優(yōu)化思維路徑 突出數(shù)學(xué)本質(zhì) 提升核心素養(yǎng)

廣東省佛山市第一中學(xué)(528000)吳統(tǒng)勝

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》不僅重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(四基)的教學(xué)，更加強調(diào)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題和分析、解決問題的能力(四能)的培養(yǎng)，并希望把學(xué)生的能力培養(yǎng)提升到培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的高度，指導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達世界(三會).數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是課程目標要求，“三會”則是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的外在表現(xiàn).要提升學(xué)生學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師就要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從數(shù)學(xué)問題的角度，通過提出問題、分析問題、解決問題、拓展問題等過程來達成這一目標.

核心素養(yǎng)是育人的目標，目前在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師更多地是關(guān)注教學(xué)目標的實現(xiàn)、教學(xué)內(nèi)容的把握、教學(xué)方法的選擇、教學(xué)效果的反饋，而缺少教書育人方式的思考.如何在依據(jù)學(xué)科核心素養(yǎng)修訂課標與重組教材的頂層設(shè)計之下，積極探索學(xué)科核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐案例，即結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容探尋指向核心素養(yǎng)的教學(xué)路徑與方法，將核心素養(yǎng)落地的“最后一公里”做細、做實，是每一位數(shù)學(xué)教師要思考和實踐的課題.

《普通高中課程標準(2017年版)》在課程基本理念中指出:“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進教學(xué)”.數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)涵一般包括數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系;數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程，數(shù)學(xué)思想方法的提煉;數(shù)學(xué)理性精神(依靠思維能力對感性材料進行一系列的抽象和概括、分析和綜合，以形成概念、判斷或推理，這種認識為理性知識.重視理性認識活動，以尋找事物的本質(zhì)、規(guī)律及內(nèi)部聯(lián)系，這種精神稱為理性精神)的體驗等方面.數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)就是還原課堂本真，讓學(xué)生的思維得以生長.我們應(yīng)充分利用數(shù)學(xué)課堂，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，使得學(xué)生由“學(xué)會”轉(zhuǎn)化為“會學(xué)”;由“做題”轉(zhuǎn)化為“做數(shù)學(xué)”，從而發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力;樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴謹求實的科學(xué)精神;不斷提高實踐能力，提升創(chuàng)新意識.

如何有效開展數(shù)學(xué)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力? 如何在教學(xué)中落實“核心素養(yǎng)”的目標引領(lǐng)與價值導(dǎo)向作用?如何引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，在關(guān)注學(xué)生知識技能掌握的同時，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂的有效生成? 數(shù)學(xué)教育的未來之路是以理解、探究、問題解決為價值取向，追求數(shù)學(xué)素養(yǎng)的達成，并促成學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

本文筆者將通過對高考題或高考模擬題中導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法及處理策略的研究與探討，在優(yōu)化解題思維路徑的同時，突出問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并總結(jié)歸納了導(dǎo)數(shù)壓軸題優(yōu)化后的解題策略和方法，以期對廣大師生在解決此類導(dǎo)數(shù)壓軸題時帶來一定的幫助.

例1(2014年高考天津理科卷第20 題改編)已知函數(shù)f(x)=x-aex(a ∈?),x ∈?.已知函數(shù)y=f(x)有兩個零點x1,x2，且x1＜x2.

(I)求a的取值范圍;

(II)求證:x1x2＜1;x1+x2＞2.

附2014年高考天津理科卷第20 題如下:已知函數(shù)f(x)=x-aex(a ∈?),x ∈?，.已知函數(shù)y=f(x)有兩個零點x1,x2，且x1＜x2.

(I)求a的取值范圍;

(III)證明x1+x2隨著a的減小而增大.

解析(I)過程略;

(II)由(I)中結(jié)論0＜ a ＜及已知條件可知x2＞ x1＞0，由x1=aex1,x2=aex2，可得lnx1=lna+x1,lnx2=lna+x2.故x2-x1=lnx2-lnx1=設(shè)解得所以，①設(shè)則x2=tx1.①式即x1(t-1)= lnt，所以所以

證法一設(shè)φ(t)=2t-lnt-2-tlnt(t ＞1)，所以φ′(t)=設(shè)m(t)=t-1-tlnt(t ＞1)，所以m′(t)=-lnt ＜0，m(t)在(1,+∞)上 遞 減，m(t)＜ m(1)= 0，所以φ′(t)＜0,φ(t)在(1,+∞)遞減，所以φ(t)＜ φ(1)= 0.g′(t)＜0，g(t)在(1,+∞)遞減，但g(1)沒有意義.由高等數(shù)學(xué)中的洛必達法則，所以g(t)＜limt→1g(t)=1，所以x1x2＜1.

