直角坐標(biāo)系下三維軸對(duì)稱非齊次不可壓縮MHD方程的基本能量估計(jì)

劉芳君，馬 倩

(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

0 引言

磁流體(Magnetohydrodynamics,MHD)是涉及磁場(chǎng)和導(dǎo)電流體之間相互作用的研究，例如：等離子體、液態(tài)金屬、鹽水和電解質(zhì)等，MHD方程是研究磁特性和導(dǎo)電流體動(dòng)力學(xué)行為的一個(gè)方程.MHD方程最早由Hannes Alfvén[1]提出，他也因此獲得了1970年的諾貝爾物理學(xué).

由于MHD方程是Navier-Stokes方程和Maxwell方程耦合得到的，目前，關(guān)于MHD方程的數(shù)學(xué)理論研究還很少.Duraut和Lions[2]構(gòu)造了一類能量有限弱解和一類局部強(qiáng)解，特別地，二維的局部強(qiáng)解已經(jīng)被證明是整體的而且是唯一的，更多的研究見文獻(xiàn)[3-6]等；侯一釗和李從明[7]證明了具有渦旋的三維軸對(duì)稱Navier-Stokes方程的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性；之后，王術(shù)和吳繼暉[8]用侯一釗的方法構(gòu)建了一系列電阻MHD方程(uθ=Br=Bz=0)的整體光滑解；雷震[9]在流體速度和磁場(chǎng)中分量為零的條件下，即(uθ=Bθ=0)，證明了軸對(duì)稱MHD方程的全局適定性；2017年，蘇文火、郭真華和楊干山[10]在不要求流體速度和磁場(chǎng)中的分量為零的條件下，證明了三維柱對(duì)稱的一類大初值的整體光滑解的存在性.

本文主要針對(duì)三維軸對(duì)稱非齊次不可壓縮MHD方程的基本能量估計(jì)展開研究，即文獻(xiàn)[10]中的引理4.1，該引理對(duì)后續(xù)證明MHD方程解的存在性至關(guān)重要.文獻(xiàn)[10]考慮的是柱對(duì)稱條件下的MHD方程的基本能量估計(jì)，在柱坐標(biāo)系下將原始的MHD方程中的第2個(gè)和第3個(gè)等式轉(zhuǎn)變成了文獻(xiàn)[10]中式(2.6)和(2.7)中的6個(gè)等式，且將質(zhì)量守恒和不可壓縮約束條件轉(zhuǎn)變成了式(2.5)和(2.8)的形式，在一定程度上限制了MHD基本能量估計(jì)的應(yīng)用范圍，簡(jiǎn)化了其求解過(guò)程.為了使MHD方程基本能量估計(jì)的適用范圍較廣，本文將推導(dǎo)三維軸對(duì)稱非齊次不可壓縮MHD方程在直角坐標(biāo)系下的基本能量估計(jì).

1 三維軸對(duì)稱非齊次不可壓縮MHD方程在直角坐標(biāo)系下的模型

三維軸對(duì)稱非齊次不可壓縮MHD方程為

(1)

將質(zhì)量守恒方程和不可壓縮條件分別轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系下的形式，即

ρt+div(ρu)=0?ρt+ρx1u1+ρx2u2+ρx3u3=0,

(2)

(3)

其中，x1、x2和x3分別表示直角坐標(biāo)系的3個(gè)坐標(biāo)軸，u1、u2和u3分別表示每個(gè)坐標(biāo)軸對(duì)應(yīng)的u的分量，B1、B2和B3分別表示每個(gè)坐標(biāo)軸對(duì)應(yīng)的B的分量，u1x1表示u1對(duì)x1求偏導(dǎo)，u2x2、u3x3、B1x1、B2x2、B3x3的含義與u1x1類似.

將式(1)中的第2個(gè)等式乘以u(píng)，第3個(gè)等式乘以B，并將其在直角坐標(biāo)系下的展開得

(4)

(5)

其中，ux1x1表示u對(duì)x1求2次偏導(dǎo)，ux2x2、ux3x3、Bx1x1、Bx2x2、Bx3x3的含義與ux1x1類似.

