□姜佶楠
(杭州市采荷實(shí)驗(yàn)學(xué)校,浙江杭州 310020)
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要以數(shù)學(xué)問題為載體,而幾何問題離不開圖形.杭州中考數(shù)學(xué)試卷中的幾何問題,圖形簡約優(yōu)美,表述簡潔明晰,學(xué)生每道題都能上手,但如果想要得高分甚至滿分,需要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識和較強(qiáng)的解題能力.現(xiàn)以2019 年杭州中考數(shù)學(xué)第21 題為例,作粗淺評析,供批評指正.
圖1
試題如圖1,已知正方形ABCD的邊長為1,正方形CEFG的面積為S1,點(diǎn)E在DC邊上,點(diǎn)G在BC的延長線上,設(shè)以線段AD和DE為鄰邊的矩形面積為S2,且S1=S2.
(1)求線段CE的長;
(2)若點(diǎn)H為BC邊的中點(diǎn),連結(jié)HD,求證:HD=HG.
命題者秉承“回歸課本,研究常見圖形”的思路,選取了一個數(shù)學(xué)味十足的經(jīng)典圖形.問題設(shè)計(jì)指向明確,考查學(xué)生求線段長度的基本功,難度適中,能較好地檢驗(yàn)學(xué)生對于通性通法的掌握情況.
圖2
關(guān)于第(1)問:
由面積相等建立方程,不妨設(shè)CE=x,則DE=1-x.
解 法1:如 圖2,由S1=S2,即S矩形AHED=S正方形ECGF,
可得方程1(1-x)=x2,得
解法2:如圖2,由S1=S2,可得S正方形ABCD=S矩形HBGF,
可得方程1=x(x+1),得
將面積相等轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系,還可以巧用黃金分割.
解法3:由S1=S2,即S矩形AHED=S正方形ECGF,
可得AD·DE=EC·EF,即
由正方形性質(zhì)可得AD=DC,EF=EC,
且CD=1,因此
關(guān)于第(2)問:
∴HG=CH+CG=
∴HG=HD.
幾何問題中,圖形是“本”,是問題的“源”.試題本身并不復(fù)雜,對于大部分學(xué)生來說,也都能順利解決,但對于教師來說,深入的后續(xù)思考,無疑是必要的.
本題的圖形源自于《幾何原本》第二卷的命題11,原命題是“可以切分已知線段,使它與一條小線段構(gòu)成的矩形面積等于余下線段為邊的正方形面積”.
歐幾里得給出的方法如下:
以AB為邊作正方形ABCD,取AD中點(diǎn)E,連結(jié)BE,延長EA至F,使EF=BE,以AF為邊作正方形AFGH,延長GH交DC于點(diǎn)K.
則AB被H點(diǎn)所分,AB,BH構(gòu)成的矩形面積等于以AH為邊的正方形面積[1].
對于初中學(xué)生來說,這一結(jié)論通過計(jì)算,即可證明(如圖3).
設(shè)AE=a,可得圖中各條線段長度,因此
圖3
可得S正方形AFGH=S矩形BHKC.
歐幾里得在《原本》中給出的幾何證法較為復(fù)雜,對于初中生來說,研究起來難度較大,此處不再贅述.近年的杭州中考幾何問題,不止一次出現(xiàn)富有數(shù)學(xué)味的經(jīng)典圖形,如2018年的第21題,試題如下.
圖4
如圖4,在△ABC中,∠ACB=90°,以點(diǎn)B為圓心,BC的長為半徑畫弧,交線段AB于點(diǎn)D,以點(diǎn)A為圓心,AD長為半徑畫弧,交線段AC于點(diǎn)E,連結(jié)CD.
(1)若∠A=28°,求∠ACD的度數(shù);
(2)設(shè)BC=a,AC=b.
①線段AD的長度是方程x2+2ax-b2=0的一個根嗎?說明理由;
②若線段AD=EC,求的值.
此題源于浙教版八下第二章《一元二次方程》章末的閱讀材料,是圍繞《原本》中歐幾里得給出的形如x2+ax=b2的方程的幾何解法的經(jīng)典圖形,設(shè)計(jì)了求角度、線段,研究線段比例關(guān)系問題.
這兩年杭州中考的第21題圖形、知識點(diǎn)、方法不同,但共同特征是源于課本,取材于數(shù)學(xué)經(jīng)典.簡潔的圖形和精練的題干可以讓學(xué)生迅速抓住圖形的特征,結(jié)合問題縮短思維鏈,找到解題方法,使每一名學(xué)生都能動手操作,嘗試解題,充分體現(xiàn)了命題者對數(shù)學(xué)韻味和育人情懷的兼顧.
