試論高中數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論思想的應(yīng)用

摘 要：分類討論思想是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中一種極為常見且重要的數(shù)學(xué)思想，但是許多學(xué)生對于分類思想的認(rèn)識與掌握都不夠深入。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)課堂之中教師要有目的性地向?qū)W生滲透分類討論的思想，加強(qiáng)學(xué)生對分類討論思想應(yīng)用技巧與特點(diǎn)的了解，充分發(fā)揮出分類討論思想的價值，從而全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)問題理解與分析能力。本文首先闡述了分類思想的基本內(nèi)涵，并分析了分類討論思想應(yīng)用的基本原則，文章最后探討了分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用與相關(guān)的注意事項(xiàng)，希望能夠?yàn)橛嘘P(guān)專業(yè)人士帶來一定的參考與借鑒。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);教學(xué);分類討論思想;應(yīng)用

分類討論屬于一種重要的數(shù)學(xué)思想，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著重要的位置。該思想主要特點(diǎn)是可以實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)問題的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)的分類與劃分，并結(jié)合具體的情況得出不同的求解與答案。在處理相關(guān)的數(shù)學(xué)問題時通過分類討論思想的應(yīng)用，可以實(shí)現(xiàn)對煩瑣的知識的分解，大大的提升知識點(diǎn)的條理性，這樣便于對于問題的快速解答。

一、 分類討論思想概述

（一） 分類討論思想的定義

所謂分類討論思想具體指的應(yīng)用不同方式解決同一問題，具體使用方式是首先將某一個問題劃分為若干個小問題，通過逐一解決小問題而促進(jìn)問題的最終解決。高中數(shù)學(xué)具有復(fù)雜性與抽象性的特點(diǎn)，對于學(xué)生的知識整合能力與思考能力有著較高的要求，將分類討論思想應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程之中，對于提升學(xué)生的概括能力與思考能力具有重要作用。因此，對于分類討論思想教師要給予高度重視，并對其展開深入的分析與研究。

（二） 分類討論思想要遵循的基本原則

分類討論思想的核心是分類意識，分類方式很大程度上影響解題的完整性與難易程度。因此，分類討論思想在應(yīng)用中要遵循以下幾點(diǎn)重要原則：首先，不重復(fù)原則，所謂不重復(fù)原則指的是所劃分的各類間不存在交叉重疊的現(xiàn)象，各類間要相互排斥。其次，不遺漏原則，指的是分類的過程之中要保證各個對象都具有相應(yīng)的歸屬，確保完整且不存在遺漏;最后，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)原則，要求每一層所應(yīng)用均是統(tǒng)一的分類標(biāo)準(zhǔn)。

二、 分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用措施

（一） 進(jìn)行學(xué)習(xí)小組的劃分，實(shí)行學(xué)生的分類

分類和討論屬于分類討論思想的核心，教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用分類討論思想時，除了要引導(dǎo)學(xué)生利用分類討論思想解決相關(guān)的數(shù)學(xué)題目，更為重要的是要引導(dǎo)學(xué)生圍繞著相關(guān)問題展開熱烈的交流與討論，在討論中開拓學(xué)生的思維，獲得多種解題思路。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動開始之前，教師可以根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平實(shí)行合理的分組，每個小組中既要有優(yōu)等生，也要有后進(jìn)生，從而確保小組討論活動可以有條不紊的進(jìn)行。與此同時，教師在這個過程之中要充分發(fā)揮出自身的指導(dǎo)性的作用，維持好小組討論的秩序，并給予學(xué)生必要的幫助，從而充分地發(fā)揮出小組學(xué)習(xí)的效果。

（二） 注重解題步驟的規(guī)范性

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用分類討論思想時，最為關(guān)鍵的是保證解題步驟的規(guī)范性，具體而言，包括了以下幾點(diǎn)內(nèi)容：首先，明確分類討論的知識點(diǎn)分屬于哪個模塊;其次，按照知識點(diǎn)的特點(diǎn)實(shí)行科學(xué)化的分類，保證各子項(xiàng)的獨(dú)立性，避免出現(xiàn)分類遺漏問題，確保分類的完整性;再次，全面分析各項(xiàng)的分類，并得出各項(xiàng)分類結(jié)果;最后，實(shí)行對各個子項(xiàng)結(jié)果的整合與分析。在解決函數(shù)與定理等數(shù)學(xué)問題時，由于受到局限性的影響有必要開展分類討論，只有這樣，才能夠保障結(jié)果的全面性。此外，在處理方程與函數(shù)等相關(guān)問題時，由于參數(shù)值的變化會引發(fā)結(jié)果的變化，所以實(shí)行分類討論就十分的有必要。