評析證法一直接構(gòu)造函數(shù)求最值證明，思路清晰明確，但要多次構(gòu)造局部函數(shù)求導(dǎo)，且最后需利用高等數(shù)學(xué)中的洛必達法則求limt→1g(t)，學(xué)生不易理解掌握.能否有更簡便、學(xué)生也易于理解掌握的優(yōu)化證法呢? 回答是肯定的!將要證不等式恰當(dāng)變形轉(zhuǎn)化再構(gòu)造函數(shù)求最值證明，其優(yōu)化證明過程如下:

證法二由（I）中結(jié)論及已知條件可知x2＞x1＞0,x1=aex1①，x2=aex2得：設(shè)則e(t-1)x1=t，所以要證:x1x2＜1，即證＜1(t ＞1)，即證設(shè)n(t)=所以n(t)在(1,+∞)上遞減，所以n(t)＜n(1)= 0，x1x2＜1.

下證x1+x2＞2:

證法一要證x1+x2＞2，只需證g(t)=lnt+tlnt-2t+2＞0.因為所以g(t)＞g(1)=0，x1+x2＞2.

證法二要證x1+x2＞2，只需證1).此即對數(shù)基本不等式的右式的一個變式，直接移項構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性即可輕松得證.

點評本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的綜合運用，涉及了函數(shù)零點及不等式證明問題，解答的關(guān)鍵在于利用消元思想，先消去參數(shù)，轉(zhuǎn)化為含雙變量x1,x2的不等式，再利用“二元化一元”的思想，通過等價換元再構(gòu)造函數(shù)得證，證法一直接構(gòu)造函數(shù)證明，思路清晰明確，但要多次構(gòu)造局部函數(shù)求導(dǎo)，且最后需利用高等數(shù)學(xué)中的洛必達法則，學(xué)生不易理解掌握.證法二、證法三對要證不等式恰當(dāng)變形后再構(gòu)造函數(shù)證明，極大地減少了運算量和思維量，簡化和優(yōu)化了證明過程，是優(yōu)化解法，且是通性通法.此外，x1+x2＞2 的證明也可利用函數(shù)極值點偏移問題的一般處理策略.

拓展變式已知x1,x2是函數(shù)f(x)=ex-ax的兩個零點，且x1＜x2，

(I)求a的取值范圍;

(II)求證:x1x2＜1;x1+x2＞2.

例2已知函數(shù)f(x)=ex-a(x-1)有兩個零點.

(1)求實數(shù)a的取值范圍;

(2)設(shè)x1,x2(x1＜x2)是f(x)的兩個零點，證明:x1x2＜x1+x2.

解析(1)a ＞e2(過程略);

(2)證法一要證x1x2＜ x1+x2，即證(x1-1)(x2-1)＜1，由已知ex1=a(x1-1), ex2=a(x2-1)，即證(x1-1)(x2-1)=即證ex1+x2＜a2，即證x1+x2＜2 lna，即證x2＜2 lna-x1，又因為x2＞lna，且f(x)在(lna,+∞)單調(diào)遞增，故只需證f(x2)＜f(2 lna-x1)，即證f(x1)＜f(2 lna-x1)，令g(x)=f(2 lna-x)-f(x)且x ＜lna，因為g′(x)=所以g(x)在(-∞,lna)單調(diào)遞減，所以g(x)＞g(lna)=f(2 lna-lna)-f(lna)= 0，所以f(2 lna-x)＞f(x)在(-∞,lna)上恒成立，所以f(2 lna-x1)＞f(x1)，故原命題得證.

評析首先需結(jié)合已知條件轉(zhuǎn)化為證明(x1-1)(x2-1)＜1，學(xué)生不容易想到，其次，還要結(jié)合(1)中的結(jié)論利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造函數(shù)證明，對學(xué)生思維的要求高，學(xué)生不易理解與掌握該證明方法.我們可以嘗試先消參，二元化一元，再構(gòu)造函數(shù)證明，其優(yōu)化證明方法如下:

證法二(優(yōu)化證法)由(1)知a ＞ e2，又由已知ex1=a(x1-1)得:設(shè)t=x2-x1，由(1)易知t=x2-x1，因為x2＞2＞x1＞1，所以所以要證x1x2＜x1+x2，即證即證即證t2et ＜(et-1)2，因為t ＞0，所以et ＞1，即證即證設(shè)所以φ(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，所以φ(t)＜φ(0)= 0，所以

點評在該優(yōu)化解法中，先消參，然后“二元”化“一元”，再構(gòu)造函數(shù)證明，是通性通法，操作性強，是學(xué)生易于理解掌握的方法!

