合理引入，科學(xué)生成，思想滲透

蘭愛軍

[摘 ?要] “直線的傾斜角與斜率”是高中數(shù)學(xué)解析幾何的首節(jié)內(nèi)容，教學(xué)中需要學(xué)生掌握傾斜角與斜率的概念，并認(rèn)識(shí)斜率的計(jì)算公式. 本節(jié)內(nèi)容較為新穎，學(xué)生理解時(shí)存在難度，教學(xué)中需要教師采用合理的教學(xué)方式，既達(dá)成教學(xué)任務(wù)，又提升學(xué)生能力. 文章將從課題引入、過程構(gòu)建和思想滲透三個(gè)方面開展教學(xué)探討.

[關(guān)鍵詞] 傾斜角;斜率;引入;過程;思想方法

“直線的傾斜角與斜率”是人教版必修二的重要內(nèi)容，也是學(xué)生高中階段學(xué)習(xí)解析幾何的開始，通過課堂教學(xué)需要使學(xué)生理解相關(guān)的概念，掌握研究幾何性質(zhì)的基本方法和基本思想，因此該章節(jié)內(nèi)容對(duì)于解析幾何的學(xué)習(xí)有著基調(diào)奠定、方法滲透的作用，下面結(jié)合教材內(nèi)容探討課堂教學(xué)建議.

遵循教學(xué)規(guī)律，合理引入課題

作為平面幾何的重要內(nèi)容，在教學(xué)“直線的傾斜角與斜率”時(shí)需要重點(diǎn)把握“傾斜角”和“斜率”兩個(gè)概念. 而上述概念是學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中所從未接觸過的，考慮到學(xué)生的認(rèn)知能力和知識(shí)生成的規(guī)律，從科學(xué)發(fā)展角度思考應(yīng)該遵循相應(yīng)的教學(xué)理念，精心設(shè)計(jì)引入環(huán)節(jié)，使學(xué)生自然而然地完成知識(shí)的過渡.在教學(xué)引入階段需要注意兩點(diǎn)：一是知識(shí)聯(lián)系實(shí)際的應(yīng)用規(guī)律，二是知識(shí)構(gòu)建的生成規(guī)律.

“直線的傾斜角與斜率”內(nèi)容與我們的生活實(shí)際聯(lián)系極為緊密，利用該內(nèi)容的相關(guān)知識(shí)可以解決很多生活的問題，為提升后續(xù)學(xué)生知識(shí)的應(yīng)用能力，在課堂引入階段需要充分利用生活中的素材，以情景教學(xué)的方式開展課堂引入. 例如引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)直線傾斜角的概念時(shí)可以給出滑雪時(shí)的圖片，讓學(xué)生思考如何刻畫滑坡的坡度，或者給出高射炮的實(shí)物圖，讓學(xué)生思考如何衡量炮管的傾斜情況. 一方面利用實(shí)物激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，另一方面使學(xué)生立足生活實(shí)際來思考數(shù)學(xué)問題.

我們知道“傾斜角”和“斜率”是溝通幾何與代數(shù)的重要概念，而研究平面幾何的點(diǎn)、線、面，以及構(gòu)建傾斜角與斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系離不開代數(shù)與幾何間的重要橋梁——坐標(biāo)系，也是探究直線位置關(guān)系的基礎(chǔ)工具，因此課堂的引入環(huán)節(jié)需要關(guān)注直角坐標(biāo)系的引入，使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到坐標(biāo)系在本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)中的重要性. 在實(shí)際教學(xué)中，引入坐標(biāo)系可以從以下兩點(diǎn)進(jìn)行：

1. 感悟作用

首先在預(yù)先準(zhǔn)備的方格紙上繪制一個(gè)平面圖形，如圖1，然后讓學(xué)生觀察圖形，用合適的語言來加以描述，確保學(xué)生在不看圖的前提下可以重復(fù)準(zhǔn)確作出該圖形. 在這個(gè)過程中學(xué)生必然需要關(guān)注圖形上的點(diǎn)，利用點(diǎn)的特點(diǎn)來重復(fù)圖形，此時(shí)需要教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“點(diǎn)”是圖形組成的基本要素，也是圖形研究的關(guān)鍵，點(diǎn)的位置表示需要利用直角坐標(biāo)系，從而順利完成坐標(biāo)系的引入.

