多維變式 高維眼光*

廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院(541004)劉 蕓 周 瑩

我國《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 版)》提出:高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)[1].而實際教學(xué)中，許多老師和學(xué)生往往是就題論題，缺乏舉一反三，融會貫通，發(fā)散思維的品質(zhì)，導(dǎo)致實際教學(xué)效果不如人意.究其原因是教師和學(xué)生沒有把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，缺乏思維的廣闊性和變通性.數(shù)學(xué)變式是把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的有效途徑.變式就是變更展示感性材料的形式，即從事物的不同角度，對其不同情況加以說明，使事物的本質(zhì)屬性全面地顯示出來[2].”最常用的變式為一題多解和一題多變[3]，一題多解側(cè)重訓(xùn)練思維的廣闊性，知識應(yīng)用的靈活性;一題多變側(cè)重訓(xùn)練思維的遞進性，解決問題的變通性.

教師不僅要從多個維度視角剖析問題，更要從高等數(shù)學(xué)知識的維度來認識下位知識，避免思維在低水平層次之間重復(fù).用高等數(shù)學(xué)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的知識、思想和方法來分析、解決中學(xué)數(shù)學(xué)的問題稱為高觀點.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)思想的傳承，不能認為它只是大學(xué)數(shù)學(xué)教育的任務(wù).高觀點是良好的思維素材，正如斯托利亞爾所說:“把教學(xué)建立在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想基礎(chǔ)上，是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的風(fēng)格和語言接近于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的風(fēng)格和語言，是學(xué)生的思維向現(xiàn)代數(shù)學(xué)思維發(fā)展”.以高等數(shù)學(xué)的知識為工具來解決初等數(shù)學(xué)問題，突出體現(xiàn)知識水平的高度跨越，強調(diào)深化、簡化和統(tǒng)一，使問題解決呈現(xiàn)一種高屋建瓴的態(tài)度.因此，本文從一題多解和一題多變對一道數(shù)學(xué)問題進行剖析，站在高觀點的視角探討教師如何從“多維變式、高維眼光”來把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，改善教學(xué)的效果，提高學(xué)生邏輯推理能力.

一、一題多解悟本質(zhì)

中國課程發(fā)展從知識本位到能力本位，再到現(xiàn)在的素養(yǎng)本位.邏輯推理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，如何提高學(xué)生邏輯推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，成為了數(shù)學(xué)教育工作者思考的問題.借七年級(人教版)的幾何教學(xué)中出現(xiàn)的一道趣題加以剖析:

問題1在同一平面內(nèi)條直線最多有多少個交點?

在七年級(人教版)的幾何教學(xué)中，大多數(shù)學(xué)生能解決這樣的問題:在同一平面內(nèi)4 條直線最多有多少個交點? 但當(dāng)平面內(nèi)的直線增至n條時，很多學(xué)生往往無從下手.究其原因，主要是學(xué)生的邏輯推理能力存在問題，不能有效地從特殊向一般轉(zhuǎn)化.

這個問題有多種可能的解答方式，是一道開放題.本文將從邏輯推理、元素組合以及高觀點的視角來剖析這個問題.

1.1 邏輯推理——以簡馭繁

這個問題對于一個初中學(xué)生來說，略有難度，為了解決這個問題，我們先觀察簡單的、具體的數(shù):

當(dāng)n= 1，1 條直線最多可以有0 個交點;當(dāng)n= 2，2 條直線最多可以有0+1 個交點;當(dāng)n= 3，3 條直線最多可以有0+1+2 個交點;當(dāng)n= 4，4 條直線最多可以有0+1+2+3 個交點;當(dāng)n=5，5 條直線最多可以有0+1+2+3+4 個交點.

從觀察具體的數(shù)入手，我們得到一般性的結(jié)論:為了保證直線的交點最多，則要保證第n條直線必須和前面的n-1條直線都相交，則在原來的基礎(chǔ)上多n-1 交點，設(shè)n條直線最多的交點個數(shù)為:

這種解法從特殊情況入手，通過數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，運用歸納和類比，得出一般規(guī)律，并運用數(shù)學(xué)語言予以表征，達到以簡馭繁，對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力大有裨益.

1.2 元素組合——化繁為簡

邏輯推理從特殊的幾何問題入手，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，并運用從特殊到一般的邏輯推理得出答案.事物是普遍聯(lián)系的，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.當(dāng)學(xué)生到了高中以后，學(xué)習(xí)了組合問題，我們也可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為組合問題.

為了使同一平面內(nèi)n條直線的交點最多，則每一條直線都要和其它直線相交，即直線必須兩兩相交，且交點都不同.又因為lm與ln相交和ln與lm相交重復(fù)，所以這個問題是組合問題，而不是排列問題.所以從n條直線中任意選出兩條，它們都是相交的.所以n條直線交點的個數(shù)最多為

這種解法看似比第一種方法簡單，但是初中的學(xué)生很難理解.只有把握“平面內(nèi)n條直線在什么情況下，才能使交點的個數(shù)最多”這一問題的本質(zhì)，才能將這個幾何問題從復(fù)雜情境中抽象為組合問題，達到化繁為簡.

1.3 高觀點——高屋建瓴

從高觀點視角出發(fā)，我們可以用關(guān)系矩陣來表示直線與直線的關(guān)系.關(guān)系矩陣的表示方法:做一個矩陣的表，它的首列標(biāo)志A的元素，它的首行標(biāo)志B的元素，根據(jù)A中的元素a是否與據(jù)B中的元素b有關(guān)系，在表中的相應(yīng)位置上填上1 或0，這個表就稱為該關(guān)系的矩陣[4].