（三） 將分類討論思想滲透在課堂教學(xué)中

為了幫助學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想，教師平時在開展高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動過程之中，有必要滲透分類討論這一思想，通過示范與展示等方式讓學(xué)生對于分類思想有更為全面的認(rèn)識。同時，分類討論思想的應(yīng)用要求學(xué)生之間展開溝通與交流，通過共同的思考與討論推進(jìn)問題的解決，所以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透分類討論思想在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平同時，可以提高學(xué)生的合作交流能力。此外，要想在數(shù)學(xué)教學(xué)中很好的滲透分類討論思想，教師要結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)習(xí)題、定義以及公式等進(jìn)行，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘其中所含有的與分類討論思想相關(guān)的內(nèi)容。比如，在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題時，通?？梢圆捎梅诸愑懻撍枷?，在這個過程中可以幫助學(xué)生總結(jié)相關(guān)的知識點(diǎn)。

（四） 分類討論思想在生活化習(xí)題中的滲透

要想讓學(xué)生全面的掌握分類討論這一數(shù)學(xué)思想，短短的課堂四十五分鐘時間是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。所以，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分地利用好課后時間，通過向?qū)W生布置相關(guān)的數(shù)學(xué)習(xí)題，鞏固強(qiáng)化學(xué)生對分類討論思想的掌握，保障學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)效果，使其可以根據(jù)相應(yīng)的題目靈活的使用分類討論思想。此外，生活是數(shù)學(xué)知識的來源，許多數(shù)學(xué)知識都隱藏于生活中，所以教師要引導(dǎo)學(xué)生不要將眼光局限在課堂與校園里，要放眼于周邊的生活，利用分類討論的思想分析生活中的數(shù)學(xué)問題，通過在生活中滲透數(shù)學(xué)思想，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。

（五） 點(diǎn)燃學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

眾所周知，興趣是最好的老師，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)道路上的不竭動力，在課堂教學(xué)中教師要重視加強(qiáng)對學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)，然而在應(yīng)試教育背景下，教師采用單一化的教學(xué)方式開展數(shù)學(xué)教學(xué)，加上教學(xué)內(nèi)容枯燥無味，難以提起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，影響了教師的教學(xué)質(zhì)量與效率。因此，在新課程改革背景下，教師要重視在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透分類討論的思想，提高學(xué)生的解題的效率。例如，在學(xué)習(xí)數(shù)列模塊這一方面內(nèi)容時，為了幫助學(xué)生更好的理解抽象的數(shù)列，教師在講解中可以運(yùn)用分類討論思想解決數(shù)列問題，這樣不僅便于學(xué)生的理解與接受，而且可以讓學(xué)生認(rèn)識到分類討論思想在解決數(shù)列問題方面的作用，使其認(rèn)識到分類討論思想的重要價值，從而激發(fā)出學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

三、 分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用

（一） 在函數(shù)與數(shù)列解題中應(yīng)用分類討論思想

函數(shù)是學(xué)生高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)道路上的攔路虎，許多學(xué)生都表示函數(shù)的難度大且抽象，在解決函數(shù)問題時常常是無從下手。函數(shù)題最為主要特點(diǎn)是函數(shù)參數(shù)值的變化會引起函數(shù)結(jié)果的變化，為此，在解決函數(shù)問題中應(yīng)用分類討論思想時，要針對函數(shù)中的參數(shù)實(shí)行分類討論，幫助學(xué)生更為全面的了解問題，提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)題目的效率與準(zhǔn)確性。此外，在解決數(shù)列問題時同樣可以使用分類討論思想，首先學(xué)生要充分的討論數(shù)學(xué)的有關(guān)問題，了解數(shù)列題目中存在的多種情況，并通過分類討論思想的應(yīng)用展開更為深入的研究與思考，而后明確取值范圍與答案。

以數(shù)列求值范圍的問題為例子，已知條件是q是某一等比數(shù)列的公比，其中，數(shù)列前n項(xiàng)和sn>0（n=1、2、3、……）求出公比q的取值范圍。