2. 聯(lián)系內(nèi)容

學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過一次函數(shù)等相關(guān)內(nèi)容，掌握了一次函數(shù)圖像的作圖方法，在教學(xué)“傾斜角”和“斜率”時(shí)必然離不開對(duì)直線特性的描述，因此教學(xué)中可以展示圖2所示的一次函數(shù)圖像，讓學(xué)生思考刻畫該直線是否可以不借助直角坐標(biāo)系，而坐標(biāo)系中的哪些要素可以確定該直線.學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)基礎(chǔ)可以很快得到刻畫直線必須借助直角坐標(biāo)系，而坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定直線的位置關(guān)系. 通過函數(shù)的圖像學(xué)生強(qiáng)化了坐標(biāo)系在函數(shù)學(xué)習(xí)中的作用，而引導(dǎo)學(xué)生分析直線位置關(guān)系確定的幾何要素為后續(xù)的知識(shí)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

關(guān)注構(gòu)建過程，科學(xué)預(yù)設(shè)生成

知識(shí)的生成和發(fā)展是遵循一定科學(xué)規(guī)律的，因此在教學(xué)中需要準(zhǔn)確把握知識(shí)間的聯(lián)系，利用生成規(guī)律探索新知.“直線的傾斜角與斜率”內(nèi)容的教學(xué)過程需要分兩個(gè)階段：第一階段是把握知識(shí)聯(lián)系，關(guān)注“傾斜角”概念，并利用“傾斜角”概念衍生“斜率”概念，第二階段是利用幾何變化，探討直線“傾斜角”的范圍與“斜率”的關(guān)系特性.

實(shí)際教學(xué)中，第一階段的開展是建立在學(xué)生對(duì)“傾斜角是描述直線傾斜程度”的認(rèn)知上，該過程的構(gòu)建可以對(duì)上述一次函數(shù)圖像進(jìn)行深入探究.學(xué)生已經(jīng)了解到函數(shù)上的點(diǎn)可以確定直線在坐標(biāo)系中的位置關(guān)系，則給出如圖3的圖像，讓學(xué)生進(jìn)一步思考若是同過點(diǎn)P1的直線，通過怎樣的操作可以重合為一條直線，逐步引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到“由一點(diǎn)和固定的傾斜角可以確定唯一直線”，充分了解傾斜角存在的意義. 而后續(xù)研究斜率內(nèi)容，則可以借助一次函數(shù)的圖像，采用“問題思考→幾何畫板演示k數(shù)值隨α變化→列表歸納對(duì)應(yīng)關(guān)系”的構(gòu)建思路. 首先讓學(xué)生思考除了“一點(diǎn)和傾斜角可以確定唯一直線”外，還可以怎樣確定直角坐標(biāo)系中的一次函數(shù)圖像，引導(dǎo)學(xué)生明確利用兩點(diǎn)來確定.然后給出一次函數(shù)的通式y(tǒng)=kx+b，讓學(xué)生進(jìn)一步思考如下問題：一次函數(shù)通式中的b是表示y軸上的截距，那么k是如何影響函數(shù)圖像的特征的呢？教學(xué)時(shí)可以借助幾何畫板，將參數(shù)b固定，使學(xué)生觀察k的變化對(duì)直線的影響情況. 最后采用列表的方式給出一些k的值，以及對(duì)應(yīng)直線傾斜角，引導(dǎo)學(xué)生深入猜想兩者之間的關(guān)系，完成由圖像研究到代數(shù)分析的過渡.

第二階段在探討“傾斜角”的范圍與“斜率”的關(guān)系特性時(shí)同樣可以借助幾何畫板，再現(xiàn)一次函數(shù)圖像的旋轉(zhuǎn)過程，結(jié)合傾斜角的定義讓學(xué)生思考其取值范圍（0°≤α≤360°）以及對(duì)應(yīng)的k值變化，然后引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖像旋轉(zhuǎn)過程較為特殊的兩個(gè)位置：平行于x軸和垂直于x軸的位置. 而在關(guān)系揭示中可以結(jié)合正切函數(shù)y=tanx（0°≤x≤180°）的圖像，采用列表歸納的方式得出對(duì)應(yīng)特性，如表1所示，需要注意的是在列表歸納過程中應(yīng)充分尊重學(xué)生的主體地位，采用引導(dǎo)探究的方式.

