非線性能量阱系統(tǒng)受基底簡諧激勵的參數(shù)優(yōu)化分析

劉良坤， 潘兆東， 譚 平， 閆維明， 周福霖,

(1. 東莞理工學(xué)院 生態(tài)環(huán)境與建筑工程學(xué)院，廣東 東莞 523808；2. 廣州大學(xué) 工程抗震研究中心，廣州 510405；3. 北京工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，北京 100124)

在一定的初始能量下，非線性能量阱(Nonlinear Energy Sink, NES)能夠產(chǎn)生靶能量(Targeted Energy Transfer, TET)傳遞現(xiàn)象，由于這一現(xiàn)象具有較高的能量耗散效率，近年來得到了廣大學(xué)者的重視[1-5]。當(dāng)受到簡諧激勵時，NES系統(tǒng)將出現(xiàn)一種準(zhǔn)周期響應(yīng)機(jī)制，這種機(jī)制稱為強(qiáng)調(diào)制反應(yīng)(Strongly Modulated Response, SMR)，有關(guān)SMR的研究詳見文獻(xiàn)[6-9]。針對NES系統(tǒng)的SMR，Gendelman等[10]對其及系統(tǒng)吸引域進(jìn)行了研究，得到了NES最優(yōu)剛度參數(shù)的優(yōu)化范圍，并與TMD(Tuned Mass Damper)的減振性能作了對比[11]，但分析時忽略了主系統(tǒng)阻尼影響。為了獲得更高的耗能效率，很多學(xué)者對NES系統(tǒng)的做了大量優(yōu)化工作，其中Nguyen等[12]利用靶能量傳遞及慢不變流形(Slow Invariant Manifold, SIM)特性得到了初始能量下的最優(yōu)剛度；為了獲得簡諧激勵下NES的最優(yōu)剛度，Vaurigaud等[13-14]，在Nguyen等的基礎(chǔ)上得到了NES的最優(yōu)剛度設(shè)計公式，但其假定達(dá)到閾值前系統(tǒng)保持線性狀態(tài)，會帶來一定誤差，并且不能夠保證截止頻率范圍內(nèi)響應(yīng)都不放大。Gourc等[15]利用SMR的特點獲得NES的最優(yōu)剛度區(qū)間，但求解過程需要利用分叉解，計算復(fù)雜；Viguié等[16-17]利用分叉程序直接得到最優(yōu)剛度和阻尼，但未考慮系統(tǒng)阻尼，仍存在局限性，而且尋找分叉解中的最優(yōu)值也并不容易。此外，為獲得較好的吸能效果，一些研究人員又提出了新型NES系統(tǒng)，如孔憲仁等[18]采用兩自由度NES對主系統(tǒng)進(jìn)行控制，并用Starosvetsky等研究中的方法得到最優(yōu)剛度；李海勤[19]則利用非線性阻尼的NES系統(tǒng)進(jìn)行減振研究；樓京俊等[20]建立了帶有弱線性剛度項的強(qiáng)非線性吸振器的動力學(xué)模，并分析了多頻激勵下的減振效果；王菁菁等[21]等研究了軌道NES；最終這些新型NES系統(tǒng)均取得了較好的吸能效果。

上述研究主要集中于NES主系統(tǒng)受脈沖激勵或簡諧激勵的減振分析，然而系統(tǒng)也常受到基底激勵，如地震激勵、設(shè)備基底激勵等，因此有必要對基底簡諧激勵下的NES系統(tǒng)減振特性及其最優(yōu)參數(shù)進(jìn)行研究。針對該類激勵(本文以地面加速度激勵為例)的NES系統(tǒng)，本文將考慮主系統(tǒng)阻尼，并試圖利用SMR的特點及推導(dǎo)的吸引點方程來得獲取最優(yōu)剛度范圍，從而減小計算量，然后通過慢變系統(tǒng)數(shù)值尋優(yōu)，最后對該系統(tǒng)減振特性進(jìn)行分析。

1 非線性能量阱系統(tǒng)模型

受基底激勵時(以地面加速度激勵為例，如圖1所示)，帶光滑立方剛度的非線性能量阱系統(tǒng)振動微分方程為

(1)

圖1 基底激勵的非線性能量阱系統(tǒng)模型Fig.1 Nonlinear energy sink model under base excitation

(2)

引入新變量

(3)

再次簡化系統(tǒng)，將式(3)代入式(2)變換后得

(4)

(5)

由于本文主要研究系統(tǒng)在外激勵下的1∶1共振，此時可假定ω=1+εσ(σ為失諧參數(shù)，表示系統(tǒng)實際的共振在假定頻率比附近)，式(5)變?yōu)?/p>

(6)

從上述慢變方程看，與主系統(tǒng)受激勵相比，基底激勵時，NES系統(tǒng)的激勵幅值中含有ε2項，這與振動微分方程式(1)中NES自身也受慣性力激勵有關(guān)。將上式泰勒展開，并引入多尺度變換

