設計有效問題 優(yōu)化數(shù)學活動

解則霞 鄭巖

[摘 ?要] 在高中數(shù)學教學中，要基于學生的多元數(shù)學活動打造高效的數(shù)學課堂，以此全面提升課堂教學效能以及學生的自主學力. 教師的有效問題是引導學生開展數(shù)學活動的重要手段，基于此背景，文章對設計思考性問題，驅(qū)動數(shù)學活動;設計沖突性問題，推進數(shù)學活動;設計肯定性問題，保障數(shù)學活動的策略進行了探究.

[關鍵詞] 高中數(shù)學;有效問題;數(shù)學活動

數(shù)學這門學科具有典型的科學性和抽象性，也是我國課程體系中極具重要性的基礎學科之一，對于促進學生綜合素養(yǎng)的全面發(fā)展起著非常重要的作用. 對于高中生來說，高中數(shù)學是一門比較難的課程，很多學生普遍感覺很多數(shù)學概念、定理及性質(zhì)晦澀難懂. 高中生在實際數(shù)學學習過程中，已經(jīng)不滿足于教師單純的“說教”，他們更喜愛自主探索.在“學為中心”的高中數(shù)學課堂教學中，教師要設計有效問題引導學生在數(shù)學活動中進行數(shù)學學習，以此激活他們參與數(shù)學學習的主動性和積極性.

設計思考性問題，驅(qū)動數(shù)學活動

在高中數(shù)學教學中，教師應深度把握教材，并在此基礎上為學生設計合適的教學情境，使學生能夠在情境中提出具有思考價值的問題，這樣才能夠確保學生的數(shù)學活動參與度，才能使學生在實際學習的過程中主動發(fā)現(xiàn)問題，同時還能夠展開對問題的自主思考以及有效解決，才能夠快速且高效地獲取知識，突破傳統(tǒng)的被動學習狀態(tài)，實現(xiàn)以生為本的主動探索.

例如，一位教師在教學《雙曲線及其標準方程》一課時，首先引導學生一起復習了橢圓的定義以及方程，然后提出以下問題：如果將橢圓的定義改為“在平面內(nèi)到兩定點的距離之差等于常數(shù)”，能夠得到怎樣的點的軌跡？學生對于這個問題提出了自己的見解，此時，教師根據(jù)學生的回答提出以下三個問題：（1）這一常數(shù)可以為什么數(shù)？（2）如果常數(shù)為零，能夠得到怎樣的點的軌跡？（3）如果常數(shù)大于零，又能得到怎樣的點的軌跡？如果小于零呢？

上述問題有效地激活學生主動探究的欲望，使學生基于這些問題生發(fā)對知識的興趣，進而展開主動探索. 學生以小組為單位展開自主交流，教師則用相應的教具為學生進行演示，探究結束后由學生自主分享和交流. 之后，教師借助幾何畫板向?qū)W生展示雙曲線軌跡的具體形成過程，雖然在這一過程中并未由學生親自開展動手操作實驗，但是由于教師所設計的具有合理性的問題，引發(fā)了學生的深入思考，就此也能夠得到同樣的效果. 學生通過自主探究總結出雙曲線的定義之后，引導學生探究常數(shù)所需要滿足的條件，簡單地說就是2a和2c之間的大小關系. 然后，又引導學生思考如果2a等于2c，或者2a大于2c，又會得出怎樣的結果？學生在動手操作、畫圖、推理等數(shù)學活動中完成對這一問題的有效解決，真正體現(xiàn)了課堂“動”起來所獨有的魅力[1].