例3已知f(x)=lnx-x+m(m為常數(shù)).

(1)求f(x)的極值;

(2)設(shè)m ＞1，記g(x)=f(x+m)，已知x1,x2為函數(shù)g(x)的兩個零點，求證:x1+x2＜0.

解析(1)因為f(x)=lnx-x+m，所以當(dāng)0＜x ＜1 時，f′(x)＞0,f(x)遞增;當(dāng)x ＞1 時，f′(x)＜0,f(x)遞減.f(x)的極大值為f(1)=m-1，無極小值.

(2)g(x)=f(x+m)= ln(x+m)- x，因 為x1,x2是g(x)的兩個零點，所以所以設(shè)h(x)=ex - x，則h(x)=m，有兩解x1,x2，由h′(x)=ex-1=0 得x=0.當(dāng)-m ＜x ＜0時，h′(x)＜0,h(x)遞減; 當(dāng)x ＞1 時，h′(x)＞0,h(x)遞增.不妨設(shè)-m ＜x1＜0＜x2，要證x1+x2＜0，即證0＜x2＜-x1.因為h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，只需證h(x2)＜h(-x1)，因為h(x2)=h(x1)，故只需證h(x1)＜h(-x1).設(shè)φ(x)=h(x)-h(-x)=ex-2x-e-x(x ＞0)，所以φ′(x)=ex-2+e-x=在(0,+∞)上單調(diào)遞增.因為-m ＜x1＜0，所以φ(x1)＜φ(0)= 0，即h(x1)＜h(-x1)，所以x1+x2＜0.

點評該題第(2)問對學(xué)生解題思維的要求極高，解題的關(guān)鍵在于變形轉(zhuǎn)化，設(shè)函數(shù)h(x)=ex-x轉(zhuǎn)化為h(x)=m有兩解x1,x2的問題，利用函數(shù)h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增的性質(zhì)得h(x2)＜h(-x1)，再利用h(x2)=h(x1)轉(zhuǎn)化為只含x1的不等式，再構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明.

例4(2010年高考新課標卷第21 題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

(1)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若當(dāng)x ≥0 時f(x)≥0，求a的取值范圍.

解析(1)略;

(2)解法一 分類討論f′(x)=ex-1-2ax.

由(1)知ex ≥1+x，當(dāng)且僅當(dāng)x= 0 時等號成立.故f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x，從而當(dāng)1-2a ≥0，即時，f′(x)≥0(x ≥0)，而f(0)= 0，于是當(dāng)x ≥0 時，f(x)≥0.由ex ＞1+x(x0)可得e-x ＞1-x(0).從而當(dāng)時，f′(x)＜ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a)，故當(dāng)x ∈(0,ln 2a)時，f′(x)＜0，而f(0)= 0，于是當(dāng)x ∈(0,ln 2a)時，f(x)＜0.綜上，a的取值范圍為

解法二 分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值

當(dāng)x ≥0 時，f(x)≥0?ex-1-x ≥ax2.

當(dāng)x=0 時，f(x)=0≥0 恒成立，此時a ∈?.

當(dāng)x ＞0 時，f(x)≥0? a ≤設(shè)設(shè)h(x)=(x-2)ex+x+2，所以h′(x)=(x-1)ex+1.因為x ＞0，所以h′′(x)=xex ＞0，所以h′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;所以h′(x)＞h′(0)= 0，所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以h(x)＞h(0)= 0，φ′(x)＞0.φ(x)在遞減，當(dāng)x ＞0 時，h′(x)＞0,h(x)遞增.所以h(x)＞h(0)= 0，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，但φ(0)無意義，因為limx→0(ex-1-x)=0,limx→0x2=0，由高等數(shù)學(xué)中的洛必達法則有:所以所以a的取值范圍為