教學(xué)中可以將此圖做進(jìn)一步挖掘,發(fā)展學(xué)生的思維,通過多種方法的比較,滿足不同思維水平學(xué)生的需要.如將原圖下方的正方形截一半(如圖5),設(shè)置以下三個問題.
已知:在矩形ABCD中,以點(diǎn)A為圓心,對角線AC的長為半徑畫弧,交射線AD于點(diǎn)E,以DE為邊長作正方形DEFG,設(shè)AD=a,AB=b.
(1)線段DG的長度是方程x2+2ax-b2=0的一個根嗎?說明理由;
圖5
(2)若點(diǎn)G是線段DC的黃金分割點(diǎn)(DG>GC),求的值;
(3)在(2)的條件下,延長FG交AB于點(diǎn)H,探究S正方形EDGF與S矩形GHBC的數(shù)量關(guān)系.
考查的知識點(diǎn)依然是初中研究線段關(guān)系的常用方法,第(1)問直接應(yīng)用勾股定理,設(shè)DG=x,在Rt△ACD中,AD2+CD2=AC2,
由題意:AC=AE,DE=DG,DC=AB,可得a2+b2=(x+a)2整理即得結(jié)論.
圖6
第(2)(3)問 可 以 設(shè)DC=1,則DG=進(jìn)而求得圖中各線段長度(如圖6),可得
繼續(xù)計(jì)算S正方形EDGF
可得S正方形EDGF=2S矩形GHBC.
亦可利用黃金分割概念優(yōu)化解法,由題意得DG2=DC·CG.
對于第(2)問,可設(shè)DG=x,則x2=b(b-x),整理得x2+bx-b2=0,結(jié)合(1)的結(jié)論x2+2ax-b2=0,可得
對于第(3)問,抓住黃金分割概念,S正方形EDGF=DG2=DC·CG,
又S矩形GHBC=CG·CB,由上題結(jié)論可知2BC=CD,可得S正方形EDGF=2S矩形GHBC.
通過五星酒店風(fēng)機(jī)盤管控制方式及溫控面板位置選擇技術(shù)的探討,全面羅列了目前主要的風(fēng)機(jī)盤管控制方式,同時結(jié)合以往項(xiàng)目酒店案例設(shè)計(jì)情況進(jìn)行綜合分析,較為全面地總結(jié)了酒店各區(qū)域的風(fēng)機(jī)盤管控制方式選擇、溫控面板的位置設(shè)置、數(shù)量以及外置溫度傳感器的設(shè)置,對于部分區(qū)域如公共衛(wèi)生間及后場區(qū)域提出幾種解決方案。
在解決第(1)問的過程中學(xué)生可能會將方程的根解出來,再代入圖形中去驗(yàn)證,計(jì)算量較大.這一問的設(shè)計(jì),主要是為了讓學(xué)生通過解題,體會到雖然表面上涉及方程、代數(shù)式運(yùn)算,但究其本質(zhì),還是研究圖形中的線段關(guān)系.僅僅是運(yùn)算的對象從具體的數(shù)變成了字母,運(yùn)算的結(jié)果一般化、符號化,體會從特殊到一般,從具體到抽象的過程.
第(2)(3)兩問,大部分學(xué)生采用了計(jì)算的方法,體現(xiàn)了大部分學(xué)生對于通性通法的掌握.第(2)問中,利用黃金分割的概念解決問題的學(xué)生較少,第(3)問由DG2聯(lián)想到正方形面積的更是寥寥無幾. 這啟示我們,在新授課中,對于基本概念的教學(xué),還有提升空間.對于思維水平較高的學(xué)生,這樣的方法比較,有助于對概念的深入理解,助推高階思維的發(fā)展.
課本,是教學(xué)之本,我們要從“教教材”走向“用教材”,認(rèn)真琢磨教材的設(shè)計(jì)意圖.教什么?怎么教?教到什么程度?目標(biāo)導(dǎo)向,充分挖掘教材資源的育人價值;分析學(xué)情,做好教材資源的校本化使用;深入研究,慎重而有依據(jù)地創(chuàng)新設(shè)計(jì).在理解數(shù)學(xué),理解學(xué)生,理解教學(xué)的基礎(chǔ)上進(jìn)行合理、充分地使用教材.例如,2018 年與2019 年的第21 題,都源于利用幾何方法解決代數(shù)問題這一源頭,對于這類問題,浙教版教材提供了許多有價值的資源.
浙教版八年級下冊教師用書第50頁,《第2章一元二次方程》章末小結(jié)“相關(guān)資源”:
如圖7,在矩形ABCD中,AB=6,BC=11,P是邊AD上一動點(diǎn),(不含A,D),連結(jié)PC,E是AB上一點(diǎn).
