王 鋒,付愛(ài)嵐
(1.安陽(yáng)工學(xué)院數(shù)理學(xué)院,河南安陽(yáng)455000;2.林州市職業(yè)教育中心,河南林州456550)
在本文中我們將重點(diǎn)研究具有第二類(lèi)功能反應(yīng)函數(shù)的率依賴捕食-被捕食模型[1],形式如下:
其中,x,y分別代表被捕食者和捕食者的種群密度,,a、b、c、m、f、d是正常數(shù),分別代表被捕食者的內(nèi)稟增長(zhǎng)率、環(huán)境容納量、捕獲率、半飽和捕獲常數(shù)、轉(zhuǎn)換率、捕食者的死亡率。
2)f>d, 當(dāng)c≤ma時(shí).
系統(tǒng)有正平衡點(diǎn)E?(x?,y?),其中.
則原系統(tǒng)在E?處可線性化為.
令λ=iω0,則其特征方程為(λ-p1+a)(λ-p4)-p2p3=0 ,
得λ2+(a-p1-p4)λ+p1p4-ap4-p2p3=0.
可知:當(dāng)a-p1-p4=0,即a0=p1+p4時(shí).
同時(shí)可得如下定理:
定理1對(duì)于系統(tǒng)(Δ),當(dāng)a-p1-p4>0 ,p1p4-ap4-p2p3>0時(shí),系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)E?(x?,y?)處漸近穩(wěn)定.
下面分析參數(shù)a對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響:
特征方程(λ-p1+a)(λ-p4)-p2p3=0兩端λ對(duì)a求導(dǎo)可得
在a0=p1+p4處,,得.
故當(dāng)a=a0時(shí),原系統(tǒng)在平衡點(diǎn)E?處發(fā)生Hopf分岔。
定理2當(dāng)a穿過(guò)臨界值a0=p1+p4且在其附近時(shí),原系統(tǒng)(Δ)在平衡點(diǎn)E?(x?,y?)處發(fā)生Hopf分岔,在小于臨界值時(shí)平衡點(diǎn)不穩(wěn)定,在大于臨界值時(shí)平衡點(diǎn)穩(wěn)定。
下面分析Hopf分岔的方向和周期解的穩(wěn)定性.
設(shè)對(duì)應(yīng)于λ=iω0的特征向量為,得
(p1-a)+p2V1=iω0,即,
其中
現(xiàn)系統(tǒng)(Δ)取定b=0.1,f=0.2,d=0.1,c=2,m=0.74,a0=1.97703,系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)(6.25676,8.45508)附近發(fā)生Hopf分岔,且ω0=0.176872,進(jìn)行如下計(jì)算:
由描述Hopf分岔性質(zhì)的公式[3]的結(jié)論判斷可知:由于u2<0,率依賴捕食-被捕食系統(tǒng)(Δ)的Hopf分岔是亞臨界的,當(dāng)a>a0時(shí),平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的焦點(diǎn);當(dāng)a穿過(guò)a0,即a<a0時(shí),系統(tǒng)產(chǎn)生一簇周期解,因β2<0,周期解是穩(wěn)定的。
現(xiàn)應(yīng)用非線性動(dòng)力學(xué)軟件Winpp[1],取定b=0.1,f=0.2,d=0.1,c=2,m=0.74,讓a變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)(Δ)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行模擬,在驗(yàn)證所得結(jié)論正確的同時(shí),展示了系統(tǒng)(Δ)在a不同取值時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為,如圖1~圖4所示。
圖1是當(dāng)系統(tǒng)(Δ)取參數(shù)為b=0.1,f=0.2,d=0.1,c=2,m=0.74,初值為x0=7,y0=9,a=1.971<a0=1.97703時(shí),系統(tǒng)的時(shí)間歷程及相圖,系統(tǒng)有穩(wěn)定的周期解。
圖2是當(dāng)系統(tǒng)(Δ)取參數(shù)為b=0.1,f=0.2,d=0.1,c=2,m=0.74,初值為x0=7,y0=9,a=1.974<a0=1.97703時(shí),系統(tǒng)的時(shí)間歷程及相圖,系統(tǒng)有穩(wěn)定的周期解。
圖2 參數(shù)2時(shí)捕食和被捕食密度變化及穩(wěn)定情況
圖3是當(dāng)系統(tǒng)(Δ)取參數(shù)為b=0.1,f=0.2,d=0.1,c=2,m=0.74,初值為x0=7,y0=9,a=1.978>a0=1.97703時(shí),系統(tǒng)的時(shí)間歷程及相圖,平衡點(diǎn)E*是穩(wěn)定焦點(diǎn)。
圖3 參數(shù)3時(shí)捕食和被捕食密度變化及穩(wěn)定情況
圖4是當(dāng)系統(tǒng)(Δ)取參數(shù)為b=0.1,f=0.2,d=0.1,c=2,m=0.74,初值為x0=7,y0=9,a=2>a0=1.97703時(shí),系統(tǒng)的時(shí)間歷程及相圖,平衡點(diǎn)E*是穩(wěn)定焦點(diǎn)。
圖4 參數(shù)4時(shí)捕食和被捕食密度變化及穩(wěn)定情況
通過(guò)本文的研究可以看出,對(duì)于含多個(gè)參數(shù)的率依賴捕食-被捕食系統(tǒng)模型,我們可以通過(guò)系統(tǒng)的參數(shù)的變化來(lái)預(yù)測(cè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性情況。當(dāng)其他參數(shù)取定數(shù)值時(shí),我們可以找到所討論內(nèi)稟增長(zhǎng)率參數(shù)a的臨界值,根據(jù)計(jì)算出來(lái)的u2、β2符號(hào),來(lái)判斷所取參數(shù)a大于或小于臨界值時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性或分岔性質(zhì),以分析捕食者和被捕食者兩種群是否有穩(wěn)定的數(shù)量,或在一個(gè)范圍內(nèi)有周期的變化。通過(guò)研究可知,內(nèi)稟增長(zhǎng)率對(duì)率依賴捕食-被捕食系統(tǒng)模型有著重要影響,其取值變化會(huì)決定系統(tǒng)種群規(guī)模穩(wěn)定或是波動(dòng),對(duì)于保護(hù)生物種類(lèi)的多樣性有重要的理論意義。
安陽(yáng)工學(xué)院學(xué)報(bào)2019年6期