然后，教師引導學生自主推導雙曲線的方程，其中既包括動手操作以及實際演算，也包括去絕對值符號以及如何簡化方程等等. 以去掉絕對值符號為例，學生自主提煉出了兩種方法：其一為平方法，其二就是去掉符號之后等于正負數(shù).針對類比橢圓方程的推導，第二種方法有助于簡化計算，由此得出雙曲線方程. 實際推導過程中，作為教師應引導學生關注雙曲線方程中a，b，c三者之間的關系，并結合橢圓展開類比，幫助學生深化認知、加深印象. 由于學生處于基于動手、動筆以及動腦的狀態(tài)中，這樣的課堂能夠真正體現(xiàn)以生為本. 學生可以根據(jù)已經(jīng)掌握的橢圓方程以及推導經(jīng)驗自主展開探索，由此收獲知識，這也有助于明確參量a，b，c之間的關系，還能夠自主和橢圓之間展開對比，并有效區(qū)分，這樣的教學和傳統(tǒng)的直接灌輸式教學相比，效果更為顯著.

最后，由教師任意給出幾個雙曲線方程，學生自主判斷，并區(qū)分a，b的大小關系實際上并不存在必然聯(lián)系. 同時也能夠使學生了解：對于雙曲線的焦點位置的確定來說，必須要結合系數(shù)的正負. 很顯然，通過學生的積極主動探索以及自主發(fā)現(xiàn)，幫助學生深化了對相關知識的認知，而且在整堂課的教學實踐中，學生都能夠積極參與其中，真正“動”了起來，既是對素質(zhì)教育的充分落實，也能夠體現(xiàn)教師的主導功能以及學生的主體地位.

設計沖突性問題，推進數(shù)學活動

學生基于數(shù)學知識所架構的認知結構，實際上也是一個始終處于變化中的動態(tài)組織，伴隨著認知活動的持續(xù)進行，認知結構會不斷地分化以及不斷地重組，而且日益精確和完善. 實際教學過程中，教師需要充分利用學生已經(jīng)掌握的數(shù)學知識，并就此與新知之間建立關聯(lián). 根據(jù)新舊知識之間的共性以及學生的認知沖突，使學生可以在不斷同化以及異化知識的過程中，完成對數(shù)學知識的建構以及對認知結構的完善[2].

例如，一位教師在教學《復數(shù)的概念及定義》一課時，首先給學生提出了以下問題：基于實數(shù)范圍，如何求解方程10x-x2=21？很多學生都會選擇求根公式這一方法，能夠快速求出方程的解，也有部分學生選擇十字交叉相乘方法.然后，教師讓學生求解方程10x-x2=40.基于慣性思維，大多數(shù)學生都會選擇檢驗“Δ”的方式，判定這個方程是否有解，當然也有部分學生因為提前預習了教材知識，能夠就此判定這一方程的根.在此基礎上，教師追問：正整數(shù)范圍內(nèi)方程x+2=0是否有解？如果是在有理數(shù)范圍內(nèi)x2=2是否有解？怎樣才能使其有解？對于這個問題，學生展開了討論：

生1：如果確定在正整數(shù)范圍內(nèi)，很顯然這一方程無解;如果是在整數(shù)范圍內(nèi)有解：x=-2;如果在有理數(shù)范圍內(nèi)x2=2同樣無解，在實數(shù)范圍內(nèi)有解：x= .

師：如何判定正整數(shù)與整數(shù)之間的集合關系？又如何判定有理數(shù)與實數(shù)之間的集合關系？

生2：正整數(shù)是整數(shù)的子集，在整數(shù)中既包括正整數(shù)、負整數(shù)，也包括零;有理數(shù)是實數(shù)的子集，在實數(shù)中既包含有理數(shù)，也包含無理數(shù).

師：x（10-x）=40這一方程在實數(shù)域內(nèi)無解，如果對實數(shù)域進行擴充，方程在新的定義域中有解，為了使方程有解為x=5± ，應當滿足怎樣的條件？

生3：滿足-1有意義，事實上x=5± ?.

師：回答得非常正確，我們本節(jié)課所要學習的內(nèi)容就是如何在特殊數(shù)域內(nèi)有效解決-1有意義這一內(nèi)容，也就是復數(shù)域.