圖7
(1)已知BE=2,是否存在點(diǎn)P,使∠EPC=90°,若存在,求AP的長;若不存在,請說明理由;
(2)設(shè)BE=a,若存在點(diǎn)P使得∠EPC=90°,求a的取值范圍.
圖8
教材提供這一資源的意圖是強(qiáng)化學(xué)生利用二次方程解決實(shí)際問題時,需注意情境的存在性判定.但對于九年級學(xué)生來說,此題在中考復(fù)習(xí)中有著更大的價值,改編如下:
如圖8,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,E在邊AB上,BE=a,
P是邊AD上一動點(diǎn),連結(jié)PC,PE,若存在唯一的點(diǎn)P,使∠EPC=90°,則a=___.
改變BC的長度是為了方便計(jì)算.
①從代數(shù)角度思考:不妨設(shè)AP=x,易由
△APE∽△PDC得即
整理得x2-10x+36-6a=0,
從方程角度理解,可利用Δ=0 求出a的值;
從函數(shù)的角度,可變形為a關(guān)于x的二次函數(shù)利用二次函數(shù)性質(zhì)求得最值并檢驗(yàn)是否可行.
②從幾何角度看,可知P點(diǎn)軌跡為以CE中點(diǎn)O為圓心,OE長度為半徑的半圓上,由題意得,要使得P點(diǎn)唯一存在,則圓與邊AD相切(如圖9),連結(jié)OP并反向延長,交BC邊于點(diǎn)Q.
圖9
教材和學(xué)生,是我們教學(xué)最重要的資源,如果能與學(xué)生一起,挖深、講透這樣的例題,對于學(xué)生形成知識之間的橫向聯(lián)系,發(fā)展以數(shù)釋形、以形助數(shù)的邏輯閉環(huán),是有所裨益的.
由此可見,只有深入理解數(shù)學(xué),理解課標(biāo),才能充分挖掘教材資源,謹(jǐn)慎而有創(chuàng)造性地使用教材資源,讓學(xué)生通過解題,經(jīng)歷過程,積累經(jīng)驗(yàn),感悟方法.
近年來,包括杭州在內(nèi)的許多省市的中考卷中,出現(xiàn)了源于或者改編自數(shù)學(xué)歷史的經(jīng)典問題的考題.因此,開發(fā)數(shù)學(xué)史,助力日常教學(xué),是素養(yǎng)立意的教育改革的大勢所趨,也是充分發(fā)揮數(shù)學(xué)育人價值的必然要求.
1.體現(xiàn)人文價值,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣
例如,在給出無理數(shù)的定義之前,可以嘗試在課堂上探討根號的由來,將無理數(shù)歷史加以介紹,讓學(xué)生了解這一數(shù)學(xué)符號及數(shù)學(xué)歷史的發(fā)生、發(fā)展過程,是數(shù)學(xué)人文價值的體現(xiàn);的幾何意義,更體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)文化”的核心,它不僅充分展示了數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展及應(yīng)用的過程,更包含“數(shù)形結(jié)合”等思想方法,也實(shí)現(xiàn)了從“一維”到“二維”的思維方式的跨越.
2.重構(gòu)發(fā)生過程,加深概念理解
在給出無理數(shù)定義時,也可以結(jié)合“有理數(shù)可以用兩個整數(shù)之比來表示”這一特征,凸顯無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別及無理數(shù)存在的必要性,在此基礎(chǔ)上給出定義——不能用兩個整數(shù)之比表示,再根據(jù)有理數(shù)的小數(shù)表征、無理數(shù)的小數(shù)表征,加深學(xué)生對無理數(shù)的概念和表征的理解,也體現(xiàn)了知識的發(fā)生、發(fā)展過程.
美國數(shù)學(xué)史家卡約黎的研究表明,學(xué)生所遭遇的困難往往是相關(guān)學(xué)科的創(chuàng)建者經(jīng)過長期思索和探討后所克服的實(shí)際困難,為了讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念,教師有必要從數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的角度進(jìn)行課堂設(shè)計(jì),幫助學(xué)生突破認(rèn)知障礙.
3.豐富學(xué)習(xí)體驗(yàn),感受數(shù)學(xué)魅力
回溯無理數(shù)的發(fā)展歷史,學(xué)生會意識到,數(shù)學(xué)知識也是隨著時間不斷發(fā)展變化的,這一過程也并非一帆風(fēng)順.在2000 多年漫長的歷史中,數(shù)學(xué)家們對于無理數(shù)這一概念的不斷探索和研究,也培養(yǎng)著學(xué)生的理性精神和批判思維,讓學(xué)生親近數(shù)學(xué),感受數(shù)學(xué)的魅力[2].