解法三(優(yōu)化解法)利用函數(shù)ex的泰勒(Taylor)展開式

點評本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、不等式恒成立問題以及參數(shù)取值范圍問題，考查分類討論、轉(zhuǎn)化與劃歸解題思想及其相應(yīng)的運算能力.解法一如果學(xué)生不熟悉經(jīng)典不等式ex ≥1+x及其變式e-x ＞1-x(0)是斷然想不到將a分為及兩種情況討論的，該解法具有特殊性，且要分類討論，學(xué)生不易理解掌握.解法二分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)利用函數(shù)單調(diào)性求解，但遇到了一個“不定型”函數(shù)極限問題.如何突破該解題障礙?利用高等數(shù)學(xué)中的洛必達法則，輕松破解了該壓軸題，但由于涉及高等數(shù)學(xué)知識，普通學(xué)生不易理解掌握;解法三是優(yōu)化解法，結(jié)合函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到ex泰勒展開式，非常巧妙地破解了該壓軸題，思路清晰，解答簡便快捷.

例5(2018年高考全國卷I 理科第22 題)已知函數(shù)

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)存在兩個極值點x1,x2，證明:

解析(1)當(dāng)a ＞2 時，f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上遞減; 在(x1,x2)上遞增; 當(dāng)a ≤-2 時，f′(x)＜0，所以f(x)在(0,+∞)上遞減.(過程略)

(2)證法一利用二元化一元，再構(gòu)造函數(shù)證明:

由(1)知a ＞2 且x1+x2=a ＞2,x1x2= 1，不妨設(shè)0＜x2＜1＜x1，要證即要證此處容易遇到解題障礙，如何“二元”化“一元”，再構(gòu)造函數(shù)證明不等式? 已知條件f(x)存在兩個極值點x1,x2，隱含了條件x1x2=1，消去x2，從而轉(zhuǎn)化為證明

評析對于二元(或多元)不等式類型，多采用二元(或多元)化一元，再恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)證明不等式.

證法二(優(yōu)化解法)利用對數(shù)基本不等式證明:

由(1)知a ＞2 且x1+x2=a ＞2,x1x2= 1，要證即要證觀察該不等式結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到對數(shù)基本不等式再結(jié)合隱含條件x1x2= 1，即證1，即證故原命題成立!

下面我們從高等數(shù)學(xué)的視角分析、利用拉格朗日中值定理及中值不等式證明該不等式:

引理1拉格朗日中值定理:若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則存在ξ ∈(a,b)使得

引理2拉格朗日中值不等式:f′min(x)≤f′(x)=(高中可利用構(gòu)造函數(shù)法證明該不等式)

從高等數(shù)學(xué)的觀點來看，本題可以利用拉格朗日中值定理和拉格朗日中值不等式快速解決.

證法三(優(yōu)化解法)利用拉格朗日中值定理及中值不等式證明:

設(shè)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),x1,x2∈[a,b]，且x1/=x2，由斜率及導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，[f′(x)]max≥ kAB=要證由拉格朗日中值定理及中值不等式知，只需要證即a2≥a+2(a ＞2)，顯然成立，故原不等式成立.

該題改編自2011年高考湖南文科卷第22 題，其題目如下:

(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

(II)若f(x)有兩個極值點x1,x2; 記 過 點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直線斜率為k.問:是否存在a，使得k= 2-a? 若存在，求出a的值;若不存在，請說明理由.

解題教學(xué)要重視暴露解題思路的發(fā)現(xiàn)及問題解決的全過程，注重滲透數(shù)學(xué)思想方法，重視通性通法的總結(jié)概括及解法的優(yōu)化和感悟，回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì).哈爾莫斯說:“數(shù)學(xué)的真正組成部分應(yīng)該是問題和解，解題才是數(shù)學(xué)的心臟.”著名數(shù)學(xué)教育家波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中提出，高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的目標首先和主要的:“是必須教會年輕人去思考”，發(fā)展學(xué)生解決問題的能力.要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提升和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師就要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從數(shù)學(xué)問題的角度，通過提出問題、分析問題、解決問題、拓展問題等手段，在學(xué)生探究與思考中達成目標.教師要通過對數(shù)學(xué)題的教學(xué)研究，體會和認識問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，探究數(shù)學(xué)問題解決的基本規(guī)律，理解數(shù)學(xué)、感受數(shù)學(xué)研究的“味道”，學(xué)會“數(shù)學(xué)地思維”，從而加深對解題教學(xué)的理解，提升解題教學(xué)的駕馭能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的解題能力、思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).