(7)

對式(6)多尺度變換后，取ε的前兩階得

(8)

(9)

(10)

(11)

其中，式(11)的解依賴于Z1和λ2，但Z1對其解的個數(shù)無影響，對式(11)求導(dǎo)得

(12)

圖2 慢不變流形Fig.2 Slow invariant manifold

(13)

(14)

由于，

(15)

式(14)變?yōu)?/p>

(16)

對式(16)取共軛并簡單變換后得

(17)

利用極坐標(biāo)形式φ20(τ1)=N2(τ1)eiθ2(τ1)表示式(17)并分離出幅值與幅角則有

(18)

其中,

顯然式(18)存在兩種形式的不動點(平衡點)

(19)

與

(20)

(21)

(22)

(23)

式(23)的解析形式復(fù)雜，可用數(shù)值解獲得相應(yīng)的吸引點。

(24)

那么只要結(jié)合式(21)任一式即可獲得到折奇點解。若采用式(21)的第一式容易得到

(25)

折奇點的相應(yīng)幅角為

(26)

這兩對幅角對應(yīng)于圖2的兩極值點，第1對折奇點存在時需滿足以下條件

(27)

顯然，只要滿足第一式即可

A≥A1c=

(28)

同理可以得到第2對折奇點存在的條件為

A≥A2c=

(29)

折奇點的存在是SMR現(xiàn)象出現(xiàn)的必要條件，當(dāng)SMR出現(xiàn)時，滿足A>A1c，但A>A1c并不一定能夠產(chǎn)生SMR，因為式(28)與式(29)并沒有體現(xiàn)失諧參數(shù)的影響；由于失諧參數(shù)的影響，系統(tǒng)響應(yīng)也可能吸引至普通吸引點或者產(chǎn)生弱調(diào)制反應(yīng)。此外，從上述折奇點條件的推導(dǎo)過程看，系統(tǒng)受基底簡諧激勵與主系統(tǒng)受簡諧激勵的多尺度分析前兩階方程基本相同(僅幅值符號相反，實際上折奇點與符號無關(guān))，那么兩種激勵形式所產(chǎn)生折奇點的必要條件是相同的。

2 最優(yōu)剛度區(qū)間

(30)

式中：a=2-r,顯然剛度下限值Ωd與激勵幅值A(chǔ)2成反比關(guān)系。當(dāng)滿足式(30)時，即滿足SMR出現(xiàn)的必要條件，此時也就保證了Z1≥Z1,1。

當(dāng)滿足式(29)時，上折線的將產(chǎn)生折奇點，即Z2≥Z2,2的范圍內(nèi)存在普通吸引點(見圖2)，但為了盡可能的保證SMR產(chǎn)生，吸引點的縱坐標(biāo)值Z1不應(yīng)超過峰值Z1,1，即

(31)

寫成如下形式

(32)

(33)

求解式(33)有

(34)

此時只要將式(34)代入式(22)，就可計算出剛度上限值Ωu。值得注意的是，式(22)的σ將影響剛度值計算，但可計算多個σ，然后取其最小獲得剛度上限值。盡管上述方法從數(shù)學(xué)角度看不夠嚴(yán)謹(jǐn)，但可得到較小的最優(yōu)剛度范圍，對減少計算量十分有利。

3 數(shù)值驗證與參數(shù)優(yōu)化分析

獲取最優(yōu)剛度范圍時，需要利用NES的吸引點，因此有必要對所推導(dǎo)的吸引點方程及其相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行論證，其它有關(guān)折奇點及SMR的詳細(xì)討論見Starosvetsky等的研究，此處僅將涉及的內(nèi)容作簡要介紹。假定NES系統(tǒng)參數(shù)為的m1=1,ω1=2，λ1=0.2，λ2=0.2,Ω=4/3,ε=0.01,根據(jù)式(28)與式(29)容易計算出折奇點出現(xiàn)的條件為A1c=0.256 4與A2c=1.024 2。

圖3 吸引點論證 A=0.2,δ=0Fig.3 Fixed point verification A=0.2,δ=0

(3.750 7，0.458 0)，顯然這兩種結(jié)果相近，也就說明利用式(22)和式(23)計算吸引點是合理的。圖3(d)中慢變方程與振動微分方程的穩(wěn)態(tài)解分別為(x1-x2)stable=0.458 2，(x1-x2)stable=0.459 2可見，這兩者相差不大，且與吸引點數(shù)值也十分接近，這就進(jìn)一步說明利用吸引點公式計算是合理性的。