將式(4)和式(5)相加并積分，整理后可得

(6)

將式(6)進(jìn)一步化簡(jiǎn)、整理可得

(7)

下面將在下一節(jié)對(duì)式(7)進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo).

2 MHD方程的基本能量估計(jì)

本節(jié)主要完成式(7)的推導(dǎo).下面，將利用式(2)和(3)的約束條件對(duì)式(7)中等式右端包含的6項(xiàng)進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)，即分別對(duì)Ia至If進(jìn)行推導(dǎo).先來(lái)看第一項(xiàng)Ia，即

(8)

將式(8)拆成2部分，即Ia1和Ia2，其可分別表示為

通過(guò)仿真驗(yàn)證,在添加了卡爾曼濾波程序后,極大地改善了鎖相環(huán)的輸出,且擴(kuò)展了鎖相環(huán)可跟蹤的信噪比范圍。通過(guò)仿真驗(yàn)證,本文的算法最大可提取信噪比在-20 dB左右的信號(hào)。

(9)

(10)

下面，分別對(duì)Ia2中的每一項(xiàng)進(jìn)行單獨(dú)計(jì)算，即

結(jié)合式(9)和Ia21至Ia29可知，Ia1中的全部項(xiàng)均可在Ia2中找到相應(yīng)項(xiàng)的相反值，故可全部抵消.最終得到的Ia為

(11)

第2項(xiàng)Ib可以表示為

(12)

通過(guò)對(duì)比式(12)和(10)可知，兩者在形式上基本相同，只是式(12)中的系數(shù)υ是常量，因此，采用與Ia2相同的推導(dǎo)方式，最終得到的Ib為

(13)

第3項(xiàng)Ic可以表示為

(14)

采用與Ia2相同的推導(dǎo)思路，分別對(duì)Ic中的每一項(xiàng)進(jìn)行單獨(dú)計(jì)算，即

(15)

結(jié)合式(15)和Ic1至Ic9，Ic可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

(16)

利用式(2)所表示的質(zhì)量守恒方程，最終得到的Ic為

(17)

(18)

第5項(xiàng)Ie可以表示為

(19)

采用與Ia2相同的推導(dǎo)思路，分別對(duì)Ie中的每一項(xiàng)進(jìn)行單獨(dú)計(jì)算，即

(20)

Ie10+Ie11+Ie12=0，Ie13+Ie14+Ie15=0，Ie16+Ie17+Ie18=0.

(21)

結(jié)合式(18)、(20)和(21)，可得

Id+Ie=0.

(22)

第6項(xiàng)If可以表示為

(23)

至此，式(7)右側(cè)包含的6項(xiàng)已全部求解完畢.利用式(11)、(13)、(17)、(22)和(23)，將右側(cè)6項(xiàng)相加后可得

(24)

結(jié)合式(7)和(24)，并對(duì)式(7)兩端同時(shí)對(duì)t在[0,T]的范圍內(nèi)進(jìn)行積分，最終推導(dǎo)得到三維軸對(duì)稱不可壓縮MHD方程在直角坐標(biāo)系下的基本能量估計(jì)為

(25)

3 結(jié)語(yǔ)

本文主要研究三維軸對(duì)稱非齊次不可壓縮MHD方程在直角坐標(biāo)系下的基本能量估計(jì)，通過(guò)在原始MHD方程的第2個(gè)式子和第3個(gè)式子的兩端分別乘以u(píng)和B，將相乘后的第2個(gè)式子和第3個(gè)式子相加并在直角坐標(biāo)系下展開，利用直角坐標(biāo)系下的質(zhì)量守恒公式和不可壓縮條件，最終推導(dǎo)得到了MHD方程在直角坐標(biāo)系下的基本能量估計(jì)，為后續(xù)MHD方程在直角坐標(biāo)系下解的存在性證明奠定了基礎(chǔ).