利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的創(chuàng)新熱點(diǎn)直擊

楊希

利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題在高考中主要有三類：異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角。從這三個(gè)角度出發(fā)，我們來(lái)談?wù)務(wù)郫B問(wèn)題、動(dòng)態(tài)問(wèn)題、探索性問(wèn)題如何與其交匯，形成創(chuàng)新熱點(diǎn)題型。

創(chuàng)新角度一，折疊背景下探究異面直線所成的角

兩異面直線所成角的范圍是θ∈（0，π/2]，兩向量的夾角a的范圍是[0，π]，當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是該異面直線的夾角;當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是異面直線的夾角。

例1 將正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，則異面直線AD與BC所成的角為（ ）。

A.π/6

B. π/4

C.π/3

D.π/2

創(chuàng)新角度點(diǎn)評(píng)：通常情況下，我們都是在現(xiàn)成的空間幾何體內(nèi)求解異面直線所成的角，這就為我們尋找異面直線所成的角創(chuàng)造了現(xiàn)成的觀察平臺(tái)。如果幾何圖形需要折疊，而折疊后所得到的是一個(gè)空間幾何體，這就需要我們用全新的眼光去定奪一個(gè)“新生事物”，判斷是否有暗礁與險(xiǎn)灘，我們需要小心為事。

創(chuàng)新角度二、動(dòng)態(tài)狀態(tài)下已知線面角求線段的長(zhǎng)度

（l）設(shè)直線l的方向向量為a，平面a的法向量為n，直線l與平面a所成的角為θ，則sinθ=[cos（a，n）]=|a·n|/|a|·|n|。

（2）利用向量法求線面角的方法：

①分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影，直線的方向向量，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角（或其補(bǔ)角）。

②通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線和平面所成的角。

（3）利用平面的法向量求線面角的兩個(gè)注意點(diǎn)：

①求出直線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角（鈍角時(shí)取其補(bǔ)角），取其余角即為所求。

創(chuàng)新角度點(diǎn)評(píng)：我們平時(shí)所見(jiàn)的絕大多數(shù)求解線面角問(wèn)題，都是直接求直線的方向向量與平面的法向量，然后套用公式確定直線與平面所成的角。如果已知直線與平面所成的角（或角的三角函數(shù)值）去求解某條線段的長(zhǎng)，那么線面角所在的幾何體就是一個(gè)“動(dòng)態(tài)”的，是需要我們?nèi)ァ罢{(diào)整”的，這里的“動(dòng)態(tài)”與“調(diào)整”指的就是可以去尋找方程，確定所求線段長(zhǎng)度。

創(chuàng)新角度三.二面角與探索性問(wèn)題

（1）利用向量計(jì)算二面角大小的常用方法：

①找法向量：分別求出二面角的兩個(gè)半平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)半平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小。

②找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小。

（2）利用法向量求二面角時(shí)的兩個(gè)注意點(diǎn)：

①對(duì)于某些平面的法向量要注意是隱含在已知條件中，不用單獨(dú)求。

②注意判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，可結(jié)合圖形進(jìn)行，以防結(jié)論錯(cuò)誤。

（3）利用空間向量解決探索性問(wèn)題的這類題型，其考查形式主要是已知二面角的大小逆向探索求解“點(diǎn)”的存在問(wèn)題。若所探求的“點(diǎn)”存在，則一般情況下是存在于線段的等分點(diǎn)，如二等分點(diǎn)、三等分點(diǎn)等。

創(chuàng)新角度點(diǎn)評(píng)：探索性問(wèn)題一直以來(lái)就是一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，而把探索性問(wèn)題與二面角相結(jié)合就更是高考的熱點(diǎn)考查角度。一定要明確這類問(wèn)題的解答思路，比如，該題的探索解決途徑體現(xiàn)在將點(diǎn)E的是否存在轉(zhuǎn)換為法向量n1=（2m，m-4，2）是否存在，而法向量，n1=（2m，m- 4，2）是否存在又體現(xiàn)于其中的m是否有解。

（責(zé)任編輯 王福華）