浪產(chǎn)生的磁場(chǎng)只有Bx和Bz分量。與無(wú)限水深不同，有限水深海浪產(chǎn)生的磁場(chǎng)By分量不為零。為了研究海水運(yùn)動(dòng)頻率、振幅和水深對(duì)感應(yīng)磁場(chǎng)不同分量的影響，下面例子考慮二維有限水深海浪，其表達(dá)式為：[13]

(19)

4.1 頻率對(duì)磁場(chǎng)的影響

以有限水深二維線性波浪(19)為例，圖4為海水振幅為1 m，水深為300 m，頻率分別是0.05、0.1和0.21 Hz的波浪產(chǎn)生的感應(yīng)磁場(chǎng)。

圖4 0.05、0.1和0.2 Hz二維線性波浪產(chǎn)生的磁場(chǎng)Fig.4 Magnetic variations of 0.05, 0.1 and 0.2 Hz waves

由圖4可知，頻率較低的海水運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)較大，Bx的零點(diǎn)、By和Bz的極大值點(diǎn)更深。當(dāng)振幅一定時(shí)，頻率越低的波浪流速越大，波長(zhǎng)越長(zhǎng)。因此海水運(yùn)動(dòng)的頻率越低，產(chǎn)生的磁場(chǎng)就越大，隨深度的增加衰減越慢，影響深度越大。

4.2 海水振幅對(duì)磁場(chǎng)的影響

圖5為海水振幅分別為0.3、1和3 m，頻率為0.1 Hz深度為300 m的波浪產(chǎn)生的磁場(chǎng)。

圖5 振幅分別為0.3、1和3 m波浪產(chǎn)生的磁場(chǎng)Fig.5 Magnetic variations of amplitudes are 0.3, 1 and 3 m waves

由圖5可知，海水振幅越大，感應(yīng)磁場(chǎng)越大。感應(yīng)磁場(chǎng)極值點(diǎn)的位置不因海水振幅的變化而變化。將速度場(chǎng)方程式(18)帶入磁場(chǎng)計(jì)算方程式(8)，可將振幅a提到積分外，因此海水運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)與海水波動(dòng)振幅的關(guān)系是線性的。

4.3 水深對(duì)磁場(chǎng)的影響

由于本文的計(jì)算中，假設(shè)海底是絕緣的，電流只存在于海水中。因此，水深變化的影響是使速度場(chǎng)發(fā)生變化，進(jìn)而影響其產(chǎn)生的磁場(chǎng)。圖6是水深分別為300、200、100、50和30 m，頻率為0.1 Hz振幅為1 m時(shí)，二維線性波浪產(chǎn)生的磁場(chǎng)。

圖6 水深分別為300、200、100、50和30 m二維線性波浪產(chǎn)生的磁場(chǎng)Fig.5 Magnetic variations of depths are 300, 200, 100, 50 and 30 m waves

由圖6可知，當(dāng)水深從300 m減小到100 m時(shí)，感應(yīng)磁場(chǎng)變化很小。但當(dāng)深度從100 m減小到30 m時(shí)，Bx明顯減小，By明顯增大，而B(niǎo)z只在海底附近處稍微減小。對(duì)于二維有限水深線性海浪，水深比較大時(shí)，波速不受水深影響，其產(chǎn)生的磁場(chǎng)也與水深無(wú)關(guān)。本例中，海水運(yùn)動(dòng)頻率為時(shí)0.1 Hz，當(dāng)水深大于100 m時(shí)，磁場(chǎng)便與水深無(wú)關(guān)。當(dāng)水深較小時(shí)，水深的減小使波浪的垂直速度急劇減小，而水平速度變化不大。由于海水運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)的水平分量Bx和By主要受海水的垂直速度Vz影響，磁場(chǎng)的垂直分量Bz主要受水平速度Vx的影響。因此，的水深較小時(shí)，水深的變化主要影響水平方向的磁場(chǎng)，對(duì)垂向磁場(chǎng)影響不大。

5 結(jié)論

本文介紹了利用畢奧-薩伐爾定律計(jì)算二維海水運(yùn)動(dòng)離散速度場(chǎng)感應(yīng)磁場(chǎng)的新方法。本文所述方法的計(jì)算結(jié)果和通過(guò)解麥克斯韋方程方法的結(jié)果精度相同，表明用畢奧-薩伐爾定律計(jì)算海水運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)是可行的，且精度較高。算例表明：

(1) 當(dāng)海水振幅一定時(shí)，頻率越低的海浪產(chǎn)生的磁場(chǎng)越大，影響深度也越大。

(2) 海浪的振幅與其產(chǎn)生的磁場(chǎng)呈正比。

(3) 水深較深時(shí)，海水運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)不受水深影響。但水深較小時(shí)，水深減小使Bx減小，By增大，而對(duì)Bz影響較小。