假定A=1.2,δ=2，對比吸引點的基本情況，如圖4所示。由于A=1.2>A1c=0.025 64，已具備SMR出現(xiàn)條件，但A=1.2>A2c=1.024 2將產(chǎn)生上折奇點，此時上折線會產(chǎn)生上吸引點，如圖4(a)所示；系統(tǒng)最終穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也可能吸引到該吸引點，如果初始條件合適，還可能出現(xiàn)下吸引點和不穩(wěn)定響應(yīng)，即有多解共存的現(xiàn)象。利用Runge-Kutta法得到需關(guān)心的上吸引點(1.249 5，0.735 2)，如圖4(a)方框；當(dāng)采用式(22)和式(23)計算可得多個吸引點，其中的上吸引點為(1.249 5，0.734 9)，易知這兩種計算值幾乎相同。對比慢變方程與原振動方程，如圖4(b)與圖4(c)，顯然兩者圍繞慢不變流形圖變化規(guī)律相似；最終所得時程曲線如圖4(d)，穩(wěn)態(tài)幅值分別為(x1-x2)stable=1.204 0，(x1-x2)stable=1.275 0,可見，盡管有微小誤差，但兩者計算結(jié)果仍保持一致，且與吸引點的數(shù)值也接近，這再次證實了本文所推導(dǎo)的吸引點方程是合理的。

圖4 吸引點論證 A=1.2,δ=-2Fig.4 Fixed point verification A=1.2,δ=-2

吸引點的合理性得到確認(rèn)后，此時可根據(jù)吸引點求解最優(yōu)剛度范圍，考慮到NES系統(tǒng)存在非線性，難以得到最優(yōu)參數(shù)解析解，Gourc等的分析也并未得到較好的結(jié)果，僅提供了最優(yōu)剛度范圍，但計算繁瑣且需要利用分叉解。若采用本文方法則較容易獲得最優(yōu)剛度范圍，結(jié)合慢變方程式(6)，最終搜尋最優(yōu)剛度的工作量將減少很多。取NES系統(tǒng)參數(shù)為m1=1,ω1=2,A=1，λ1=1，ε=0.02,假定有三種NES阻尼參數(shù)分別為λ2=0.1,0.2,0.3，利用式(30)求解剛度下限值，然后用式(22)變化δ得到最小剛度上限值，最后得到的剛度范圍：[0.302,0.709],[0.446,1.455],[0.643,2.247]，對應(yīng)失諧參數(shù)δ分別為-1.301，-1.654，-1.912，可見最小剛度剛度上限值出現(xiàn)在0失諧參數(shù)左側(cè)。

圖5 優(yōu)化分析Fig.5 Analysis for optimization

利用λ2=0.2的最優(yōu)剛度參數(shù)，繪出NES系統(tǒng)與TMD系統(tǒng)的頻率比、激勵幅值與主系統(tǒng)能量關(guān)系如圖6所示，其中網(wǎng)格為未安裝任何裝置的系統(tǒng)能量。分析圖6可發(fā)現(xiàn)NES系統(tǒng)在A>1的區(qū)域內(nèi)，部分頻帶的能量有放大現(xiàn)象，而在A<1有卻不同程度的減小，需要注意的是NES的最優(yōu)剛度參數(shù)是在A=1條件下得到的，這表明NES易受激勵幅值影響；然而TMD系統(tǒng)在任何激勵幅值下均有能量放大的區(qū)域，但在頻率比為1附近并無放大現(xiàn)象且耗能效率較高。關(guān)于這兩種系統(tǒng)在其他方面的優(yōu)缺點對比也可見文獻(xiàn)[23]。

圖6 頻率比、激勵幅值與能量關(guān)系(λ2=0.2,Ω=1.25)Fig.6 Relationship of frequency ratio, excitation amplitude and energy(λ2=0.2,Ω=1.25)

圖7 NES剛度、阻尼參數(shù)與能量關(guān)系Fig.7 The relationship of stiffness, damping parameters and energy

4 結(jié) 論

本文采用復(fù)變量平均法推導(dǎo)了基底簡諧激勵作用下的1∶1共振下的慢變系統(tǒng)方程，并利用多尺度法推得了強(qiáng)調(diào)制反應(yīng)的必要條件以及吸引點解析方程；然后結(jié)合SMR的特點及吸引點解析方程獲得了最優(yōu)剛度下限值與上限值。結(jié)果表明：

(1)吸引點方程計算結(jié)果與Runge-Kutta計算的吸引點數(shù)值相同，且與原振動方程計算的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)值一致；與直接積分計算NES系統(tǒng)，利用慢變系統(tǒng)方程，只需一階積分，具有更高的效率，且結(jié)果相對精確。

(2)所得到的最優(yōu)剛度區(qū)間范圍合理，縮小了最優(yōu)剛度的取值范圍，方便得到系統(tǒng)的最優(yōu)剛度。

(3)與TMD減振效果相比，NES具有較寬減振頻帶，但在主頻附近減振效率更低且受激勵幅值影響。NES阻尼參數(shù)的對主系統(tǒng)能量的敏感性較低，不過隨阻尼參數(shù)的增大，最優(yōu)剛度區(qū)域更寬。