學(xué)生在掌握對(duì)應(yīng)關(guān)系之后，還有必要將其上升到數(shù)學(xué)理論高度，并歸納出對(duì)應(yīng)的求解公式，實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的具體化.該過程的教學(xué)適合采用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式，首先引入數(shù)學(xué)上坡度的計(jì)算公式，即坡度= （圖4），并將其上升到數(shù)學(xué)本質(zhì)上，即tanα=坡度. 然后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)分析直線傾斜角的大?。ǚ枝?90°和α≠90°兩種情況來討論），如圖5所示，當(dāng)x1≠x2時(shí)，α≠90°，此時(shí)tanα= ;而當(dāng)x1=x2時(shí)，α=90°，此時(shí)tanα的值不存在. 通過數(shù)形結(jié)合的方式，使學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)到“點(diǎn)坐標(biāo)”“直線斜率”與“函數(shù)解析式”三者之間的數(shù)學(xué)關(guān)系.

滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)的思想方法一直都是提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要方式，在這個(gè)過程中學(xué)生將體驗(yàn)知識(shí)的探究過程，數(shù)學(xué)思維將得到極大的鍛煉. 高中階段需要使學(xué)生掌握的思想方法有很多，但教學(xué)時(shí)需要結(jié)合具體的內(nèi)容來引導(dǎo)，如本章節(jié)教學(xué)中可以滲透數(shù)學(xué)的建模思想，提升學(xué)生的分析思維;滲透數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想，提升學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化能力;滲透數(shù)學(xué)的化歸轉(zhuǎn)化思想，提升學(xué)生的總結(jié)歸納能力.

在本章節(jié)的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)處可以滲透建模思想，主要有以下兩點(diǎn)：一是引入傾斜角，二是衍生坡度計(jì)算公式. 以上述情景教學(xué)引入的實(shí)例為例，導(dǎo)入高射炮之后可以引導(dǎo)學(xué)生以地面所在直線為x軸，垂直于地面的方向?yàn)閥軸建立直角坐標(biāo)系，建立圖6所示的模型，使學(xué)生體驗(yàn)生活實(shí)例向數(shù)學(xué)基本圖形的轉(zhuǎn)化過程，初步掌握數(shù)學(xué)建模的基本方法. 又如分析坡度時(shí)將生活中常見的水上滑梯抽象為數(shù)學(xué)上的三角形，將三角形的斜邊視為是滑梯的滑道，則學(xué)生很容易根據(jù)模型來判斷衡量坡度的幾何量.

數(shù)形結(jié)合思想主要應(yīng)在傾斜角與斜率關(guān)系的探究中滲透，以求通過圖像的變化來確定兩者的關(guān)系，例如通過幾何畫板來呈現(xiàn)直角坐標(biāo)系中一次函數(shù)圖像繞固定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)（如圖7），并完成表2的數(shù)據(jù)填寫，最后結(jié)合圖5的一次函數(shù)的點(diǎn)坐標(biāo)圖逐步給出對(duì)應(yīng)的關(guān)系式.

數(shù)學(xué)的知識(shí)探究最終都需要上升到數(shù)學(xué)理論高度，得出相應(yīng)的結(jié)論，這個(gè)過程中必然離不開數(shù)學(xué)的化歸轉(zhuǎn)化思想. 例如本節(jié)內(nèi)容教學(xué)傾斜角的取值范圍與斜率的對(duì)應(yīng)特性時(shí)，需要分為α=90°和α≠90°兩種情況，對(duì)應(yīng)的需要將斜率化歸為斜率存在和斜率不存在兩種情況，并結(jié)合正切函數(shù)總結(jié)出斜率的取值范圍. 又如在拓展強(qiáng)化階段讓學(xué)生結(jié)合初中的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)分析兩條平行線的傾斜角以及對(duì)應(yīng)的斜率，幫助學(xué)生總結(jié)出“兩線平行，傾斜角相同，斜率相等”的結(jié)論，實(shí)現(xiàn)一般問題到數(shù)學(xué)結(jié)論的化歸.

總之，對(duì)于本章節(jié)“直線的傾斜角與斜率”的知識(shí)講解，需要教師在明確教學(xué)重難點(diǎn)的基礎(chǔ)上，充分考慮學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知能力，以生活中的實(shí)例為教學(xué)素材，合理引入課堂主題;而在核心知識(shí)的講解時(shí)，應(yīng)把握知識(shí)間的聯(lián)系，采用預(yù)設(shè)生成的方式完成知識(shí)的構(gòu)建;同時(shí)注重教學(xué)內(nèi)容的思想滲透，以發(fā)展學(xué)生思維、提升學(xué)生能力作為教學(xué)重點(diǎn).