通過分析這一題目可以知道，該題目中并未提及q的具體范圍，在應(yīng)用分類討論這一數(shù)學(xué)思想時，要充分地考慮到q值為1或者是不為1的情況，通過分類討論思想的應(yīng)用明確最終的取值范圍。高中數(shù)學(xué)中所涉及的公式定理以及運(yùn)算法則等較多，對于數(shù)列求和中q值為1或者是不為1的情況要進(jìn)行充分的考慮，在解決相關(guān)數(shù)列數(shù)學(xué)題目時要進(jìn)行分類討論。

（二） 在概率解題中應(yīng)用分類討論思想

在處理概率方面問題時，可以運(yùn)用分類討論這一數(shù)學(xué)思想，先對問題要求實(shí)行分類，而后得出最終結(jié)果。概率是學(xué)生的高中學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容，是高考重點(diǎn)考核內(nèi)容之一，能否順利的答對概率問題直接影響學(xué)生的成績。因此，學(xué)生在解答概率方面問題時，首先可以編排題目中的已知條件，而后利用分類討論思想對變量的可能數(shù)值進(jìn)行假設(shè)，而后進(jìn)行最終的選擇，經(jīng)過一番分類討論后最終得出準(zhǔn)確結(jié)果，同時提升學(xué)生的解題效率與準(zhǔn)確性。

比如，假定在某地區(qū)的奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f活動過程之中，總共有18名火炬手，編號由1至18。在18名火炬手中任意選出3名，請問所選出的火炬手編號可以組成以3為公差的等差數(shù)列的概率是多少？對于這道經(jīng)典的概率問題，在解答中可以采用分類討論的思想，對已知條件實(shí)行分類編號，并假設(shè)研究對象變量的可能性數(shù)值，而后選擇最佳的方式，最后可以得出正確答案是1/68。

四、 分類討論思想應(yīng)用中的注意事項(xiàng)

分類討論思想的核心在于通過將問題分解為若干個問題來促進(jìn)問題的解決，既是一種解題策略，也是一種數(shù)學(xué)思想。分類討論問題中所涉及的知識內(nèi)容眾多，對于學(xué)生的分析能力、思考能力以及分類技巧有著較高的要求，在實(shí)行分組討論過程之中需要注意以下幾點(diǎn)重要問題：首先，在解決高中數(shù)學(xué)問題過程中使用分類討論思想，需要學(xué)生對題型進(jìn)行分類，而在分類過程中需要學(xué)生明確各種題型的不同點(diǎn)與相似點(diǎn)，避免出現(xiàn)重復(fù)性的分類或者是發(fā)生分類遺漏問題了;其次，對于分類思想的使用，要求學(xué)生明確使用方法與技巧，在解題中要經(jīng)常性的使用分類討論思想，這樣才可以取得熟能生巧的效果;再次，高中數(shù)學(xué)的知識內(nèi)容眾多，要想熟練地掌握高中數(shù)學(xué)所有的知識點(diǎn)需要一個長期練習(xí)的過程，因此，在平時的數(shù)學(xué)練習(xí)過程中學(xué)生要做好經(jīng)驗(yàn)總結(jié)與積累，形成定期歸納總結(jié)知識內(nèi)容的習(xí)慣，避免在練習(xí)中出現(xiàn)相同的錯誤;最后，學(xué)生要不斷地簡化分類的問題，通過對各類題型的解答，提高自身的解題效率與準(zhǔn)確性。

五、 結(jié)語

綜上所述，分類討論思想是一種十分重要且應(yīng)用較多的數(shù)學(xué)思想，在解題時能夠靈活的應(yīng)用這一思想對于提高解題的效率有著重要的意義。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要提高對于分類討論思想的重視，在平時的教學(xué)活動中要逐漸的滲透分類討論的思想，加強(qiáng)學(xué)生對這一思想的認(rèn)識，并傳授學(xué)生應(yīng)用分類討論思想的相關(guān)技巧，提高學(xué)生的分析數(shù)學(xué)問題的能力，從而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的提升，為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績提供重要保障的同時，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展與綜合素質(zhì)的提升。

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作者簡介：

楊衛(wèi)，甘肅省蘭州市，甘肅省蘭州市第二十八中學(xué)。