直線與直線我們分為兩種關(guān)系，相交且只有一個交點記為1，平行和重合記為0.設(shè)n條直線組成的集合為A={l1,l2,l3,···ln}，則笛卡兒積A×A給出了這n條直線所有可能的配對.從而得到這n條直線的關(guān)系矩陣:

因為lm與ln相交和ln與lm相交重復(fù)，所以關(guān)系矩陣M的上三角1 的個數(shù)，就代表交點的個數(shù)，關(guān)系矩陣M的上三角第一行有n-1 個1，第二行有n-2 個1，第三行有n-3個1，第n-1 行有1 個1，第n行有0 個1，所以關(guān)系矩陣M的上三角1 的個數(shù)An= 0+1+2+3+4+···(n-1)=

運用高等數(shù)學(xué)知識將抽象的n條直線的交點問題轉(zhuǎn)化為關(guān)系矩陣來討論，使問題簡化、直觀和統(tǒng)一.用高觀點看中學(xué)數(shù)學(xué)問題，不僅有利于改善傳統(tǒng)高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)脫節(jié)的弊端，建立兩者間的有機聯(lián)系，而且使教師站在更高的思維層次引領(lǐng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的本質(zhì)，改善教學(xué)效果.

二、一題多變巧升華

2.1 以線帶面——舉一反三

問題1 的三種解法分別運用了初中、高中以及大學(xué)的知識，在一題多解中發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，從而達到發(fā)散學(xué)生思維的作用.為了進一步啟發(fā)學(xué)生，我們將問題1 進一步升華，不斷提高學(xué)生的邏輯推理能力.

問題2n條直線最多把一個平面分割成多少塊區(qū)域?

先看n= 1 時，平面被分為F2(2)= 2 區(qū)域;n= 2 時，平面被分為F2(2)= 4 區(qū)域;n= 3 時，平面被分為F3(2)= 7區(qū)域;n= 4 時，平面被分為F4(2)= 11 區(qū)域，通過前面具體的例子，我們發(fā)現(xiàn)為了使分成的區(qū)域最多，第n條直線要與前面的n-1 條直線都相交，從而第n條直線最多可以將該平面多分出n部分.我們假設(shè)平面被n條直線分割成顯然

在問題1 的基礎(chǔ)上，將直線升華到平面，在特殊具體的變化過程中，把握問題的本質(zhì)，運用邏輯推理，得到一般性結(jié)論，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維.

2.2 以面化全——求索不止

問題2 討論了平面的切割問題，使我們感受到數(shù)學(xué)邏輯推理的魅力，我們進一步將問題進行升華.

問題3n個平面最多把三維空間分成幾部分?

中學(xué)有這樣的趣味題:四刀最多可以將一塊蛋糕切為多少塊? 當(dāng)大多數(shù)學(xué)生看到這道題時，都會努力的畫圖得到答案.但是很少有人會思考如果切五或者六刀呢? 或者更多刀呢? 這里我們就可以通過進一步提升把這類問題概括為:n個平面最多把三維空間分成幾部份?

在問題2 的基礎(chǔ)之上，我們再來看三維歐氏空間，第n個平面最多可以和前面n-1 個平面都相交，它們與第n個平面最多有n-1 條交線，從而可以將這個三維空間多切割塊(任意三個平面都不交于一條直線).

假設(shè)三維空間被n個平面分割成F(3)n塊，則r(3)n=從而推出

問題1 是一維空間問題，分別從初中、高中、大學(xué)的三個維度視角討論了平面內(nèi)n條直線的交點個數(shù)，在一題多解中發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，在高觀點下感受到大學(xué)知識與中學(xué)知識的聯(lián)系.在問題1 的基礎(chǔ)上進行一題多變，運用邏輯推理進一步討論平面和三維空間的分割情況，體會到思維的上升和邏輯推理的樂趣.從問題1 到問題3，層層遞進，不僅從縱向獲得對數(shù)學(xué)知識的深刻理解，也從橫向拓廣數(shù)學(xué)視野，使教師站在更高的思維層次來理解數(shù)學(xué)，把握問題的本質(zhì).

三、思考與建議

3.1 以變生質(zhì)，引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)

變式教學(xué)是提高課堂效率的有效途徑，作為教師，在變式教學(xué)之前，自己也要學(xué)會變式思考.這樣才能夠從多個維度視角剖析問題，把握住數(shù)學(xué)的本質(zhì).教師只有真正的把握住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，才能帶領(lǐng)學(xué)生在“山重水復(fù)疑無路”之時，把握正確的方向，使學(xué)生“柳暗花明又一村”.

3.2 以變引思，邁向高階思考

數(shù)學(xué)的魅力在于變，在變中思考，在變中提高思維水平層次.但是許多老師的“變”都是在低水平層次之間重復(fù)，都在“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”的局部視角中徘徊，無法看到整座山的全貌.教師只有站在更高的視角，用高等數(shù)學(xué)的知識俯視整個數(shù)學(xué)知識體系，使自己站在更高的思維層次水平中，這樣才有足夠的高度引領(lǐng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高學(xué)生的思維層次水平.

3.3 以簡拓深，提高核心素養(yǎng)

從特殊到一般的推理是解決問題的有效方法，它是邏輯推理其中的一類，邏輯推理作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個主要構(gòu)成要素，在對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)具有重要作用和影響.但許多老師課堂教學(xué)是圍繞著具體的知識點展開，而不是圍繞著思維類別和思維水平開展的，從而導(dǎo)致學(xué)生缺乏經(jīng)歷數(shù)學(xué)化活動而習(xí)得的數(shù)學(xué)思維方式.因此，教師要具有素養(yǎng)本位的觀念，教學(xué)時要圍繞培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平而展開，教會學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考世界，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).