不管是發(fā)現(xiàn)問題還是解決問題，都是提高學生數(shù)學能力的重要環(huán)節(jié). 以上案例中，問題1和2可以被認為是同一條件、不同問題的同化和演繹過程，這種認知沖突有助于激活學生參與活動的熱情;問題3和4則是對數(shù)系的擴充，能夠充分展現(xiàn)概念學習的同化演繹過程.對于知識的持續(xù)過渡，可以引導學生基于已掌握的知識中發(fā)現(xiàn)認知沖突，并就此展開重新認知.

設計肯定性問題，保障數(shù)學活動

在高中數(shù)學課堂教學中，很多教師都特別擔心學生不能深入、透徹地理解知識，所以，會大包大攬地直接灌輸，認為只要自己講得越透徹，學生就理解得越深入，實際上，這是對學生想象能力以及創(chuàng)造能力的極大遏制，使學生長期習慣于被動地接受知識，長此以往必然難以生發(fā)對數(shù)學學習的樂趣和動力，進而懶于思考，惰于學習. 所以，作為教師應逐步放手，可以將具體的工作重點放置于發(fā)現(xiàn)學生的閃光點以及對學生的激勵等諸多層面，只有讓自己處于“無為”的狀態(tài)，才能夠促進學生的“有為”[3].

例如，在教學《直線的傾斜角和斜率》一課時，在練習環(huán)節(jié)筆者給學生設計了這樣一道習題：經(jīng)過原點，在給定的平面直角坐標系中分別畫出斜率為1、-1、2及-3的直線. 要求學生基于已知條件自主畫圖，并鼓勵他們創(chuàng)造性地運用公式來解決這一問題，學生所得出的具體解答方法如下：

生1：根據(jù)斜率的特殊性，分別求出傾斜角之后畫圖.

師：你的理解很深刻.那么你們是如何畫出斜率為2以及-3的直線呢？

生2：基于斜率公式，判定直線上點的坐標關系，只要明確另一個點，就能夠畫出一條直線.

生3：利用直線過原點這一已知條件，結合斜率的取值，假如x取值為1，就能夠相應得出y值，由此便可畫出直線.

以上案例中，學生所展現(xiàn)出的不同結果，筆者都給予了充分的肯定，他們利用已有知識而展開思考的能力以及解決問題的能力也是教師不可估量的. 在實際解答問題的過程中，難免會呈現(xiàn)出想法的不一致，此時教師應積極鼓勵學生大膽發(fā)表個人見解，提出自己的解題思路，之后結合引導和點撥，幫助他們糾正認知偏差. 通過設置提問，既能夠引導學生展開充分思考，也能夠就此生發(fā)“撥開云霧見青天”之感，這樣學生必然可以始終保持較高的學習興趣以及探究熱情，保障課堂教學實效[4].

總之，對于數(shù)學教學而言，判定其是否有效關鍵在于能否讓學生動起來，能否使學生的思維活躍起來，能否使學生樂于其中、學有所成，所以，作為教師必須精心設計教學活動，充分發(fā)揮教學智慧使課堂活起來，這樣才能變“教”為“導”，才能以“講”啟“研”，才能助“學”為“思”，才能夠確保每一節(jié)課的教學實效.

參考文獻：

[1] ?李建潮. 在感悟問題中“玩”數(shù)學[J]. 中學數(shù)學教學，2018（03）.

[2] ?劉玉華. 摭談高中數(shù)學課的問題設計[J]. 中學數(shù)學教學參考，2018（31）.

[3] ?楊利剛. 呈現(xiàn)問題潛在價值 助力學生素養(yǎng)提升[J]. 中學數(shù)學月刊，2018（07）.

[4] ?陳麗華. 優(yōu)化問題設計，提升高三數(shù)學復習的效率[J]. 數(shù)學教學通訊，2018（33）.